3D projekce - 3D projection

Klasifikace některých 3D projekcí

3D projekce (nebo grafické projekce ) je konstrukce technika používá pro zobrazení trojrozměrné (3D) objekt na dvourozměrné plochy (2D). Tyto projekce spoléhají na vizuální perspektivu a analýzu aspektů k promítnutí komplexního objektu pro schopnost prohlížení v jednodušší rovině. Tuto koncepci rozšíření 2D geometrie na 3D zvládl Heron z Alexandrie v prvním století . Herona lze nazvat otcem 3D. 3D projekce je základem koncepce počítačové grafiky, která simuluje proudění tekutin a napodobuje realistické efekty. Skupina ILM společnosti Lucas Films se zasloužila o zavedení konceptu (a dokonce i termínu „částicový efekt“).

V roce 1982 byla první plně digitální počítačem generovaná sekvence pro soubor filmu Star Trek II: Khanův hněv . Patent z roku 1984 týkající se tohoto konceptu napsal William E Masters, „Počítačový automatizovaný výrobní proces a systém“ US4665492A používající hromadné částice k výrobě šálku. Proces nanášení částic je jednou z technologií 3D tisku .

3D projekce používají primární kvality základního tvaru objektu k vytvoření mapy bodů, které jsou pak navzájem spojeny k vytvoření vizuálního prvku. Výsledkem je grafika, která obsahuje koncepční vlastnosti k interpretaci toho, že obrazec nebo obrázek není ve skutečnosti plochý (2D), ale spíše jako pevný objekt (3D), který je zobrazen na 2D displeji.

3D objekty se z velké části zobrazují na dvourozměrných médiích (tj. Papírové a počítačové monitory). Jako takové jsou grafické projekce běžně používaným designovým prvkem; zejména v inženýrském kreslení , kreslení a počítačové grafice . Projekce lze vypočítat pomocí matematické analýzy a vzorců nebo pomocí různých geometrických a optických technik.

Přehled

Porovnáváno několik typů grafické projekce

Různé projekce a způsob jejich výroby

Projekce se dosahuje použitím imaginárních „projektorů“; promítaný mentální obraz se stává vizí technika požadovaného, hotového obrazu. Metody poskytují jednotný zobrazovací postup mezi lidmi trénovanými v technické grafice (mechanické kreslení, návrh pomocí počítače atd.). Dodržováním metody může technik vytvořit předpokládaný obraz na rovinném povrchu, jako je rýsovací papír.

Existují dvě kategorie grafické projekce, každá s vlastní metodou:

Paralelní projekce

Paralelní projekce odpovídá perspektivní projekci s hypotetickým hlediskem; tj. takový, kde kamera leží v nekonečné vzdálenosti od objektu a má nekonečnou ohniskovou vzdálenost, neboli „zoom“.

V paralelní projekci jsou zorné čáry od objektu k projekční rovině navzájem rovnoběžné. Čáry, které jsou rovnoběžné v trojrozměrném prostoru, tedy zůstávají rovnoběžné v dvourozměrném promítaném obrazu. Paralelní projekce také odpovídá perspektivní projekci s nekonečnou ohniskovou vzdáleností (vzdálenost od objektivu a ohniskového bodu fotoaparátu ), neboli „ zoom “.

Obrázky nakreslené v paralelní projekci se spoléhají na techniku axonometrie („měřit podél os“), jak je popsána v Pohlkeově teorémě . Obecně je výsledný obraz šikmý (paprsky nejsou kolmé na rovinu obrazu); ale ve zvláštních případech je výsledek ortografický (paprsky jsou kolmé na rovinu obrazu). Axonometrie by neměla být zaměňována s axonometrickou projekcí , protože v anglické literatuře tato literatura obvykle odkazuje pouze na konkrétní třídu obrázkových obrázků (viz níže).

Ortografická projekce

Ortografická projekce je odvozena z principů popisné geometrie a je dvojrozměrnou reprezentací trojrozměrného objektu. Jedná se o paralelní projekci (projekční čáry jsou paralelní jak ve skutečnosti, tak v projekční rovině). Jedná se o typ projekce volby pro pracovní výkresy .

Pokud je normála roviny pohledu (směr kamery) rovnoběžná s jednou z primárních os (což je osa x , y nebo z ), je matematická transformace následující; Chcete-li promítat 3D bod , , na 2D bodu , pomocí kolmý průmět paralelně k ose y (kde pozitivní y představuje dopředný směr - pohled z profilu), může být použita následující rovnice: ${\ displaystyle a_ {x}}$ ${\ displaystyle a_ {y}}$ ${\ displaystyle a_ {z}}$ ${\ displaystyle b_ {x}}$ ${\ displaystyle b_ {y}}$

{\ displaystyle b_ {x} = s_ {x} a_ {x} + c_ {x}}

{\ displaystyle b_ {y} = s_ {z} a_ {z} + c_ {z}}

kde vektor s je libovolný faktor měřítka ac je libovolný posun. Tyto konstanty jsou volitelné a lze je použít ke správnému zarovnání výřezu. Pomocí maticového násobení se rovnice stanou:

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} b_ {x} \\ b_ {y} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} s_ {x} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_ {z} \ end {bmatrix}} { \ begin {bmatrix} a_ {x} \\ a_ {y} \\ a_ {z} \ end {bmatrix}} + {\ begin {bmatrix} c_ {x} \\ c_ {z} \ end {bmatrix}} .}

Zatímco ortograficky promítané obrazy představují trojrozměrnou povahu promítaného objektu, nepředstavují objekt, protože by byl fotograficky zaznamenán nebo vnímán divákem, který jej přímo sleduje. Zejména rovnoběžné délky ve všech bodech ortograficky promítaného obrazu mají stejné měřítko bez ohledu na to, zda jsou daleko nebo blízko virtuálního prohlížeče. Výsledkem je, že délky nejsou zkráceny tak, jak by byly v perspektivním zobrazení.

Vícenásobná projekce

Symboly používané k definování, zda je projekce s více náhledy buď Třetí úhel (pravý) nebo První úhel (vlevo).

U vícenásobných projekcí se vytvoří až šest obrázků (nazývaných primární zobrazení ) objektu, přičemž každá projekční rovina je rovnoběžná s jednou z souřadnicových os objektu. Pohledy jsou umístěny vůči sobě navzájem podle jednoho ze dvou schémat: projekce prvního úhlu nebo projekce třetího úhlu . V každém z nich lze vzhled pohledů považovat za promítnutý do rovin, které kolem objektu tvoří šestistranný rámeček. Ačkoli lze nakreslit šest různých stran, obvykle tři pohledy na výkres poskytují dostatek informací k vytvoření 3D objektu. Tyto pohledy jsou známé jako čelní pohled , pohled shora a pohled zezadu . Používají se také výrazy nadmořská výška , půdorys a řez .

Šikmá projekce

Zalévací lavice nakreslená v projekci skříně s úhlem 45 ° a poměrem 2/3

Kamenný oblouk nakreslený ve vojenské perspektivě

V šikmých projekcích nejsou rovnoběžné projekční paprsky kolmé k pozorovací rovině jako u ortografické projekce, ale dopadají na projekční rovinu v jiném úhlu než devadesáti stupňů. V ortografické i šikmé projekci se rovnoběžné čáry v prostoru zobrazují rovnoběžně na promítaném obrazu. Kvůli své jednoduchosti se šikmá projekce používá výhradně pro obrazové účely, nikoli pro formální, pracovní kresby. Na šikmém obrázkovém výkresu jsou zobrazené úhly mezi osami a faktory zkrácení (měřítko) libovolné. Takto vytvořené zkreslení je obvykle zeslabeno zarovnáním jedné roviny zobrazovaného objektu tak, aby byla rovnoběžná s rovinou promítání, čímž se vytvoří skutečný obraz zvolené roviny v plné velikosti. Speciální typy šikmých výstupků jsou:

Cavalier projekce (45 °)

V kavalírové projekci (někdy kavalírská perspektiva nebo vysoký úhel pohledu ) je bod objektu reprezentován třemi souřadnicemi, x , y a z . Na výkresu je reprezentován pouze dvěma souřadnicemi, x ″ a y ″ . Na plochém výkresu jsou dvě osy x a z na obrázku kolmé a délka na těchto osách je nakreslena v měřítku 1: 1; je tedy podobný dimetrickým projekcím , i když to není axonometrický projekce , protože třetí osa, zde y , je nakreslena úhlopříčně a svírá s osou x ″ libovolný úhel , obvykle 30 nebo 45 °. Délka třetí osy není změněna.

Projekce kabinetu

Pojem projekce kabinetu (někdy perspektiva kabinetu ) vychází z jeho použití v ilustracích nábytkářského průmyslu. Stejně jako kavalírová perspektiva je jedna plocha promítaného objektu rovnoběžná s rovinou pohledu a třetí osa se promítá tak, že odchází v úhlu (obvykle 30 ° nebo 45 ° nebo arctan (2) = 63,4 °). Na rozdíl od kavalírové projekce, kde si třetí osa udržuje svou délku, u projekce kabinetu je délka ustupujících čar zkrácena na polovinu.

Vojenská projekce

Varianta šikmé projekce se nazývá vojenská projekce . V tomto případě jsou vodorovné řezy nakresleny izometricky, takže půdorysy nejsou zkresleny a svisle jsou nakresleny pod úhlem. Vojenská projekce je dána rotací v rovině xy a svislým posunem o velikost z .

Axonometrická projekce

Tři axonometrické pohledy

Axonometrické projekce zobrazují obraz objektu při pohledu ze šikmého směru, aby se na jednom obrázku odhalily všechny tři směry (osy) prostoru. Axonometrické projekce mohou být ortografické nebo šikmé . Axonometrické výkresy přístrojů se často používají k aproximaci grafických perspektivních projekcí, ale v aproximaci je doprovodné zkreslení. Protože obrazové projekce vrozeně obsahují toto zkreslení, mohou být ve výkresech obrazů přístrojů použity velké svobody pro hospodárnost úsilí a nejlepší účinek.

Axonometrická projekce se dále dělí do tří kategorií: izometrická projekce , dimetrická projekce a trimetrická projekce , v závislosti na přesném úhlu, pod kterým se pohled odchyluje od ortogonálního. Typickou charakteristikou ortografických obrázků je, že jedna osa prostoru je obvykle zobrazena jako svislá.

Axonometrické projekce se také někdy označují jako pomocné pohledy , na rozdíl od primárních pohledů na vícenásobné projekce .

Izometrická projekce

V izometrických obrázcích (pro metody viz Izometrická projekce ) je směr pohledu takový, že tři osy prostoru vypadají stejně zkráceně a je mezi nimi společný úhel 120 °. Zkreslení způsobené zkrácením je rovnoměrné, proto je zachována proporcionalita všech stran a délek a osy mají společné měřítko. To umožňuje čtení nebo měření přímo z výkresu.

Dimetrická projekce

V dimetrických obrázcích (pro metody viz Dimetrická projekce ) je směr pohledu takový, že dvě ze tří os prostoru vypadají stejně zkráceně, z čehož je měřítko a úhly prezentace určeny podle úhlu pohledu; měřítko třetího směru (svisle) se stanoví samostatně. Aproximace jsou běžné v dimetrických výkresech.

Trimetrická projekce

V trimetrických obrázcích (pro metody viz Trimetrická projekce ) je směr pohledu takový, že všechny tři osy prostoru vypadají nerovnoměrně zkráceně. Měřítko podél každé ze tří os a úhly mezi nimi jsou určeny samostatně, jak je diktováno úhlem pohledu. Aproximace v trimetrických výkresech jsou běžné.

Omezení paralelní projekce

Příklad omezení izometrické projekce. Výškový rozdíl mezi červenou a modrou koulí nelze určit lokálně.

Tyto Penrose schody znázorňuje schodiště, které se zdá, stoupání (proti směru hodinových ručiček) nebo sestupovat (ve směru hodinových ručiček), ale tvoří nekonečnou smyčku.

Objekty nakreslené paralelní projekcí se nezobrazují větší nebo menší, protože se táhnou blíže k divákovi nebo od něj. I když je to výhodné pro architektonické výkresy , kde musí být měření prováděno přímo z obrazu, výsledkem je vnímané zkreslení, protože na rozdíl od perspektivní projekce takto naše oči nebo fotografie normálně nefungují. Může také snadno vyústit v situace, kdy je obtížné měřit hloubku a nadmořskou výšku, jak je znázorněno na obrázku vpravo.

Na tomto izometrickém výkresu je modrá koule o dvě jednotky vyšší než červená. Tento rozdíl v nadmořské výšce však není patrný, pokud jeden pokrývá pravou polovinu obrázku, protože pole (která slouží jako vodítka naznačující výšku) jsou poté zakryta.

Tato vizuální nejednoznačnost byla využívána v op art , stejně jako ve výkresech „nemožného předmětu“. MC Escher je vodopád (1961), i když není striktně využívající paralelní projekci, je dobře známý příklad, ve kterém je kanál vody Zdá se, že cestovat bez pomoci podél klesající tendenci, jen aby se pak paradoxně klesat ještě jednou, protože se vrací do své zdroj. Zdá se tedy, že voda porušuje zákon zachování energie . Extrémní příklad je zobrazen ve filmu Počátek , kde trikem vynucené perspektivy mění nepohyblivé schodiště svou konektivitu. Videohra Fez používá triky z hlediska určit, kde hráč může a nemůže pohybovat v puzzle-jako móda.

Perspektivní projekce

Perspektiva geometrického tělesa pomocí dvou úběžných bodů. V tomto případě je mapa tělesa (ortogonální projekce) nakreslena pod perspektivou, jako by ohýbala základní rovinu.

Axonometrická projekce schématu zobrazujícího příslušné prvky perspektivy vertikální roviny obrazu . Stálý bod (PS) je umístěn na základní rovině π a úhel pohledu (PV) je přímo nad ním. PP je jeho projekce na rovinu obrazu α . LO a LT jsou horizont a pozemní linie ( linea d'orizzonte a linea di terra ). Tučné čáry s a q leží na π a zachycují α na Ts a Tq . Paralelní linky přes PV (červeně) zachycovacího LO v mizejících bodech Fs a FQ : tak je možné vyvodit, že výstupky s ' a q' , a tím i jejich průsečík R ' na R .

Perspektivní projekce nebo transformace perspektivy je lineární projekce, kde se trojrozměrné objekty promítají na rovinu obrazu . To má za následek, že vzdálené objekty vypadají menší než bližší objekty.

To také znamená, že čáry, které jsou v podstatě rovnoběžné (tj. Setkávají se v bodě v nekonečnu ), se v promítaném obrazu protínají, například pokud jsou železnice zobrazeny s perspektivním promítáním, zdá se, že se sbíhají do jediného bodu, který úběžník . Fotografické čočky i lidské oko fungují stejným způsobem, proto perspektivní projekce vypadá nejrealističtěji. Perspektivní projekce se obvykle dělí na jednobodovou , dvoubodovou a tříbodovou perspektivu , v závislosti na orientaci projekční roviny k osám zobrazeného objektu.

Metody grafické projekce se spoléhají na dualitu mezi přímkami a body, přičemž dvě přímky určují bod, zatímco dva body určují přímku. Ortogonální projekce očního bodu do obrazové roviny se nazývá hlavní úběžný bod (PP ve schématu vlevo, z italského termínu punto principale , vytvořený během renesance).

Dva relevantní body čáry jsou:

jeho průsečík s rovinou obrazu a
jeho úběžník, který se nachází na průsečíku mezi rovnoběžkou od bodu oka a rovinou obrazu.

Hlavní úběžný bod je úběžný bod všech vodorovných čar kolmých na rovinu obrazu. Mizející body všech vodorovných čar leží na obzoru . Pokud je obrazová rovina, jak je často, svislá, jsou všechny svislé čáry nakresleny svisle a na rovině obrazu nemají konečný úběžný bod. Pro promítání geometrických scén lze snadno předpokládat různé grafické metody. Například čáry sledované od bodu oka pod úhlem 45 ° k rovině obrazu protínají tuto rovinu podél kružnice, jejíž poloměr je vzdálenost bodu oka od roviny, a tak sledování této kružnice pomáhá konstrukci všech úběžných bodů 45 ° řádky; průsečík této kružnice s linií obzoru se skládá zejména ze dvou bodů vzdálenosti . Jsou užitečné pro kreslení šachovnicových podlah, které zase slouží k lokalizaci základny objektů na scéně. V perspektivě geometrického tělesa vpravo po výběru hlavního úběžníku - který určuje linii obzoru - 45 ° úběžník na levé straně výkresu dokončuje charakterizaci (stejně vzdáleného) úhlu pohledu. Z ortogonální projekce každého vrcholu jsou nakresleny dvě čáry, jedna pod úhlem 45 ° a jedna pod úhlem 90 ° k rovině obrazu. Po protnutí pozemní čáry tyto čáry směřují k bodu vzdálenosti (pro 45 °) nebo hlavnímu bodu (pro 90 °). Jejich nová křižovatka lokalizuje projekci mapy. Přirozené výšky se měří nad základní čarou a poté se promítají stejným způsobem, dokud se z mapy nesetkají se svislicí.

Zatímco ortografická projekce ignoruje perspektivu, aby umožňovala přesná měření, perspektivní projekce zobrazuje vzdálené objekty jako menší, aby poskytla další realismus.

Matematický vzorec

Perspektivní projekce vyžaduje ve srovnání s ortografickými projekcemi podrobnější definici. Koncepční pomůckou pro pochopení mechaniky této projekce je představit si 2D projekci, jako by se objekt (objekty) zobrazovaly hledáčkem kamery. Poloha, orientace a zorné pole kamery řídí chování transformace projekce. K popisu této transformace jsou definovány následující proměnné:

${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {x, y, z}}$ - 3D poloha bodu A, který má být promítnut.
${\ displaystyle \ mathbf {c} _ {x, y, z}}$ - 3D poloha bodu C představujícího kameru.
${\ displaystyle \ mathbf {\ theta} _ {x, y, z}}$ - Orientace kamery (představovaná úhly Tait-Bryan ).
${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {x, y, z}}$ - poloha povrchu displeje vzhledem k dírce kamery C.

Většina konvencí používá kladné hodnoty z (rovina před dírkou), záporné hodnoty z jsou však fyzicky správnější, ale obraz bude převrácen vodorovně i svisle. Výsledkem je:

${\ displaystyle \ mathbf {b} _ {x, y}}$ - 2D projekce ${\ displaystyle \ mathbf {a}.}$

Kdy a 3D vektor se promítne do 2D vektoru . ${\ displaystyle \ mathbf {c} _ {x, y, z} = \ langle 0,0,0 \ rangle,}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ theta} _ {x, y, z} = \ langle 0,0,0 \ rangle,}$ ${\ displaystyle \ langle 1,2,0 \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle 1,2 \ rangle}$

Jinak pro výpočet nejprve definujeme vektor jako polohu bodu A vzhledem k souřadnicovému systému definovanému kamerou, s počátkem v C a otočeným o vzhledem k počátečnímu souřadnicovému systému. Toho je dosaženo odečtením z a aplikování rotaci na výsledek. Tato transformace se často nazývá a ${\ displaystyle \ mathbf {b} _ {x, y}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {d} _ {x, y, z}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ theta}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {c}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ ${\ displaystyle - \ mathbf {\ theta}}$ kamera transformace , a může být vyjádřena následujícím způsobem, vyjadřující otáčení z hlediska rotací ox, y,az,os (tyto výpočty předpokládají, že osy jsou uspořádány jakolevou rukousystému os):

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ mathbf {d} _ {x} \\\ mathbf {d} _ {y} \\\ mathbf {d} _ {z} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \ cos (\ mathbf {\ theta} _ {x}) & \ sin (\ mathbf {\ theta} _ {x}) \\ 0 & - \ sin (\ mathbf {\ theta} _ {x}) & \ cos (\ mathbf {\ theta} _ {x}) \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ cos (\ mathbf {\ theta} _ {y}) & 0 & - \ sin ( \ mathbf {\ theta} _ {y}) \\ 0 & 1 & 0 \\\ sin (\ mathbf {\ theta} _ {y}) & 0 & \ cos (\ mathbf {\ theta} _ {y}) \ end {bmatrix} } {\ begin {bmatrix} \ cos (\ mathbf {\ theta} _ {z}) & \ sin (\ mathbf {\ theta} _ {z}) & 0 \\ - \ sin (\ mathbf {\ theta} _ {z}) & \ cos (\ mathbf {\ theta} _ {z}) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} \ left ({{\ begin {bmatrix} \ mathbf {a} _ {x} \\ \ mathbf {a} _ {y} \\\ mathbf {a} _ {z} \\\ end {bmatrix}} - {\ begin {bmatrix} \ mathbf {c} _ {x} \\\ mathbf {c } _ {y} \\\ mathbf {c} _ {z} \\\ end {bmatrix}}} \ right)}

Tato reprezentace odpovídá rotaci o tři Eulerovy úhly (přesněji úhly Tait-Bryan ) pomocí konvence xyz , kterou lze interpretovat buď jako „rotace kolem vnějších os (os scény ) v pořadí z , y , x (čtení zprava doleva) "nebo" otáčet kolem vnitřních os (os fotoaparátu ) v pořadí x, y, z (čtení zleva doprava) ". Všimněte si, že pokud se kamera neotáčí ( ), matice vypadnou (jako identity), a to se sníží na pouhý posun: ${\ displaystyle \ mathbf {\ theta} _ {x, y, z} = \ langle 0,0,0 \ rangle}$ ${\ displaystyle \ mathbf {d} = \ mathbf {a} - \ mathbf {c}.}$

Alternativně, bez použití matric (dejte nám nahradí se a tak dále, a zkrátit až i do ): ${\ displaystyle a_ {x} -c_ {x}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ ${\ displaystyle \ cos \ left (\ theta _ {\ alpha} \ right)}$ ${\ displaystyle c _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle \ sin \ left (\ theta _ {\ alpha} \ right)}$ ${\ displaystyle s _ {\ alpha}}$

{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ mathbf {d} _ {x} & = c_ {y} (s_ {z} \ mathbf {y} + c_ {z} \ mathbf {x}) -s_ {y} \ mathbf {z} \\\ mathbf {d} _ {y} & = s_ {x} (c_ {y} \ mathbf {z} + s_ {y} (s_ {z} \ mathbf {y} + c_ { z} \ mathbf {x})) + c_ {x} (c_ {z} \ mathbf {y} -s_ {z} \ mathbf {x}) \\\ mathbf {d} _ {z} & = c_ { x} (c_ {y} \ mathbf {z} + s_ {y} (s_ {z} \ mathbf {y} + c_ {z} \ mathbf {x})) - s_ {x} (c_ {z} \ mathbf {y} -s_ {z} \ mathbf {x}) \ end {zarovnáno}}}

Tento transformovaný bod lze poté promítnout do roviny 2D pomocí vzorce (zde se jako rovina promítání používá x / y ; literatura také může použít x / z ):

{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ mathbf {b} _ {x} & = {\ frac {\ mathbf {e} _ {z}} {\ mathbf {d} _ {z}}} \ mathbf {d } _ {x} + \ mathbf {e} _ {x}, \\ [5pt] \ mathbf {b} _ {y} & = {\ frac {\ mathbf {e} _ {z}} {\ mathbf { d} _ {z}}} \ mathbf {d} _ {y} + \ mathbf {e} _ {y}. \ end {zarovnáno}}}

Nebo v maticové formě s použitím homogenních souřadnic systém

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ mathbf {f} _ {x} \\\ mathbf {f} _ {y} \\\ mathbf {f} _ {w} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & {\ frac {\ mathbf {e} _ {x}} {\ mathbf {e} _ {z}}} \\ 0 & 1 & {\ frac {\ mathbf {e} _ {y}} {\ mathbf {e} _ {z}}} \\ 0 & 0 & {\ frac {1} {\ mathbf {e} _ {z}}} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ mathbf {d} _ {x } \\\ mathbf {d} _ {y} \\\ mathbf {d} _ {z} \ end {bmatrix}}}

ve spojení s argumentem používajícím podobné trojúhelníky vede k dělení homogenní souřadnicí, dávat

{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ mathbf {b} _ {x} & = \ mathbf {f} _ {x} / \ mathbf {f} _ {w} \\\ mathbf {b} _ {y} & = \ mathbf {f} _ {y} / \ mathbf {f} _ {w} \ end {zarovnáno}}}

Vzdálenost diváka od plochy displeje , přímo souvisí se zorným polem, kde je pozorovaný úhel. (Poznámka: Předpokládá se, že namapujete body (-1, -1) a (1,1) do rohů vaší zobrazovací plochy.) ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {z}}$ ${\ displaystyle \ alpha = 2 \ cdot \ arctan (1 / \ mathbf {e} _ {z})}$

Výše uvedené rovnice lze také přepsat jako:

{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ mathbf {b} _ {x} & = (\ mathbf {d} _ {x} \ mathbf {s} _ {x}) / (\ mathbf {d} _ {z } \ mathbf {r} _ {x}) \ mathbf {r} _ {z}, \\\ mathbf {b} _ {y} & = (\ mathbf {d} _ {y} \ mathbf {s} _ {y}) / (\ mathbf {d} _ {z} \ mathbf {r} _ {y}) \ mathbf {r} _ {z}. \ end {zarovnáno}}}

Ve kterém je velikost displeje, je velikost záznamové plochy ( CCD nebo film ), je vzdálenost od záznamové plochy k vstupní pupile ( středu kamery ) a je vzdálenost od promítaného 3D bodu k vstupní pupile . ${\ displaystyle \ mathbf {s} _ {x, y}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {x, y}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {z}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {d} _ {z}}$

Pro mapování 2D roviny na jakékoli konkrétní zobrazovací médium může být nutné provést další operace oříznutí a změny měřítka.

Slabá perspektivní projekce

„Slabá“ perspektivní projekce používá stejné principy ortografické projekce, ale vyžaduje specifikaci měřítka, čímž se zajistí, že se bližší objekty budou v projekci jevit větší a naopak. Lze na něj pohlížet jako na hybrid mezi ortografickou a perspektivní projekcí a lze ji popsat buď jako perspektivní projekci s hloubkami jednotlivých bodů nahrazenou průměrnou konstantní hloubkou , nebo jednoduše jako ortografickou projekci plus měřítko. ${\ displaystyle Z_ {i}}$ ${\ displaystyle Z _ {\ text {ave}}}$

Model se slabou perspektivou tak aproximuje perspektivní projekci při použití jednoduššího modelu, podobného čisté (neškálované) ortografické perspektivě. Jde o rozumnou aproximaci, když je hloubka objektu podél zorného pole malá ve srovnání se vzdáleností od kamery a zorné pole je malé. Za těchto podmínek lze předpokládat, že všechny body 3D objektu jsou ve stejné vzdálenosti od kamery bez významných chyb v projekci (ve srovnání s modelem s plnou perspektivou). ${\ displaystyle Z _ {\ text {ave}}}$

Rovnice

{\ displaystyle {\ begin {aligned} & P_ {x} = {\ frac {X} {Z _ {\ text {ave}}}} \\ [5pt] & P_ {y} = {\ frac {Y} {Z_ { \ text {ave}}}} \ end {zarovnáno}}}

za předpokladu ohniskové vzdálenosti . $f = 1$

Diagram

Chcete-li zjistit, která obrazovka x- souřadnice odpovídá bodu, vynásobte souřadnice bodu: ${\ displaystyle A_ {x}, A_ {z}}$

{\ displaystyle B_ {x} = A_ {x} {\ frac {B_ {z}} {A_ {z}}}}

kde

{\ displaystyle B_ {x}}

je souřadnice x obrazovky

{\ displaystyle A_ {x}}

je souřadnice x modelu

{\ displaystyle B_ {z}}

je ohnisková vzdálenost - osová vzdálenost od středu kamery k obrazové rovině

{\ displaystyle A_ {z}}

je vzdálenost objektu.

Protože je kamera ve 3D, totéž platí pro obrazovku y - souřadnice, ve výše uvedeném diagramu a rovnici dosadíme y za x .

Můžete to použít k provádění ořezových technik a nahrazení proměnných hodnotami bodu, který je mimo úhel FOV a bod uvnitř Camera Matrix.

Tato technika, známá také jako „inverzní kamera“, je Perspective Projection Calculus se známými hodnotami pro výpočet posledního bodu ve viditelném úhlu, promítajícího z neviditelného bodu po dokončení všech potřebných transformací.

Viz také

Reference

Další čtení

Kenneth C. Finney (2004). Programování 3D her vše v jednom . Thomsonův kurz. p. 93 . ISBN 978-1-59200-136-1. 3D projekce.
Koehler; Dr. Ralph (prosinec 2000). 2D / 3D grafika a splajny se zdrojovým kódem . ISBN 978-0759611870.

externí odkazy

Vytváření 3D prostředí z digitálních fotografií

Languages

In other projects