Úhlová vzdálenost - Angular distance

Úhlová vzdálenost (také známá jako úhlová separace , zdánlivá vzdálenost nebo zdánlivá separace ) je úhel mezi dvěma pozorovacími čarami nebo mezi dvěma bodovými objekty při pohledu od pozorovatele. ${\ displaystyle \ theta}$

Úhlová vzdálenost se objevuje v matematice (zejména geometrii a trigonometrii ) a všech přírodních vědách (např. Astronomie a geofyzika ). V klasické mechanice rotujících předmětů se objevuje vedle úhlové rychlosti , úhlového zrychlení , momentu hybnosti , momentu setrvačnosti a točivého momentu .

Použití

Termín úhlová vzdálenost (nebo separace ) je technicky synonymem samotného úhlu , ale má naznačovat lineární vzdálenost mezi objekty (například pár hvězd pozorovaných ze Země ).

Měření

Vzhledem k tomu, že úhlová vzdálenost (nebo separace) je koncepčně shodná s úhlem, měří se ve stejných jednotkách , jako jsou stupně nebo radiány , pomocí přístrojů, jako jsou goniometry nebo optické přístroje speciálně konstruované tak, aby ukazovaly v přesně definovaných směrech a zaznamenávaly odpovídající úhly (například teleskopy ).

Rovnice

Obecný případ

Úhlové oddělení mezi body A a B

{\ displaystyle \ theta}

K odvození rovnice, která popisuje úhlové oddělení dvou bodů umístěných na povrchu koule při pohledu ze středu koule, použijeme příklad dvou astronomických objektů a pozorovaných ze Země. Objekty a jsou definovány svými nebeských souřadnic , a to jejich pravých vzestupem (RA) , ; a sklony (DEC) , . Označme pozorovatele na Zemi, který se předpokládá, že se nachází ve středu nebeské sféry . Skalární součin vektorů a je roven: ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ Displaystyle (\ alpha _ {A}, \ alpha _ {B}) \ v [0,2 \ pi]}$ ${\ Displaystyle (\ delta _ {A}, \ delta _ {B}) \ in [-\ pi /2, \ pi /2]}$ ${\ displaystyle O}$ ${\ displaystyle \ mathbf {OA}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {OB}}$

{\ Displaystyle \ mathbf {OA} \ cdot \ mathbf {OB} = R^{2} \ cos \ theta}

což odpovídá:

{\ Displaystyle \ mathbf {n_ {A}}. \ mathbf {n_ {B}} = \ cos \ theta}

V rámci jsou dva unitární vektory rozloženy na: ${\ displaystyle (x, y, z)}$

{\ Displaystyle \ mathbf {n_ {A}} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ delta _ {A} \ cos \ alpha _ {A} \\\ cos \ delta _ {A} \ sin \ alpha _ { A} \\\ sin \ delta _ {A} \ end {pmatrix}} \ mathrm {\ qquad a \ qquad} \ mathbf {n_ {B}} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ delta _ {B} \ cos \ alpha _ {B} \\\ cos \ delta _ {B} \ sin \ alpha _ {B} \\\ sin \ delta _ {B} \ end {pmatrix}}}

.

Proto,

{\ Displaystyle \ mathbf {n_ {A}} \ mathbf {n_ {B}} = \ cos \ delta _ {A} \ cos \ alpha _ {A} \ cos \ delta _ {B} \ cos \ alpha _ { B}+\ cos \ delta _ {A} \ sin \ alpha _ {A} \ cos \ delta _ {B} \ sin \ alpha _ {B}+\ sin \ delta _ {A} \ sin \ delta _ { B} \ equiv \ cos \ theta}

pak:

{\ Displaystyle \ theta = \ cos ^{-1} \ left [\ sin \ delta _ {A} \ sin \ delta _ {B}+\ cos \ delta _ {A} \ cos \ delta _ {B} \ cos (\ alpha _ {A}-\ alpha _ {B}) \ vpravo]}

Malá aproximace úhlové vzdálenosti

Výše uvedený výraz platí pro jakoukoli polohu A a B na kouli. V astronomii se často stává, že uvažované objekty jsou na obloze opravdu blízko: hvězdy v zorném poli dalekohledu, binární hvězdy, satelity obřích planet sluneční soustavy atd. V případě, kdy radián, implikující a , můžeme výše uvedený výraz rozvinout a zjednodušit. V aproximaci malým úhlem , ve druhém řádu, se výše uvedený výraz stane: ${\ Displaystyle \ theta \ ll 1}$ ${\ Displaystyle \ alpha _ {A}-\ alpha _ {B} \ ll 1}$ ${\ Displaystyle \ delta _ {A}-\ delta _ {B} \ ll 1}$

{\ Displaystyle \ cos \ theta \ cca 1-{\ frac {\ theta ^{2}} {2}} \ cca \ sin \ delta _ {A} \ sin \ delta _ {B}+\ cos \ delta _ {A} \ cos \ delta _ {B} \ left [1-{\ frac {(\ alpha _ {A}-\ alpha _ {B})^{2}} {2}} \ right]}

význam

{\ Displaystyle 1-{\ frac {\ theta ^{2}} {2}} \ cca \ cos (\ delta _ {A}-\ delta _ {B})-\ cos \ delta _ {A} \ cos \ delta _ {B} {\ frac {(\ alpha _ {A}-\ alpha _ {B})^{2}} {2}}}

proto

{\ Displaystyle 1-{\ frac {\ theta ^{2}} {2}} \ cca 1-{\ frac {(\ delta _ {A}-\ delta _ {B}) ^{2}} {2 }}-\ cos \ delta _ {A} \ cos \ delta _ {B} {\ frac {(\ alpha _ {A}-\ alpha _ {B})^{2}} {2}}}

.

Vzhledem k tomu a při vývoji druhého řádu se to změní , takže tak ${\ Displaystyle \ delta _ {A}-\ delta _ {B} \ ll 1}$ ${\ Displaystyle \ alpha _ {A}-\ alpha _ {B} \ ll 1}$ ${\ Displaystyle \ cos \ delta _ {A} \ cos \ delta _ {B} {\ frac {(\ alpha _ {A}-\ alpha _ {B})^{2}} {2}} \ cca \ cos ^{2} \ delta _ {A} {\ frac {(\ alpha _ {A}-\ alpha _ {B}) ^{2}} {2}}}$

{\ Displaystyle \ theta \ zhruba {\ sqrt {\ left [(\ alpha _ {A}-\ alpha _ {B}) \ cos \ delta _ {A} \ right]^{2}+(\ delta _ { A}-\ delta _ {B})^{2}}}}

Malá úhlová vzdálenost: rovinná aproximace

Rovinná aproximace úhlové vzdálenosti na obloze

Pokud vezmeme v úvahu detektor zobrazující malé pole oblohy (rozměr mnohem menší než jeden radián) s -osou směřující nahoru, rovnoběžně s poledníkem pravého vzestupu a -osou podél rovnoběžky deklinace , úhlovou separaci lze zapsat jako : ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ Displaystyle \ delta}$

{\ Displaystyle \ theta \ zhruba {\ sqrt {\ delta x^{2}+\ delta y^{2}}}}

kde a

{\ Displaystyle \ delta x = (\ alpha _ {A}-\ alpha _ {B}) \ cos \ delta _ {A}}

{\ Displaystyle \ delta y = \ delta _ {A}-\ delta _ {B}}

Všimněte si, že -osa se rovná deklinaci, zatímco -osa je pravý vzestup modulovaný tím, že část sféry o poloměru při deklinaci (zeměpisná šířka) je (viz obrázek). ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle \ cos \ delta _ {A}}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ Displaystyle \ delta}$ ${\ Displaystyle R '= R \ cos \ delta _ {A}}$

Languages

In other projects