Adiabatický invariant - Adiabatic invariant

Vlastnost fyzického systému , jako je entropie plynu, která zůstává přibližně konstantní, když dochází ke změnám pomalu, se nazývá adiabatický invariant . Tím je míněno, že pokud se systém mění mezi dvěma koncovými body, protože čas pro variaci mezi koncovými body se zvyšuje do nekonečna, variace adiabatického invariantu mezi dvěma koncovými body jde na nulu.

V termodynamice je adiabatický proces změnou, ke které dochází bez tepelného toku; může to být pomalé nebo rychlé. Reverzibilní adiabatický proces je adiabatický proces, který probíhá pomalu ve srovnání s dobou dosažení rovnováhy. V reverzibilním adiabatickém procesu je systém ve všech fázích v rovnováze a entropie je konstantní. V první polovině 20. století vědci, kteří pracovali v kvantové fyzice, používali termín „adiabatický“ pro reverzibilní adiabatické procesy a později pro jakékoli postupně se měnící podmínky, které systému umožňují přizpůsobit jeho konfiguraci. Kvantová mechanická definice se blíží termodynamickému konceptu kvazistatického procesu a nemá přímý vztah k adiabatickým procesům v termodynamice.

V mechanice je adiabatická změna pomalá deformace hamiltoniánu , kde je zlomková rychlost změny energie mnohem pomalejší než orbitální frekvence. Oblast uzavřená různými pohyby ve fázovém prostoru jsou adiabatické invarianty .

V kvantové mechanice je adiabatická změna změnou, která se vyskytuje mnohem pomaleji než rozdíl ve frekvenci mezi vlastními stavy energie. V tomto případě energetické stavy systému neprovádějí přechody, takže kvantové číslo je adiabatický invariant.

Stará kvantová teorie byla formulována rovnítko počet kvantové systému s jeho klasické adiabatické invariantu. To určilo formu Bohr – Sommerfeldova kvantizačního pravidla: kvantové číslo je oblast ve fázovém prostoru klasické oběžné dráhy.

Termodynamika

V termodynamice jsou adiabatické změny ty, které nezvyšují entropii. Vyskytují se pomalu ve srovnání s ostatními charakteristickými časovými měřítky sledovaného systému a umožňují tok tepla pouze mezi objekty při stejné teplotě. U izolovaných systémů adiabatická změna nedovoluje proudění tepla dovnitř ani ven.

Adiabatická expanze ideálního plynu

Pokud se nádoba s ideálním plynem okamžitě roztahuje, teplota plynu se vůbec nezmění, protože žádná z molekul nezpomaluje. Molekuly si zachovávají svoji kinetickou energii, ale nyní plyn zaujímá větší objem. Pokud se však nádoba rozpíná pomalu, takže zákon ideálního tlaku plynu platí kdykoli, molekuly plynu ztrácejí energii rychlostí, kterou působí na rozpínající se stěnu. Množství práce, kterou dělají, je tlak krát plocha stěny krát posunutí ven, což je tlak krát změna objemu plynu:

Pokud do plynu nevstupuje žádné teplo, energie v molekulách plynu klesá o stejné množství. Podle definice je plyn ideální, když jeho teplota je pouze funkcí vnitřní energie na částici, nikoli objemu. Tak

Kde je specifické teplo při stálém objemu. Pokud je změna energie zcela způsobena prací provedenou na zdi, je změna teploty dána vztahem:

To dává rozdílný vztah mezi změnami teploty a objemu, který lze integrovat k nalezení invariantu. Konstanta je pouze převodní faktor jednotky , který lze nastavit rovný jedné:

Tak

je adiabatický invariant, který souvisí s entropií

Entropie je tedy adiabatický invariant. Termín N  log ( N ) činí entropii aditivní, takže entropie dvou objemů plynu je součtem entropií každého z nich.

V molekulární interpretaci, S je logaritmus objemu fázového prostoru všech typů plynových stavů s energií E ( T ) a objem V .

U monatomického ideálního plynu to lze snadno zjistit zapsáním energie,

Různé vnitřní pohyby plynu s celkovou energií E definují kouli, povrch 3 N -dimenzionální koule s poloměrem . Objem koule je

,

kde je funkce gama .

Jelikož každá molekula plynu může být kdekoli v objemu V , je objem ve fázovém prostoru obsazeném skupenstvím plynu s energií E je

.

Jelikož jsou molekuly N plynu nerozeznatelné, objem fázového prostoru se vydělí počtem permutací N molekul.

Použití Stirlingovy aproximace pro funkci gama a ignorování faktorů, které zmizí v logaritmu po převzetí N velké,

Protože měrné teplo monatomického plynu je 3/2, je to stejné jako termodynamický vzorec pro entropii.

Vídeňský zákon - adiabatická expanze krabice světla

Pro krabici záření, ignorující kvantovou mechaniku, je energie klasického pole v tepelné rovnováze nekonečná , protože ekvipartice vyžaduje, aby každý režim pole měl v průměru stejnou energii a existuje nekonečně mnoho režimů. To je fyzicky směšné, protože to znamená, že veškerá energie v průběhu času uniká do vysokofrekvenčních elektromagnetických vln.

Přesto bez kvantové mechaniky existuje několik věcí, které lze říci o rovnovážném rozdělení pouze z termodynamiky, protože stále existuje pojem adiabatické invariance, která se týká krabic různé velikosti.

Když se skříň pomalu rozšiřuje, lze frekvenci zpětného rázu světla ze stěny vypočítat z Dopplerova posunu . Pokud se stěna nepohybuje, světlo odskočí na stejnou frekvenci. Pokud se stěna pohybuje pomalu, je frekvence zpětného rázu stejná pouze v rámu, kde je stěna nehybná. V rámu, kde se stěna vzdaluje od světla, je přicházející světlo modřejší než světlo vycházející dvojnásobným Dopplerovým činitelem posunu v / c .

Na druhou stranu, energie ve světle se také sníží, když se stěna vzdaluje, protože světlo pracuje na stěně radiačním tlakem. Protože se světlo odráží, tlak se rovná dvojnásobku hybnosti nesené světlem, což je E / c . Rychlost, jakou tlak pracuje na stěnu, se zjistí vynásobením rychlosti:

To znamená, že změna frekvence světla se rovná práci vykonané na stěně radiačním tlakem. Světlo, které se odráží, se mění jak ve frekvenci, tak v energii o stejné množství:

Protože pomalý pohyb stěny by měl udržovat pevné rozložení tepla, pravděpodobnost, že světlo má energii E na frekvenci f, musí být pouze funkcí E / f .

Tuto funkci nelze určit pouze z termodynamického uvažování a Wien hádal ve formě, která platila při vysoké frekvenci. Předpokládal, že průměrná energie ve vysokofrekvenčních režimech byla potlačena boltzmannovským faktorem. Toto není očekávaná klasická energie v režimu, který je ekviparticí, ale nový a neopodstatněný předpoklad, který odpovídá vysokofrekvenčním datům.

Když je očekávaná hodnota přidána ke všem režimům v dutině, jedná se o Wienovo rozdělení a popisuje termodynamické rozdělení energie v klasickém plynu fotonů. Wienův zákon implicitně předpokládá, že světlo je statisticky složeno z paketů, které mění energii a frekvenci stejným způsobem. Entropie vídeňského plynu se mění podle objemu na sílu N , kde N je počet paketů. To vedlo Einsteina k domněnce, že světlo se skládá z lokalizovatelných částic s energií úměrnou frekvenci. Entropii vídeňského plynu lze poté statisticky interpretovat jako počet možných poloh, ve kterých mohou být fotony.

Klasická mechanika - akční proměnné

Vynucené kyvadlo
Kyvadlo s extra malými vibracemi kde a

Předpokládejme, že hamiltonián pomalu mění čas, například jednorozměrný harmonický oscilátor s měnící se frekvencí.

Akce J klasického oběžné dráhy je oblast ohraničená na oběžné dráze ve fázovém prostoru.

Protože J je integrál po celou dobu, je to jen funkce energie. Když je Hamiltonián konstantní v čase a J je konstantní v čase, kanonicky konjugovaná proměnná narůstá v čase ustálenou rychlostí.

Takže konstanta může být použit pro změnu časové deriváty po oběžné dráze, aby parciální derivace vzhledem k při konstantním J . Diferenciace integrálu pro J s ohledem na J dává identitu, která opravuje

Integrand je Poissonův držák z x a p . Poissonova závorka dvou kanonicky konjugovaných veličin jako x a p se rovná 1 v libovolném kanonickém souřadném systému. Tak

a je inverzní období. Proměnná se zvyšuje o stejné množství v každém období pro všechny hodnoty J - jedná se o úhlovou proměnnou.

Adiabatická invariance J.

Hamiltonián je funkcí pouze J a v jednoduchém případě harmonického oscilátoru.

Když H nemá časovou závislost, J je konstantní. Když H pomalu mění čas, lze rychlost změny J vypočítat re-vyjádřením integrálu pro J

Časová derivace této veličiny je

Nahrazení časových derivátů deriváty theta, použití a nastavení bez ztráty obecnosti ( což je globální multiplikativní konstanta ve výsledné časové derivaci akce), výnosy

Tak dlouho, dokud se souřadnicemi J , nejsou výrazně měnit v průběhu jednoho období, tento výraz může být integrován po částech dát nulu. To znamená, že u pomalých variací nedochází v oblasti obklopené oběžnou dráhou ke změně nejnižšího řádu. Toto je teorém adiabatické invariance - proměnné akce jsou adiabatické invarianty.

Pro harmonický oscilátor je oblast ve fázovém prostoru oběžné dráhy o energii E oblast elipsy konstantní energie,

X -radius této elipsy , zatímco p -radius elipsy . Násobení, oblast je . Pokud je tedy pomalu vtaženo kyvadlo, takže se mění frekvence, energie se mění proporcionálně.

Stará kvantová teorie

Poté, co Planck zjistil, že Wienův zákon lze rozšířit na všechny frekvence, i na velmi nízké, interpolací s klasickým zákonem o rozdělení pro záření, chtěli fyzici pochopit kvantové chování jiných systémů.

Zákon Planckova záření kvantoval pohyb polních oscilátorů v jednotkách energie úměrných frekvenci:

Kvantum může záviset pouze na energii / frekvenci pomocí adiabatické invariance, a protože energie musí být aditivní při umisťování krabic od začátku do konce, úrovně musí být rovnoměrně rozmístěny.

Einstein, následovaný Debyem, rozšířil doménu kvantové mechaniky tím, že zvukové režimy v tělese považoval za kvantované oscilátory . Tento model vysvětlil, proč se měrné teplo pevných látek při nízkých teplotách blížilo k nule, místo aby zůstávalo fixní, jak předpovídá klasická ekvipartice .

Na konferenci Solvay byla nastolena otázka kvantování dalších pohybů a Lorentz poukázal na problém známý jako Rayleigh – Lorentzovo kyvadlo . Pokud vezmete v úvahu kvantové kyvadlo, jehož struna se zkracuje velmi pomalu, kvantové číslo kyvadla se nemůže změnit, protože v žádném okamžiku není dostatečně vysoká frekvence, která by způsobila přechod mezi stavy. Ale frekvence kyvadla se mění, když je struna kratší, takže kvantové stavy mění energii.

Einstein odpověděl, že pro pomalé tažení se frekvence i energie kyvadla mění, ale poměr zůstává neměnný. To je analogické s Wienovým pozorováním, že při pomalém pohybu stěny je poměr energie a frekvence odražených vln konstantní. Závěr byl takový, že kvantifikované množství musí být adiabatické invarianty.

Tuto argumentaci rozšířil Sommerfeld do obecné teorie: kvantové číslo libovolného mechanického systému je dáno proměnnou adiabatického působení. Protože akční proměnná v harmonickém oscilátoru je celé číslo, obecná podmínka je:

Tato podmínka byla základem staré kvantové teorie , která dokázala předpovědět kvalitativní chování atomových systémů. Tato teorie je pro malá kvantová čísla nepřesná, protože kombinuje klasické a kvantové pojmy. Byl to však užitečný krok na půli cesty k nové kvantové teorii .

Fyzika plazmatu

Ve fyzice plazmatu existují tři adiabatické invarianty pohybu nabitých částic.

První adiabatický invariant, μ

Magnetický moment z setrvačných částice,

je konstanta pohybu všech řádů v expanzi , kde je rychlost jakýchkoli změn, které částice zažívá, např. v důsledku kolizí nebo v důsledku časových nebo prostorových variací v magnetickém poli. V důsledku toho zůstává magnetický moment téměř konstantní i při změnách rychlostí blížících se gyrofrekvenci. Když je μ konstantní, energie kolmé částice je úměrná B , takže částice mohou být zahřívány zvýšením B , ale jedná se o „jednorázové“ řešení, protože pole nelze zvyšovat donekonečna. Najde uplatnění v magnetických zrcadlech a magnetických lahvích .

Existuje několik důležitých situací, v nichž magnetický moment je ne neměnný:

  • Magnetické čerpání: Pokud je frekvence kolize větší než frekvence čerpadla, μ již není zachována. Kolize umožňují zejména zahřívání sítě přenosem části kolmé energie na energii paralelní.
  • Cyklotronový ohřev: Pokud B osciluje na frekvenci cyklotronu, je porušena podmínka pro adiabatickou invariantnost a je možné zahřívat. Zejména indukované elektrické pole rotuje ve fázi s některými částicemi a neustále je urychluje.
  • Magnetické špičky: Magnetické pole ve středu hrotu zmizí, takže frekvence cyklotronu je automaticky menší než rychlost jakýchkoli změn. Magnetický moment tedy není konzervován a částice jsou relativně snadno rozptýleny do ztrátového kuželu .

Druhý adiabatický invariant, J.

Podélný invariantní částice zachyceny v magnetické zrcadlo ,

kde integrál je mezi dvěma body obratu, je také adiabatický invariant. To například zaručuje, že se částice v magnetosféře pohybující se kolem Země vždy vrací na stejnou linii síly. Adiabatická podmínka je porušena při magnetickém čerpání v tranzitním čase , kdy je délka magnetického zrcadla oscilována s odrazovou frekvencí, což má za následek zahřívání sítě.

Třetí adiabatický invariant,

Celkový magnetický tok uzavřený driftovým povrchem je třetím adiabatickým invariantem, spojeným s periodickým pohybem částic zachycených v zrcadle unášených kolem osy systému. Protože tento driftový pohyb je relativně pomalý, není často v praktických aplikacích zachován.

Reference

  1. ^ Anosov, DV; Favorskii, AP (1988). "Adiabatický invariant" . V Hazewinkel, Michiel (ed.). Encyclopedia of Mathematics . 1 (AB). Reidel, Dordrecht. 43–44.
  • Yourgrau, Wolfgang; Stanley Mandelstam (1979). Variační principy v dynamice a kvantové teorii . New York: Dover. ISBN   978-0-486-63773-0 . §10
  • Pauli, Wolfgang (1973). Charles P. Enz (ed.). Pauli přednášky z fyziky . 4 . Cambridge, Massachusetts: MIT Press. ISBN   978-0-262-66035-8 . str. 85–89

externí odkazy