Algebraické uzavření - Algebraic closure

V matematiky , zejména algebře , jako algebraické uzavření jednoho pole K je algebraické rozšíření z K , která je algebraicky uzavřen . Je to jeden z mnoha závěrů v matematice.

Použití Zornovy lemma nebo slabší ultrafiltr lemmatu , to může být prokázáno, že každá oblast má algebraické uzavření , a že algebraické uzavření pole K je jedinečná až k izomorfismus , který řeší každý člen K . Vzhledem k tomuto základnímu jedinečnosti, se často hovoří o o algebraické uzavření K , spíše než jako algebraické uzavření K .

Algebraické uzavření polní K může být myšlenka jako největší algebraické rozšíření K . Chcete-li vidět, vědomí, že pokud L je jakákoliv algebraické rozšíření K , pak algebraické uzavření L je algebraické uzavření K , a tak L je obsažena v algebraické uzavření K . Algebraické uzavření K je také nejmenší algebraicky uzavřené pole obsahující K , protože pokud M je jakýkoliv algebraicky uzavřené pole obsahující K , pak prvky M , které jsou algebraické nad K vytvoření algebraické uzavření K .

Algebraické uzavření pole K má stejnou mohutnost jako K, pokud je K nekonečné, a je spočetně nekonečné, pokud je K konečné.

Příklady

• Základní teorém algebry uvádí, že algebraické uzavření oboru reálných čísel je pole komplexních čísel .
• Algebraické uzavření pole racionálních čísel je pole algebraických čísel .
• Existuje mnoho spočetných algebraicky uzavřených polí v komplexních číslech a přísně obsahuje pole algebraických čísel; jedná se o algebraické uzávěry transcendentálních rozšíření racionálních čísel, např. algebraické uzavření Q (π).
• Pro konečného pole o primární energie řádu q , algebraické uzavření je countably nekonečný pole, které obsahuje kopii oblasti objednávky q ⁿ pro každé kladné celé číslo n (a je ve skutečnosti sjednocení těchto kopií).

Existence algebraického uzavření a rozdělení polí

Dovolit být množina všech monických neredukovatelných polynomů v K [ x ]. U každého zavádějte nové proměnné, kde . Nechť R je polynomiální kruh nad K generovaný pro všechny a všechny . Napsat ${\ displaystyle S = \ {f _ {\ lambda} | \ lambda \ v \ Lambda \}}$${\ displaystyle f _ {\ lambda} \ v S}$${\ displaystyle u _ {\ lambda, 1}, \ ldots, u _ {\ lambda, d}}$${\ displaystyle d = {\ rm {stupeň}} (f _ {\ lambda})}$${\ displaystyle u _ {\ lambda, i}}$${\ displaystyle \ lambda \ v \ Lambda}$${\ displaystyle i \ leq {\ rm {stupeň}} (f _ {\ lambda})}$

${\ displaystyle f _ {\ lambda} - \ prod _ {i = 1} ^ {d} (x-u _ {\ lambda, i}) = \ součet _ {j = 0} ^ {d-1} r _ {\ lambda, j} \ cdot x ^ {j} \ v R [x]}$

s . Nechť jsem ideální v R generovaném . Vzhledem k tomu, I je přísně menší než R , Zornovy lemma znamená, že existuje maximální ideální M v R , která obsahuje I . Pole K ₁ = R / M má tu vlastnost, že každý polynom s koeficienty v K se rozdělí jako součin a tedy má všechny kořeny v K ₁ . Stejným způsobem lze zkonstruovat prodloužení K ₂ z K ₁ atd. Spojením všech těchto rozšíření je algebraické uzavření K , protože jakýkoli polynom s koeficienty v tomto novém poli má své koeficienty v některých K _n s dostatečně velkými n , a pak jeho kořeny jsou v K _{n + 1} , a tedy v samotné unii. ${\ displaystyle r _ {\ lambda, j} \ v R}$${\ displaystyle r _ {\ lambda, j}}$${\ displaystyle f _ {\ lambda}}$${\ displaystyle x- (u _ {\ lambda, i} + M),}$

To může být ukázáno ve stejném duchu, že pro jakékoliv z jejích podskupin S z K [ x ], existuje pole štípací z S přes K .

Oddělitelné uzavření

Algebraické uzavření K ^alg z K obsahuje unikátní oddělitelný rozšíření K ^sep z K , který obsahuje všechny (algebraické) oddělitelné rozšíření o K uvnitř K ^ALG . Tato subextension se nazývá oddělitelný uzávěr z K . Vzhledem k tomu, že oddělitelné rozšíření oddělitelného rozšíření je opět oddělitelné, neexistují žádné konečné oddělitelné rozšíření K ^sep stupně> 1. Když to řekneme jiným způsobem, K je obsaženo v poli oddělitelně uzavřeného algebraického rozšíření. Je jedinečný ( až do izomorfismu).

Oddělitelný uzávěr je úplný algebraický uzávěr právě tehdy, když K je dokonalé pole . Například pokud K je pole charakteristické p a je-li X transcendentální nad K , jedná se o neoddělitelné rozšíření algebraického pole. ${\ displaystyle K (X) ({\ sqrt [{p}] {X}}) \ supset K (X)}$

Obecně platí, že absolutní Galois skupiny z K je Galois skupina K ^sep přes K .

Viz také

• Algebraicky uzavřené pole
• Algebraické rozšíření
• Rozšíření Puiseux
• Vyplňte pole

Reference

• Kaplansky, Irving (1972). Pole a prsteny . Přednášky z matematiky v Chicagu (druhé vydání). University of Chicago Press. ISBN   0-226-42451-0 . Zbl   1001,16500 .
• McCarthy, Paul J. (1991). Algebraické rozšíření polí (opravený dotisk 2. vydání). New York: Dover Publications. Zbl   0768.12001 .