Évariste Galois -Évariste Galois

Évariste Galois
Evariste galois.jpg
Portrét Évarista Galoise ve věku asi 15 let
narozený ( 1811-10-25 )25. října 1811
Zemřel 31. května 1832 (1832-05-31)(ve věku 20 let)
Alma mater École préparatoire
Známý jako Práce na teorii rovnic , teorii grup a Galoisově teorii
Vědecká kariéra
Pole Matematika
Vlivy Adrien-Marie Legendre
Joseph-Louis Lagrange
Podpis
Galois-Signature.svg

Évariste Galois ( / ɡ æ l ˈ w ɑː / ; francouzsky:  [evaʁist ɡalwa] ; 25 října 1811 - 31 května 1832) byl francouzský matematik a politický aktivista. Ještě v dospívání dokázal určit nezbytnou a postačující podmínku , aby byl polynom řešitelný radikály , čímž vyřešil problém, který byl otevřený 350 let. Jeho práce položila základy Galoisovy teorie a teorie grup , dvou hlavních odvětví abstraktní algebry. Byl přesvědčeným republikánem a byl silně zapojen do politického zmatku, který obklopoval francouzskou revoluci roku 1830 . V důsledku svého politického aktivismu byl opakovaně zatčen a odpykával si jeden trest odnětí svobody v délce několika měsíců. Z důvodů, které zůstávají nejasné, se krátce po propuštění z vězení utkal v souboji a na následky zranění, které utrpěl.

Život

Raný život

Galois se narodil 25. října 1811 Nicolas-Gabriel Galois a Adélaïde-Marie (rozené Demante). Jeho otec byl republikán a byl hlavou Bourg-la-Reineovy liberální strany . Jeho otec se stal starostou vesnice po návratu Ludvíka XVIII . na trůn v roce 1814. Jeho matka, dcera právníka , plynule četla latinu a klasickou literaturu a byla zodpovědná za vzdělání svého syna prvních dvanáct let.

Cour d'honneur Lycée Louis-le-Grand , které Galois navštěvoval jako chlapec.

V říjnu 1823 vstoupil na Lycée Louis-le-Grand , ve věku 14 let se začal vážně zajímat o matematiku .

Našel výtisk Éléments de Géométrie od Adriena-Marie Legendra , který prý četl „jako román“ a zvládl ho na první čtení. V 15 letech četl původní články Josepha-Louise Lagrange , jako jsou Reflexions sur la résolution algébrique des équations, které pravděpodobně motivovaly jeho pozdější práci na teorii rovnic, a Leçons sur le calcul des fonctions , dílo určené pro profesionální matematiky. jeho práce ve třídě zůstala neinspirovaná a jeho učitelé ho obvinili z negativního ovlivnění ambicí a originality.

Nadějný matematik

V roce 1828 se pokusil o přijímací zkoušku na École Polytechnique , nejprestižnější matematickou instituci ve Francii v té době, bez obvyklé přípravy v matematice a pro nedostatek vysvětlení u ústní zkoušky neuspěl. Ve stejném roce vstoupil na École Normale (tehdy známá jako l'École préparatoire), v té době daleko nižší instituce pro matematická studia, kde našel některé profesory, které mu byly sympatické.

Augustin-Louis Cauchy zhodnotil Galoisovy rané matematické práce.

V následujícím roce byl publikován Galoisův první článek, o pokračováních zlomků . Bylo to přibližně ve stejné době, kdy začal dělat zásadní objevy v teorii polynomiálních rovnic . Na toto téma předložil Akademii věd dva příspěvky . Augustin-Louis Cauchy posuzoval tyto dokumenty, ale odmítl je přijmout k publikaci z důvodů, které stále zůstávají nejasné. Navzdory mnoha tvrzením o opaku se však všeobecně zastává názor, že Cauchy uznal důležitost Galoisovy práce a že pouze navrhl spojit tyto dvě práce do jedné, aby je mohl přihlásit do soutěže o Velkou cenu Akademie v matematice. . Cauchy, významný matematik té doby, i když s politickými názory, které byly na opačném konci než Galoisovy, považoval Galoisovo dílo za pravděpodobného vítěze.

Dne 28. července 1829 zemřel Galoisův otec sebevraždou po ostrém politickém sporu s vesnickým farářem. O pár dní později udělal Galois svůj druhý a poslední pokus vstoupit do Polytechniky a znovu selhal. Je nesporné, že Galois byl více než kvalifikovaný; nicméně, účty se liší na proč on selhal. Věrohodnější zprávy uvádějí, že Galois udělal příliš mnoho logických skoků a zmátl neschopného zkoušejícího, což Galoise rozzuřilo. Na jeho chování mohla mít vliv i nedávná smrt jeho otce.

Poté , co mu bylo odepřeno přijetí na École polytechnique , Galois složil maturitu , aby mohl vstoupit na École normale . Prošel a diplom obdržel 29. prosince 1829. Jeho zkoušející z matematiky hlásil: "Tento žák je někdy nejasný ve vyjadřování svých myšlenek, ale je inteligentní a projevuje pozoruhodného ducha výzkumu."

Několikrát předložil své monografie o teorii rovnic, ale za jeho života nebyly kvůli různým událostem nikdy publikovány. Ačkoli jeho první pokus byl odmítnut Cauchy, v únoru 1830 po Cauchyho návrhu jej předložil tajemníkovi Akademie Josephu Fourierovi , aby byl zvažován pro Grand Prix Akademie. Bohužel Fourier brzy poté zemřel a paměti byly ztraceny. Cena by byla udělena ten rok Niels Henrik Abel posmrtně a také Carl Gustav Jacob Jacobi . Navzdory ztraceným monografiím Galois toho roku publikoval tři články. Jeden položil základy Galoisovy teorie . Druhý byl o numerickém řešení rovnic ( nález kořenů v moderní terminologii). Třetina byla důležitá v teorii čísel , ve kterém představa o konečném poli byla nejprve artikulována.

Politický žrout

Bitva o radnici Jean-Victor Schnetz . Galois, jako zarytý republikán, by se chtěl zúčastnit červencové revoluce roku 1830, ale zabránil mu ředitel École Normale.

Galois žil v době politických nepokojů ve Francii. Charles X následoval Louis XVIII v 1824, ale v 1827 jeho strana utrpěla hlavní volební neúspěch a 1830 opoziční liberální strana se stala většinou . Charles, konfrontovaný s politickou opozicí z komor, provedl státní převrat a vydal své nechvalně známé červencové nařízení , čímž zahájil červencovou revoluci , která skončila tím , že se králem stal Louis Philippe . Zatímco jejich protějšky na Polytechnique tvořily historii v ulicích, Galois na École Normale byl zamčen ředitelem školy. Galois byl rozzlobený a napsal bouřlivý dopis kritizující ředitele, který předložil Gazette des Écoles , přičemž dopis podepsal celým jménem. Ačkoli redaktor Gazette vynechal podpis pro zveřejnění, Galois byl vyloučen .

Ačkoli jeho vyloučení by formálně nabylo účinnosti 4. ledna 1831, Galois okamžitě opustil školu a připojil se k neochvějné republikánské dělostřelecké jednotce Národní gardy . Svůj čas dělil mezi svou matematickou práci a politickou příslušnost. Kvůli kontroverzi kolem jednotky, brzy poté, co se Galois stal členem, dne 31. prosince 1830, bylo dělostřelectvo Národní gardy rozpuštěno ze strachu, že by mohlo destabilizovat vládu. Přibližně ve stejnou dobu bylo zatčeno devatenáct důstojníků Galoisovy bývalé jednotky a obviněno ze spiknutí za účelem svržení vlády.

V dubnu 1831 byli důstojníci zproštěni všech obvinění a 9. května 1831 se na jejich počest konal banket, kterého se účastnilo mnoho slavných lidí, například Alexandre Dumas . Proces se stal bouřlivým. V určitém okamžiku Galois vstal a navrhl přípitek , ve kterém řekl: " Loudvíku Philippovi ," s dýkou nad pohárem. Republikáni na banketu si Galoisův přípitek vyložili jako hrozbu proti králově životu a jásali. Následující den byl zatčen v domě své matky a držen ve vazbě ve věznici Sainte-Pélagie až do 15. června 1831, kdy měl soud. Galoisův obhájce chytře tvrdil, že Galois ve skutečnosti řekl: "Louisi-Philippeovi, pokud zradí ," ale že kvalifikant byl utopen v jásotu. Žalobce položil několik dalších otázek a možná ovlivněn Galoisovým mládím ho porota téhož dne zprostila viny.

Následující den Bastily (14. července 1831) stál Galois v čele protestu v uniformě rozpuštěného dělostřelectva a přišel těžce vyzbrojen několika pistolemi, nabitou puškou a dýkou. Znovu byl zatčen. Během svého pobytu ve vězení Galois v jednu chvíli poprvé pil alkohol na pobídnutí svých spoluvězňů. Jeden z těchto vězňů, François-Vincent Raspail , zaznamenal, co Galois řekl v opilosti v dopise z 25. července. Výňatek z dopisu:

A říkám vám, zemřu v souboji u příležitosti nějaké coquette de bas étage . Proč? Protože mě pozve, abych pomstil její čest, kterou jiný zkompromitoval.
Víš, co mi chybí, příteli? Mohu se s tím svěřit pouze vám: je to někdo, koho mohu milovat a milovat pouze v duchu. Ztratil jsem otce a nikdo ho nikdy nenahradil, slyšíš mě...?

První řádek je strašidelné proroctví o tom, jak Galois ve skutečnosti zemře; druhý ukazuje, jak byl Galois hluboce zasažen ztrátou svého otce. Raspail pokračuje, že Galois, stále v deliriu, se pokusil o sebevraždu a že by uspěl, kdyby ho jeho spoluvězni násilně nezastavili. O několik měsíců později, když dne 23. října proběhl Galoisův soud, byl odsouzen k šesti měsícům vězení za nezákonné nošení uniformy. Ve vězení pokračoval v rozvíjení svých matematických představ. Byl propuštěn 29. dubna 1832.

Poslední dny

Siméon Denis Poisson zhodnotil Galoisovu práci o teorii rovnic a prohlásil ji za „nepochopitelnou“.

Galois se vrátil k matematice po jeho vyloučení z École Normale , ačkoli on pokračoval trávit čas v politických aktivitách. Poté, co se jeho vyloučení stalo oficiálním v lednu 1831, pokusil se založit soukromou třídu pokročilé algebry, která přitahovala určitý zájem, ale ten opadl, protože se zdálo, že prioritu má jeho politický aktivismus. Siméon Denis Poisson ho požádal, aby předložil svou práci o teorii rovnic , což učinil 17. ledna 1831. Kolem 4. července 1831 Poisson prohlásil Galoisovu práci za „nesrozumitelnou“ a prohlásil, že „[Galoisova] argumentace není ani dostatečně jasná, ani dostatečně rozvinutá. aby nám umožnil posoudit jeho přísnost“; zpráva o zamítnutí však končí povzbudivě: "Potom bychom navrhli, aby autor zveřejnil celé své dílo, aby si vytvořil definitivní názor." Zatímco Poissonova zpráva byla podána před Galoisovým zatčením 14. července, trvalo až do října, než se Galois dostal do vězení. Vzhledem k jeho povaze a situaci v té době není překvapivé, že Galois reagoval na zamítací dopis násilně a rozhodl se upustit od publikování svých prací prostřednictvím Akademie a místo toho je publikovat soukromě prostřednictvím svého přítele Auguste Chevaliera. Galois však zjevně neignoroval Poissonovu radu, když ještě ve vězení začal shromažďovat všechny své matematické rukopisy a pokračoval v pilování svých myšlenek až do svého propuštění 29. dubna 1832, po kterém byl nějak přemluven k souboji.

Galoisův osudný souboj se odehrál 30. května. Skutečné motivy duelu jsou nejasné. Hodně se o nich spekulovalo. Je známo, že pět dní před svou smrtí napsal Chevalierovi dopis, který jasně odkazuje na přerušený milostný vztah.

Některé archivní vyšetřování původních dopisů naznačuje, že ženou romantického zájmu byla Stéphanie-Félicie Poterin du Motel, dcera lékaře v hostelu, kde Galois pobýval v posledních měsících svého života. K dispozici jsou fragmenty jejích dopisů, které zkopíroval sám Galois (s mnoha částmi, jako je její jméno, buď vymazané nebo záměrně vynechané). Dopisy naznačovaly, že du Motel se s některými svými problémy svěřil Galoisovi, a to ho možná přimělo vyprovokovat duel jejím jménem. Tuto domněnku podporují i ​​další dopisy, které Galois později napsal svým přátelům noc před svou smrtí. Galoisův bratranec Gabriel Demante na otázku, zda zná příčinu souboje, zmínil, že Galois „se ocitl v přítomnosti domnělého strýce a domnělého snoubence, z nichž každý duel vyprovokoval“. Sám Galois zvolal: "Jsem obětí nechvalně známé kokety a jejích dvou podvodníků."

Mnohem podrobnější spekulace založené na těchto skrovných historických detailech byly interpolovány mnoha Galoisovými životopisci (zejména Eric Temple Bellem v Men of Mathematics ), jako jsou často opakované spekulace, že celý incident byl zinscenován policií a monarchistou. frakcí k odstranění politického nepřítele.

Jako svého protivníka v duelu jmenuje Alexandre Dumas Pescheux d'Herbinville, který byl ve skutečnosti jedním z devatenácti dělostřeleckých důstojníků, jejichž zproštění bylo slaveno na banketu, který způsobil Galoisovo první zatčení. Nicméně, Dumas je v tomto tvrzení sám, a pokud by měl pravdu, není jasné, proč by do toho byl zapojen d'Herbinville. Spekulovalo se, že v té době byl du Motelovým „domnělým snoubencem“ (nakonec se provdala za někoho jiného), ale nebyl nalezen žádný jasný důkaz podporující tento dohad. Na druhou stranu dochované novinové výstřižky z pouhých několika dní po duelu poskytují popis jeho soupeře (identifikovaného iniciálami „LD“), který se zdá přesněji aplikovatelný na jednoho z Galoisových republikánských přátel, pravděpodobně Ernesta Duchateleta, který byl uvězněn s Galois za stejné obvinění. Vzhledem k dostupným protichůdným informacím může být skutečná identita jeho vraha dobře ztracena v historii.

Ať už byly důvody duelu jakékoli, Galois byl tak přesvědčen o své blížící se smrti, že zůstal vzhůru celou noc, psal dopisy svým republikánským přátelům a skládal to, co se stalo jeho matematickým testamentem, slavný dopis Augustu Chevalierovi, který nastiňuje jeho myšlenky, a tři přiložené rukopisy. . Matematik Hermann Weyl o tomto testamentu řekl: "Tento dopis, posuzován podle novosti a hloubky myšlenek, které obsahuje, je možná nejpodstatnějším spisem v celé literatuře lidstva." Zdá se však, že legenda o Galoisovi, který noc před smrtí sype své matematické myšlenky na papír, byla přehnaná. V těchto závěrečných pracích nastínil hrubé okraje některých prací, které dělal v analýze, a okomentoval kopii rukopisu předložené Akademii a další dokumenty.

Galoisův památník na hřbitově Bourg-la-Reine . Évariste Galois byl pohřben ve společném hrobě a přesné místo je stále neznámé.

Brzy ráno 30. května 1832 byl střelen do břicha , byl opuštěn svými protivníky a svými vlastními sekundami a nalezen kolemjdoucím farmářem. Zemřel následující ráno v deset hodin v Hôpital Cochin (pravděpodobně na zánět pobřišnice ), poté, co odmítl úřad kněze. Jeho pohřeb skončil nepokoji. Existovaly plány na zahájení povstání během jeho pohřbu, ale během stejné doby se vůdci dozvěděli o smrti generála Jeana Maximiliena Lamarquea a povstání bylo odloženo, aniž by došlo k nějakému povstání, až do 5. června . Pouze Galoisův mladší bratr byl informován o událostech před Galoisovou smrtí. Galoisovi bylo 20 let. Jeho poslední slova ke svému mladšímu bratrovi Alfredovi byla:

"Ne pleure pas, Alfrede! J'ai besoin de tout mon odvahu pour mourir à vingt ans!"
(Neplač, Alfréde! Potřebuji všechnu svou odvahu, abych zemřel ve dvaceti!)

2. června byl Évariste Galois pohřben ve společném hrobě na hřbitově Montparnasse , jehož přesné umístění není známo. Na hřbitově jeho rodného města – Bourg-la-Reine – byl na jeho počest vztyčen u hrobů jeho příbuzných kenotaf.

V roce 1843 Joseph Liouville zkontroloval svůj rukopis a prohlásil, že je správný. Nakonec byla publikována v říjnovém až listopadu 1846 vydání Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . Nejznámějším přínosem tohoto rukopisu byl neotřelý důkaz, že neexistuje žádný kvintický vzorec – tedy že rovnice pátého a vyššího stupně nejsou obecně řešitelné radikály. Ačkoli Niels Henrik Abel již v roce 1824 prokázal nemožnost „kvintického vzorce“ radikály a Paolo Ruffini publikoval v roce 1799 řešení, které se ukázalo jako chybné, Galoisovy metody vedly k hlubšímu výzkumu toho, čemu se dnes říká Galoisova teorie. Lze jej například použít k určení, pro jakoukoli polynomickou rovnici, zda má řešení pomocí radikálů.

Příspěvky k matematice

Poslední stránka Galoisova matematického testamentu v jeho vlastní ruce. Fráze "dešifrovat všechen ten nepořádek" ("déchiffrer tout ce gâchis") je na druhém až posledním řádku.

Ze závěrečných řádků dopisu od Galoise jeho příteli Augustu Chevalierovi z 29. května 1832, dva dny před Galoisovou smrtí:

Tu prieras publiquement Jacobi nebo Gauss de donner leur avis, non sur la vérité, mais sur l'importance des théorèmes.

Après cela, il y aura, j'espère, des gens qui trouveront leur profit à déchiffrer tout ce gâchis.

(Požádejte Jacobiho nebo Gausse veřejně, aby vyjádřili svůj názor, nikoli na pravdu, ale na důležitost těchto teorémů. Doufám, že později se najdou někteří lidé, kterým bude prospěšné rozluštit celý tento nepořádek.)

Na zhruba 60 stranách Galoisových sebraných prací je mnoho důležitých myšlenek, které měly dalekosáhlé důsledky pro téměř všechna odvětví matematiky. Jeho práce byla přirovnávána k práci Nielse Henrika Abela , dalšího matematika, který zemřel ve velmi mladém věku, a mnoho z jejich prací se významně překrývalo.

Algebra

Zatímco mnoho matematiků před Galois uvažovalo o tom, co je nyní známé jako grupy , byl to Galois, kdo jako první použil slovo grupa (ve francouzštině groupe ) ve smyslu blízkém technickému smyslu, kterému se dnes rozumí, čímž se stal jedním ze zakladatelů. oboru algebry známého jako teorie grup . Vyvinul koncept, který je dnes známý jako normální podskupina . Nazval rozklad skupiny na její levou a pravou kosetu správným rozkladem , pokud se levá a pravá kosety shodují, což je dnes známé jako normální podgrupa. Zavedl také koncept konečného pole (na jeho počest také známého jako Galoisovo pole ) v podstatě ve stejné podobě, jak je chápána dnes.

Ve svém posledním dopise Chevalierovi a připojených rukopisech, druhém ze tří, provedl základní studie lineárních grup nad konečnými poli:

Galoisova teorie

Galoisův nejvýznamnější příspěvek k matematice je jeho vývoj Galoisovy teorie. Uvědomil si, že algebraické řešení polynomiální rovnice souvisí se strukturou skupiny permutací spojených s kořeny polynomu, Galoisovou grupou polynomu. Zjistil, že rovnici lze vyřešit v radikálech , pokud lze najít řadu podgrup její Galoisovy grupy, z nichž každá je normální ve svém nástupci s abelovským kvocientem, to znamená, že její Galoisova grupa je řešitelná . To se ukázalo jako plodný přístup, který později matematici přizpůsobili mnoha dalším oblastem matematiky kromě teorie rovnic , na kterou jej Galois původně aplikoval.

Analýza

Galois také dělal některé příspěvky k teorii Abelian integrals a pokračující zlomky .

Jak bylo napsáno ve svém posledním dopise, Galois přešel od studia eliptických funkcí k úvahám o integrálech nejobecnějších algebraických diferenciálů, dnes nazývaných Abelovské integrály. Rozdělil tyto integrály do tří kategorií.

Pokračující zlomky

Ve svém prvním článku v roce 1828 Galois dokázal, že pravidelný pokračující zlomek, který představuje kvadratickou sud ζ , je čistě periodický právě tehdy, když ζ je redukovaná surd , tedy a její konjugát splňuje .

Ve skutečnosti Galois ukázal víc než tohle. Dokázal také, že pokud je ζ redukovaný kvadratický surd a η je jeho konjugát, pak jsou spojité zlomky pro ζ a pro (−1/ η ) oba čistě periodické a opakující se blok v jednom z těchto pokračováních zlomků je zrcadlový obraz. opakujícího se bloku v druhém. V symbolech, které máme

kde ζ je jakákoli redukovaná kvadratická surovost a η je její konjugát.

Z těchto dvou Galoisových teorémů lze odvodit výsledek, který již Lagrangeovi zná. Pokud r  > 1 je racionální číslo, které není dokonalým čtvercem, pak

Konkrétně, je-li n nějaké ne-čtvercové kladné celé číslo, pravidelný pokračující zlomkový rozvoj √ n obsahuje opakující se blok délky m , ve kterém prvních m  − 1 dílčích jmenovatelů tvoří palindromický řetězec.

Viz také

Poznámky

Reference

externí odkazy