Aditivní inverzní - Additive inverse

V matematice, přísada inverzní z čísla A, je číslo, které, když přidán do výnosy nula . Toto číslo je také známé jako opak (číslo), změna znaménka a negace . U skutečného čísla obrací své znaménko : aditivní inverze (opačné číslo) kladného čísla je záporná a aditivní inverze záporného čísla je kladná. Nula je sama o sobě aditivní inverzí.

Aditivní aditivní inverze a je označena unárním minus : - a (viz také § Vztah k odčítání níže). Například aditivní inverzní hodnota 7 je −7, protože 7 + (−7) = 0 , a aditivní inverzní hodnota −0,3 je 0,3, protože −0,3 + 0,3 = 0 .

Podobně aditivní inverze a - b je - ( a - b ), kterou lze zjednodušit na b - a . Aditivní inverzní 2 x - 3 je 3 - 2 x , protože 2 x - 3 + 3 - 2 x = 0 .

Aditivní inverze je definována jako její inverzní prvek v binární operaci sčítání (viz také § Formální definice níže), což umožňuje široké zobecnění na jiné matematické objekty než čísla. Jako pro každou inverzní operaci nemá dvojitá aditivní inverze žádný čistý účinek : - ( - x ) = x .

Tato komplexní čísla, dvě z osmi hodnot 81 , jsou navzájem opačná

Běžné příklady

U řady (a obecněji v každém kruhu ), přísada inverzní lze vypočítat pomocí násobení od -1 ; to znamená, že - n = −1 ×  n . Příklady prstenců čísel jsou celá čísla , racionální čísla , reálná čísla a komplexní čísla .

Vztah k odčítání

Aditivní inverze úzce souvisí s odčítáním , které lze považovat za doplnění opaku:

a - b  =  a + ( - b ) .

Naopak aditivní inverzní lze považovat za odčítání od nuly:

- a  = 0 - a .

Unární minusovou notaci lze tedy považovat za zkratku pro odčítání (se symbolem „0“ vynechaným), ačkoli ve správné typografii by po unárním „ -“ neměl být žádný prostor .

Další vlastnosti

Kromě výše uvedených identit má negace následující algebraické vlastnosti:

  • - ( - a ) = a , je to operace evoluce
  • - ( a + b ) = ( - a ) + ( - b )
  • - ( a - b ) = b - a
  • a - ( - b ) = a + b
  • ( - a ) ×  b = a  × ( - b ) = - ( a  ×  b )
  • ( - a ) × ( - b ) = a × b
    zejména ( - a ) 2 = a 2

Formální definice

Zápis + je obvykle vyhrazen pro komutativní binární operace (operace, kde x + y = y + x pro všechna x ,  y ). Pokud taková operace připouští prvek identity o (takový, že x + o (= o + x  ) = x pro všechna x ), pak je tento prvek jedinečný ( o ′ = o ′ + o = o ). Pokud pro dané x existuje x ′ takové, že x + x ′ (= x ′ + x  ) = o , pak se x ′ nazývá aditivní inverzní k x .

Pokud + je asociativní , tj. ( X  +  y ) + z = x + ( y  +  z ) pro všechna x ,  y ,  z , pak je aditivní inverze jedinečná. Abychom to viděli, nechť jsou x ′ a x ″ aditivní inverze x ; pak

x ′ = x ′ + o = x ′ + ( x + x ″ ) = ( x ′ + x ) + x ″ = o + x ″ = x ″ .

Protože například sčítání reálných čísel je asociativní, každé reálné číslo má jedinečnou aditivní inverzi.

Další příklady

Všechny následující příklady jsou ve skutečnosti abelianskými skupinami :

  • Komplexní čísla : - ( a + bi ) = ( - a ) + ( - b ) i . Na komplexní rovině tato operace otočí komplexní číslo o 180 stupňů kolem počátku (viz obrázek výše ).
  • Přidání reálného a komplexně hodnocený funkcí: zde, přísada inverzní z funkce f je funkce - f definovaný (- f  ) ( x ) = - f  ( x ) , pro všechna x , tak, že f + (- f  ) = o , nulová funkce ( o ( x ) = 0 pro všechna x ).
  • Obecněji platí, že to, co předchází, platí pro všechny funkce s hodnotami v abelianské skupině ('nula' znamená pak prvek identity této skupiny):
  • Sekvence , matice a sítě jsou také speciální druhy funkcí.
  • Ve vektorovém prostoru je aditivní inverze - v často nazývána opačným vektorem v ; má stejnou velikost jako původní a opačný směr. Aditivní inverze odpovídá skalárnímu násobení −1. Pro euklidovský prostor je to bodový odraz v počátku. Vektory v přesně opačných směrech (vynásobené zápornými čísly) se někdy označují jako antiparalelní .
  • V modulární aritmetice je modulární přísada inverzní z x je definován: to je číslo tak, že + x ≡ 0 (mod n ) . Tato aditivní inverze vždy existuje. Například inverzní 3 modulo 11 je 8, protože je řešením 3 + x ≡ 0 (mod 11) .

Ne-příklady

Přirozená čísla , kardinální čísla a řadová čísla nemají v rámci příslušných sad aditivní inverze . Tak se dá říct, například, že přirozená čísla se mají aditivní inverze, ale proto, že tyto aditivní inverses nejsou samy o sobě přirozená čísla, množina přirozených čísel není uzavřen pod brát aditivní inverze.

Viz také

Poznámky a reference