Amorfní sada - Amorphous set

V teorii množin , An amorfní množina je nekonečná množina , která není disjunktní sjednocení dvou nekonečných podskupin .

Existence

Amorfní množiny nemohou existovat, pokud se předpokládá zvolený axiom . Fraenkel sestrojil permutační model Zermelo – Fraenkel s atomy, ve kterém je sada atomů amorfní množinou. Po Cohenově počáteční práci na vynucování v roce 1963 byly získány důkazy o shodě amorfních sad se Zermelo – Fraenkel .

Další vlastnosti

Každá amorfní sada je Dedekind-konečná , což znamená, že nemá žádnou návaznost na správnou podmnožinu sebe sama. Chcete -li to vidět, předpokládejme, že je to sada, která má bijekci na správnou podmnožinu. Pro každé přirozené číslo definujte množinu prvků, které patří k obrazu skládaného složení f se sebou samým, ale nikoli k obrazu skládaného složení. Pak je každý neprázdný, takže spojení množin se sudými indexy by bylo nekonečnou množinou, jejíž doplněk v je také nekonečný, což ukazuje, že to nemůže být amorfní. Opak však nemusí být nutně pravdivý: je konzistentní, aby existovalo nekonečné množství Dedekind-konečných množin, které nejsou amorfní.

Lineárně nelze uspořádat žádnou amorfní sadu . Protože obraz amorfní množiny je sám buď amorfní nebo konečný, vyplývá z toho, že každá funkce od amorfní množiny po lineárně uspořádanou množinu má pouze konečný obraz.

Cofinite filtr na amorfním sadě je ultrafiltr . Důvodem je, že komplement každé nekonečné podmnožiny nesmí být nekonečný, takže každá podmnožina je buď konečná nebo kofinitová.

Variace

Pokud je oddíl amorfní sady do konečných podmnožin, pak musí existovat přesně jedno celé číslo , které má nekonečně mnoho podmnožin velikosti ; protože pokud byla každá velikost použita konečně mnohokrát nebo pokud byla více než jedna velikost použita nekonečně mnohokrát, tato informace by mohla být použita k hrubnutí oddílu a rozdělení do dvou nekonečných podmnožin. Pokud má amorfní množina další vlastnost, kterou pro každý oddíl , pak se nazývá přísně amorfní nebo silně amorfní , a pokud existuje konečná horní hranice, pak se sada nazývá ohraničená amorfní . Je v souladu se ZF, že amorfní sady existují a jsou všechny ohraničené, nebo že existují a jsou neomezené.

Reference