Algebraicky uzavřené těleso - Algebraically closed field


z Wikipedie, otevřené encyklopedie

V algebře , An algebraicky uzavřené pole F obsahuje kořen pro každou nekonstantní polynom v F [ x ] je kruh polynomů v proměnné x s koeficienty v F .

Příklady

Jako příklad, pole z reálných čísel není algebraicky uzavřen, protože polynomická rovnice x 2  + 1 = 0 nemá žádné řešení v reálných čísel, i když všechny koeficienty (1, 0) jsou reálné. Stejný argument dokazuje, že žádný subfield reálné pole je algebraicky uzavřená; zejména pole racionálních čísel není algebraicky zavřené. Také, bez konečné pole F je algebraicky uzavřen, protože pokud 1 , 2 , ..., n jsou prvky F , pak je polynom ( x  -  1 ) ( x  -  2 ) ··· ( x  -  n ) + 1 nemá nulu v F . Naproti tomu základní věta algebry říká, že pole komplexních čísel je algebraicky zavřené. Dalším příkladem algebraicky uzavřené pole je pole (komplex) čísel algebraických .

rovnocenné vlastnosti

Vzhledem k tomu, pole F , tvrzení „ F je algebraicky zavřené“ je ekvivalentní s jinými tvrzeními:

Jediné ireducibilní polynom jsou ty studia jednoho

Pole F je algebraicky uzavřen pouze v případě, že pouze ireducibilní polynomy v polynomů kroužku F [ x ] jsou ty stupně jedna.

Tvrzení „jsou polynomy stupně jedna jsou nesnížitelná“ je triviálně platí pro všechny oblasti. Jestliže F je algebraicky uzavřen a p ( x ) je ireducibilní polynom F [ x ], pak to má nějaký kořen A , a proto p ( x ) je násobek x  -  . Vzhledem k tomu, p ( x ) je nesnížitelný, což znamená, že p ( x ) =  K ( x  -  ), pro některé k  ∈  F  \ {0}. Na druhé straně, v případě, F není algebraicky uzavřen, pak je zde nějaký nekonstantní polynom p ( x ) v F [ x ] bez kořenů v F . Nechť q ( x ) být nějaký nesnížitelný faktor p ( x ). Vzhledem k tomu, p ( x ) nemá žádné kořeny v F , q ( x ) má také žádné kořeny v F . Z tohoto důvodu, q ( x ) má stupeň větší než jedna, protože každý první stupeň polynom má jeden kořen v F .

Každý polynom je produktem prvního stupně polynomů

Pole F je algebraicky uzavřený tehdy, když každý polynom p ( x ) stupně n  ≥ 1, s koeficienty v F , se rozdělí do lineárních faktorů . Jinými slovy, tam jsou prvky kX 1X 2 , ...,  x n polní F tak, že p ( x ) =  k ( x  -  x 1 ) ( x  -  x 2 ) ··· ( x  -  x n ).

Jestliže F má tuto vlastnost, pak jasně každý nekonstantní polynom F [ x ] má nějaký kořen v F ; Jinými slovy, F je algebraicky zavřené. Na druhé straně, že vlastnost zde řečeno, platí pro F , jestliže F je algebraicky uzavřený vyplývá z předchozího vlastnost spolu se skutečností, že pro všechna pole K , jakýkoli polynom K [ x ] je možno zapsat jako součin neredukovatelné polynomů ,

Polynomy prime stupně mají kořeny

J. Shipman ukázala, v roce 2007, že pokud každý polynom nad F prime stupně má kořeny v F , pak každý nekonstantní polynom má kořeny v F , tedy F je algebraicky uzavřen.

Pole nemá řádnou algebraické rozšíření

Pole F je algebraicky zavřené tehdy a jen tehdy, pokud nemá správnou algebraické rozšíření .

Jestliže F nemá správnou algebraické rozšíření, ať p ( x ) být nějaký ireducibilní polynom F [ x ]. Potom se podíl z F [ x ] modulo ideální generované p ( x ) je algebraická rozšíření F , jejíž stupeň je roven stupni p ( x ). Vzhledem k tomu, že se nejedná o správné rozšíření, jeho stupeň je 1, a tudíž stupeň p ( x ) je 1.

Na druhé straně, v případě, F má nějaké vlastní algebraické rozšíření K , pak je minimální polynom prvku v K  \  F je nesnížitelný a jeho stupeň je větší než 1.

Pole nemá správný konečný prodloužení

Pole F je algebraicky zavřené tehdy a jen tehdy, pokud to nemá žádný konečný algebraické rozšíření , protože pokud v rámci předchozího důkazu , slovo „algebraické“ se nahrazuje slovem „konečné“, pak je důkazem je stále platný.

Každý endomorphism F n má nějakou vlastní vektor

Pole F je algebraicky zavřené tehdy a jen tehdy, když pro každé přirozené číslo n , každou lineární mapy od F n do sebe má nějaké vlastní vektor .

Endomorphism z F n má vlastní vektor tehdy, když jeho charakteristický polynom má nějaký kořen. Proto, když F je algebraicky uzavřený, každý endomorphism F n má nějakou vlastní vektor. Na druhé straně, je-li každý endomorphism F n má vlastní vektor, ať p ( x ) je prvek F [ x ]. Dělení jeho vedoucí koeficient, dostaneme další polynom q ( x ), která má kořeny právě tehdy, když p ( x ) má kořeny. Ale pokud q ( x ) =  x n  +  n  - 1 x n  - 1 + ··· +  0 , potom q ( x ) je charakteristický polynom n x n doprovodné matice

Rozklad racionálních výrazů

Pole F je algebraicky uzavřený tehdy, když každý racionální funkce jedné proměnné x , s koeficienty v F , lze zapsat jako součet polynomické funkce s racionálními funkcemi forma a / ( x  -  b ) n , kde n je přirozené číslo, a a b jsou prvky F .

Jestliže F je algebraicky uzavřený pak, protože ireducibilní polynomy v F [ x ] jsou všechny stupně 1, vlastnost výše uvedené platí podle věty o částečném frakce rozkladu .

Na druhé straně předpokládejme, že vlastnost výše uvedené platí pro pole F . Nechť p ( x ) je ireducibilní prvkem F [ x ]. Potom racionální funkce 1 / p může být psáno jako součet polynomické funkce q s racionálními funkcemi forma a / ( x  -  b ) n . Proto je racionální vyjádření

může být psáno jako podíl dvou polynomů, ve kterém jmenovatel je produkt prvního stupně polynomů. Vzhledem k tomu, p ( x ) je nesnížitelný, musí se tento produkt dělit, a proto musí být také první stupeň polynomu.

Poměrně hlavní polynomy a kořeny

Pro jakékoliv oblasti F , pokud dva polynomy p ( x ), q ( x ) ∈  F [ x ] jsou relativně primární pak nemají společný kořen, protože pokud  ∈  F byl obyčejný kořen, pak  p ( x ) a   q ( x ) se oba násobky x  -  , a proto by neměl být relativně připravit. Pole, u nichž opačná implikace drží (to znamená, že pole takové, že vždy dva polynomy nemají žádný společný kořen pak jsou relativně prvočíslo) jsou přesně algebraicky uzavřené těleso.

Pokud je pole F je algebraicky uzavřený, ať p ( x ) a q ( x ) dva polynomy, které nejsou relativně připravit a nechají r ( x ) je jejich největší společný dělitel . Potom, protože R ( x ) není konstantní, bude mít nějakou kořenový A , která bude pak společný kořen p ( x ) a q ( x ).

Jestliže F není algebraicky uzavřený, ať p ( x ) je polynom, jehož stupeň je alespoň 1 bez kořenů. Pak p ( x ) a p ( x ) nejsou relativně prvočíslo, ale nemají žádné společné kořeny (neboť žádný z nich má kořeny).

Ostatní vlastnosti

Jestliže F je algebraicky uzavřené pole a n je přirozené číslo, pak F , který obsahuje všechny n th kořeny jednoty, protože to jsou (podle definice), na n (ne nutně odlišné) nuly polynomu x n  - 1. rozšíření pole který je obsažen v prodloužení generované kořenů jednoty je cyclotomic prodloužení a rozšíření pole generovaného všemi kořeny jednoty se někdy nazývá jeho cyclotomic uzávěr . Tak algebraicky uzavřené pole cyclotomically uzavřeny. Hovořit není pravda. I za předpokladu, že každý polynom tvar x n  -  několika rozdělí do lineárních faktorů nestačí pro zajištění, že je pole algebraicky uzavřen.

Je-li problém, který může být vyjádřen v jazyce logiky prvního řádu platí pro algebraicky uzavřené oblasti, pak to platí pro každého algebraicky uzavřené pole se stejnou charakteristikou . Kromě toho, je-li takový návrh je platný pro algebraicky uzavřené pole s charakteristickou 0, pak není jen to platí pro všechny ostatní algebraicky uzavřených oblastí s charakteristickou 0, ale tam je nějaké přirozené číslo N takové, že tvrzení platí pro všechny algebraicky zavřené pole s charakteristickým  p , když p  >  N .

Každé pole F má nějaké rozšíření, která je algebraicky uzavřené. Toto prodloužení se nazývá algebraicky uzavřený rozšíření . Ze všech těchto rozšíření je jeden a pouze jeden ( až do izomorfismu , ale ne jedinečný izomorfismus ), což je algebraické rozšíření z F ; to se nazývá algebraické uzavření of F .

Teorie algebraicky uzavřené těleso má kvantifikátor eliminaci .

Poznámky

Reference

  • Barwise, Jon (1978), "Úvod do logiky prvního řádu", v BARWISE, Jon, Handbook of matematické logiky , studia v logice a založeních matematiky, Severní Holandsko, ISBN  0-7204-2285-X
  • Lang, Serge (2002), algebry , postgraduální Texty matematiky , 211 (revidovaný třetí vyd.), New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4 , MR  1878556
  • Shipman, Joseph (2007), "Zlepšení základní věty algebry," Matematické zpravodaj , 29 (4), pp 9-14,. Doi : 10,1007 / BF02986170 , ISSN  0343-6993
  • van der Waerden, Bartel Leendert (2003), Algebra , I (7th ed.), Springer-Verlag, ISBN  0-387-40624-7