Algebraická topologie - Algebraic topology

Algebraická topologie je obor matematiky, který ke studiu topologických prostorů využívá nástroje z abstraktní algebry . Základním cílem je najít algebraické invarianty, které klasifikují topologické prostory až po homeomorfismus , i když obvykle většinou klasifikují až do homotopické ekvivalence .

Ačkoli algebraická topologie primárně používá ke studiu topologických problémů algebru, někdy je také možné použít topologii k řešení algebraických problémů. Topologie algebraická například umožňuje pohodlné důkaz, že jakákoli podskupina z volné skupiny je opět volná skupina.

Hlavní větve algebraické topologie

Níže jsou uvedeny některé z hlavních oblastí studovaných v algebraické topologii:

Homotopy skupiny

V matematice se homotopické skupiny používají v algebraické topologii ke klasifikaci topologických prostorů . První a nejjednodušší homotopická skupina je základní skupina , která zaznamenává informace o smyčkách v prostoru. Skupiny homotopů intuitivně zaznamenávají informace o základním tvaru nebo dírách topologického prostoru.

Homologie

V algebraické topologii a algebře , homologie (částečně z řeckého ὁμός homos „identické“) je určitý obecný postup spojovat sekvence z abelian skupin nebo modulů s danou matematického objektu, jako je topologický prostor nebo skupinu .

Kohomologie

V teorii homologie a algebraické topologii, kohomologie je obecný termín pro sekvenci z abelovských skupin definovaných z komplexu co-řetězce . To znamená, že cohomologie je definována jako abstraktní studium cochains , cocycles a coboundaries . Na kohomologii lze pohlížet jako na způsob přiřazování algebraických invarianty k topologickému prostoru, který má propracovanější algebraickou strukturu než homologie . Kohomologie vzniká algebraickou dualizací konstrukce homologie. V méně abstraktním jazyce by cochainy v zásadním smyslu měly přiřadit „veličiny“ řetězcům teorie homologie.

Rozdělovače

Potrubí je topologický prostor , který u každého bodu se podobá euklidovský prostor . Mezi příklady patří rovina , koule a torus , které lze všechny realizovat ve třech rozměrech, ale také Kleinova láhev a skutečná projektivní rovina, kterou nelze realizovat ve třech rozměrech, ale lze ji realizovat ve čtyřech rozměrech. Typicky se výsledky v algebraické topologii zaměřují na globální, nediferencovatelné aspekty potrubí; například Poincaré dualita .

Teorie uzlu

Teorie uzlů je studium matematických uzlů . Matematický uzel je inspirován uzly, které se objevují v každodenním životě v tkaničkách a lanech, ale liší se tím, že konce jsou spojeny dohromady, takže jej nelze vrátit zpět. V přesném matematického jazyka, uzel je vkládání z kruhu ve 3-rozměrném euklidovském prostoru , . Dva matematické uzly jsou ekvivalentní, pokud jeden lze transformovat na druhý prostřednictvím jeho vlastní deformace (známé jako okolní izotopie ); tyto transformace odpovídají manipulacím se zauzleným řetězcem, které nezahrnují přestřižení řetězce nebo jeho protažení. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{3}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{3}}$

Komplexy

Simplicial komplex je topologický prostor určitého druhu, postavený „slepením“ bodů , úseček , trojúhelníků , a jejich v n rozměrné protějšky (viz obrázek). Simpliciální komplexy by neměly být zaměňovány s abstraktnějším pojmem zjednodušeného souboru, který se objevuje v moderní zjednodušené teorii homotopie. Čistě kombinatorický protějšek zjednodušeného komplexu je abstraktní zjednodušující komplex .

CW komplex je druh topologického prostoru představen JHC Whitehead , aby vyhovovaly potřebám homotopie teorie . Tato třída prostorů je širší a má některé lepší kategorické vlastnosti než zjednodušující komplexy , ale stále si zachovává kombinatorickou povahu, která umožňuje výpočet (často s mnohem menším komplexem).

Metoda algebraických invariantů

Starší název předmětu byl kombinatorická topologie , což znamenalo důraz na to, jak byl prostor X konstruován z jednodušších (moderním standardním nástrojem pro takovou konstrukci je komplex CW ). Ve dvacátých a třicátých letech minulého století rostl důraz na zkoumání topologických prostor pomocí hledání korespondence z nich s algebraickými skupinami , což vedlo ke změně názvu na algebraickou topologii. Název kombinatorické topologie se stále někdy používá ke zdůraznění algoritmického přístupu založeného na rozkladu prostorů.

V algebraickém přístupu je nalezena shoda mezi prostory a skupinami, která respektuje vztah homeomorfismu (nebo obecnější homotopy ) prostorů. To umožňuje přepracovat prohlášení o topologických prostorech na prohlášení o skupinách, které mají velkou zvládnutelnou strukturu, což často usnadňuje jejich prokázání. Toho lze dosáhnout dvěma hlavními způsoby, a to prostřednictvím základních skupin nebo obecněji teorie homotopie a prostřednictvím skupin homologie a kohomologie . Základní skupiny nám poskytují základní informace o struktuře topologického prostoru, ale často nejsou neabelské a je obtížné s nimi pracovat. Základní skupina (konečného) zjednodušeného komplexu má konečnou prezentaci .

Homologické a kohomologické skupiny jsou naproti tomu abelianské a v mnoha důležitých případech konečně generované. Konečně generované abelianské skupiny jsou zcela klasifikovány a pracuje se s nimi obzvláště snadno.

Nastavení v teorii kategorií

Obecně jsou všechny konstrukce algebraické topologie funktoriální ; zde vznikly pojmy kategorie , funktoru a přirozené transformace . Základní skupiny a skupiny homologie a cohomologie nejsou jen invarianty základního topologického prostoru v tom smyslu, že dva topologické prostory, které jsou homeomorfní, mají stejné přidružené skupiny, ale také jim odpovídají přidružené morfismy - souvislé mapování prostorů vyvolává skupinový homomorfismus na přidružené skupiny a tyto homomorfismy lze použít k ukázání neexistence (nebo mnohem hlouběji existence) mapování.

Jedním z prvních matematiků, kteří pracovali s různými druhy cohomologie, byl Georges de Rham . K prozkoumání rozpustnosti diferenciálních rovnic definovaných na dotyčném potrubí je možné použít diferenciální strukturu hladkých variet prostřednictvím de Rhamovy cohomologie nebo Čechovy nebo Sheafovy kohomologie . De Rham ukázal, že všechny tyto přístupy spolu souvisejí a že pro uzavřený, orientovaný varietní program byla čísla Betti odvozená prostřednictvím zjednodušující homologie stejná čísla Betti jako čísla odvozená prostřednictvím de Rhamovy cohomologie. To bylo rozšířeno v padesátých letech minulého století, kdy Samuel Eilenberg a Norman Steenrod zobecnili tento přístup. Definovali homologii a cohomologii jako funktory vybavené přirozenými transformacemi podléhajícími určitým axiomům (např. Slabá ekvivalence prostorů přechází do izomorfismu homologických skupin), ověřili, že všechny existující (ko) homologické teorie tyto axiomy splňují, a poté dokázali, že takové axiomatizace jedinečně charakterizovala teorii.

Aplikace algebraické topologie

Klasické aplikace algebraické topologie zahrnují:

• Věta o pevném bodě Brouwer : každý kontinuální mapa z jednotky n -disk k sobě má pevný bod.
• Volný hodnost n -tého homologie skupiny s simpliciální komplexu je n th Betti čísla , což umožňuje jeden pro výpočet charakteristiky Euler-Poincaré .
• K prozkoumání řešitelnosti diferenciálních rovnic definovaných na daném varietě je možné použít diferenciální strukturu hladkých variet pomocí de Rhamovy cohomologie nebo Čechovy nebo Sheafovy kohomologie .
• Rozdělovač je orientovatelný, pokud jsou vrcholovými integrálními homologickými skupinami celá čísla, a je neorientovatelný, když je 0.
• N -sphere připouští nikde nevymizí spojité jednotce vektorové pole tehdy, když n je liché. (Pro n  = 2 se tomu někdy říká „ chlupatá koulová věta “.)
• Borsuk-Ulam věta : každé nepřetržité mapa z n -sphere k euklidovské n kosmická zjištěno alespoň jedné dvojice protilehlých bodů.
• Jakákoli podskupina bezplatné skupiny je zdarma. Tento výsledek je docela zajímavý, protože tvrzení je čistě algebraické, ale nejjednodušší známý důkaz je topologický. Konkrétně, každý volný skupina G může být realizován jako základní části grafu X . Hlavní věta o pokrývání prostorů nám říká, že každá podskupina H z G je základní skupinou nějakého krycího prostoru Y z X ; ale každé takové Y je opět graf. Proto je její základní skupina H volná. Na druhé straně je tento typ aplikace také řešen jednodušeji použitím krycích morfismů groupoidů a tato technika přinesla věty o podskupinách, které dosud nebyly metodami algebraické topologie prokázány; viz Higgins (1971) .
• Topologická kombinatorika .

Pozoruhodné algebraické topology

Důležité věty v algebraické topologii

Viz také

Poznámky

Reference

• Allegretti, Dylan GL (2008), Simplicial Sets a van Kampenova věta (Diskutuje o generalizovaných verzích van Kampenovy věty aplikované na topologické prostory a zjednodušující množiny).
• Bredon, Glen E. (1993), topologie a geometrie , absolventské texty z matematiky, 139 , Springer, ISBN 0-387-97926-3.
• Brown, R. (2007), Vyšší dimenzionální teorie skupin (Poskytuje široký pohled na vyšší dimenzionální van Kampenovy věty zahrnující více grupoidů) .
• Brown, R .; Razak, A. (1984), "Van Kampenova věta pro odbory nespojených prostorů", Arch. Matematika. , 42 : 85–88, doi : 10,1007/BF01198133. "Dává obecnou větu o základním grupoidu se sadou základních bodů prostoru, což je spojení otevřených množin."
• Brown, R .; Hardie, K .; Kamps, H .; Porter, T. (2002), „Homotopy dvojitý groupoid Hausdorffova prostoru“ , Theory Appl. Kategorie , 10 (2): 71–93.
• Brown, R .; Higgins, PJ (1978), „O spojení mezi druhými relativními homotopickými skupinami některých souvisejících prostorů“, Proc. Londýnská matematika. Soc. , S3-36 (2): 193–212, doi : 10,1112/plms/s3-36.2.193. „První 2-dimenzionální verze van Kampenovy věty.“
• Brown, Ronald; Higgins, Philip J .; Sivera, Rafael (2011), Nonabelian Algebraic Topology: Filtered Spaces, Crossed Complexes, Cubical Homotopy Groupoids , European Mathematical Society Tracts in Mathematics, 15 , European Mathematical Society, arXiv : math/0407275 , ISBN 978-3-03719-083-8, archivováno od originálu dne 2009-06-04 To poskytuje homotopický teoretický přístup k základní algebraické topologii, aniž by bylo nutné mít základ v singulární homologii nebo metodě zjednodušující aproximace. Obsahuje spoustu materiálu o zkřížených modulech .
• Fraleigh, John B. (1976), první kurz abstraktní algebry (2. vydání), Reading: Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1
• Greenberg, Marvin J .; Harper, John R. (1981), Algebraic Topology: A First Course, Revised edition , Mathematics Lecture Note Series, Westview/Perseus, ISBN 9780805335576. Funktoriální, algebraický přístup původně od Greenberga s geometrickou příchutí přidanou Harperem.
• Hatcher, Allen (2002), algebraická topologie , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0. Moderní, geometricky laděný úvod do algebraické topologie.
• Higgins, Philip J. (1971), Poznámky ke kategoriím a groupoidům , Van Nostrand Reinhold, ISBN 9780442034061
• Maunder, CRF (1970), algebraická topologie , Londýn: Van Nostrand Reinhold, ISBN 0-486-69131-4.
• tom Dieck, Tammo (2008), algebraická topologie , učebnice EMS v matematice, European Mathematical Society, ISBN 978-3-03719-048-7
• van Kampen, Egbert (1933), „O spojení mezi základními skupinami některých souvisejících prostorů“, American Journal of Mathematics , 55 (1): 261–7, JSTOR  51000091

Další čtení

• Hatcher, Allen (2002). Algebraická topologie . Cambridge University Press . ISBN 0-521-79160-X.a ISBN  0-521-79540-0 .
• „Algebraická topologie“ , Encyklopedie matematiky , EMS Press , 2001 [1994]
• Květen JP (1999). Stručný kurz algebraické topologie (PDF) . University of Chicago Press . Citováno 2008-09-27 . Oddíl 2.7 poskytuje kategorii-teoretickou prezentaci věty jako colimit v kategorii grupoidů.