Antiderivativní - Antiderivative

Sklon pole o , ukazující tři z nekonečně mnoho řešení, která se mohou vyrobit tím, že mění libovolné konstanty

c

.

{\ Displaystyle F (x) = {\ frac {x^{3}} {3}}-{\ frac {x^{2}} {2}}-x+c}

V počtu , An primitivní , inverzní derivace , primitivní funkce , primitivní integrálu nebo neurčitý integrál části funkce $f$ je diferenciální funkci $F$ , jejíž derivace je rovna původní funkce $f$ . To lze symbolicky vyjádřit jako $F ' = f$ . Proces řešení pro antiderivativa se nazývá antidiferenciace (nebo neurčitá integrace ) a jeho opačná operace se nazývá diferenciace , což je proces hledání derivátu. Primitivní funkce jsou často označovány velkými latinkou , jako jsou $F$ a $G$ .

Antiderivativa se vztahují k určitým integrálům prostřednictvím základní věty o počtu : určitý integrál funkce přes interval se rovná rozdílu mezi hodnotami antiderivativu vyhodnocenými v koncových bodech intervalu.

Ve fyzice vznikají primitivy v kontextu přímočarého pohybu (např. Při vysvětlování vztahu mezi polohou , rychlostí a zrychlením ). Diskrétní ekvivalent pojmu primitivní funkce je antidifference .

Příklady

Funkce je antiderivativem , protože derivace je a vzhledem k tomu, že derivace konstanty je nulová , bude mít nekonečný počet antiderivativ, jako např . Atd. Všechny antiderivativa funkce lze tedy získat změnou hodnoty $c$ in , kde $c$ je libovolná konstanta známá jako konstanta integrace . Grafy antiderivativ dané funkce jsou v podstatě navzájem svislé překlady , přičemž svislá poloha každého grafu závisí na hodnotě $c$ . ${\ displaystyle F (x) = {\ tfrac {x^{3}} {3}}}$ ${\ Displaystyle f (x) = x^{2}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {x^{3}} {3}}}$ ${\ displaystyle x^{2}}$ ${\ displaystyle x^{2}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {x^{3}} {3}}, {\ tfrac {x^{3}} {3}}+1, {\ tfrac {x^{3}} {3}}- 2}$ ${\ displaystyle x^{2}}$ ${\ displaystyle F (x) = {\ tfrac {x^{3}} {3}}+c}$

Obecněji má mocenská funkce primitivní hodnotu, pokud $n$ $\neq -1$ , a pokud $n$ $= -1$ . ${\ Displaystyle f (x) = x^{n}}$ ${\ Displaystyle F (x) = {\ tfrac {x^{n+1}} {n+1}}+c}$ ${\ Displaystyle F (x) = \ ln | x |+c}$

Ve fyzice přináší integrace zrychlení rychlost plus konstantu. Konstanta je počáteční rychlostní člen, který by se ztratil při odvození derivace rychlosti, protože derivace konstantního členu je nulová. Stejný vzorec platí pro další integrace a derivace pohybu (poloha, rychlost, zrychlení atd.).

Použití a vlastnosti

Antiderivativa lze použít k výpočtu určitých integrálů pomocí základní věty o počtu : pokud $F$ je antiderivativem integrovatelné funkce $f$ v intervalu , pak: ${\ displaystyle [a, b]}$

{\ Displaystyle \ int _ {a}^{b} f (x) \, \ mathrm {d} x = F (b) -F (a).}

Z tohoto důvodu je každé nekonečně mnoho doplňkových funkcí dané funkce $f$ někdy nazýváno „obecný integrál“ nebo „neurčitý integrál“ f a je psáno pomocí integrálního symbolu bez hranic:

{\ Displaystyle \ int f (x) \, \ mathrm {d} x.}

Jestliže $F$ je primitivní $f$ , a funkce $f$ je definována na nějakém intervalu, pak každý druhý primitivní $G$ z $f$ liší od $F$ konstantou: existuje řada $c$ tak, že pro všechny $x$ . $c$ se nazývá konstanta integrace . V případě, že doména $F$ je disjunktní sjednocení dvou nebo více (otevřené) intervalech, poté různé integrační konstanta může být zvolena pro každý z intervalů. Například ${\ Displaystyle G (x) = F (x)+c}$

{\ Displaystyle F (x) = {\ begin {cases}-{\ frac {1} {x}}+c_ {1} \ quad x <0 \\-{\ frac {1} {x}}+c_ {2} \ quad x> 0 \ end {cases}}}

je nejobecnějším prvkem ve své přirozené doméně ${\ Displaystyle f (x) = 1/x^{2}}$ ${\ Displaystyle (-\ infty, 0) \ cup (0, \ infty).}$

Každá spojitá funkce $f$ má primitivní hodnotu a jedna primitivní $F$ je dána určitým integrálem $f$ s proměnnou horní hranicí:

{\ Displaystyle F (x) = \ int _ {0}^{x} f (t) \, \ mathrm {d} t.}

Změna spodní hranice produkuje další antiderivativa (ale ne nutně všechna možná antiderivativa). Toto je další formulace základní věty o počtu .

Existuje mnoho funkcí, jejichž primitivní funkce, přestože existují, nelze vyjádřit elementárními funkcemi (jako polynomy , exponenciální funkce , logaritmy , goniometrické funkce , inverzní goniometrické funkce a jejich kombinace). Příklady takových jsou

{\ Displaystyle \ int e^{-x^{2}} \, \ mathrm {d} x, \ qquad \ int \ sin x^{2} \, \ mathrm {d} x, \ qquad \ int {\ frac {\ sin x} {x}} \, \ mathrm {d} x, \ qquad \ int {\ frac {1} {\ ln x}} \, \ mathrm {d} x, \ qquad \ int x^ {x} \, \ mathrm {d} x.}

Zleva doprava jsou první čtyři chybová funkce , Fresnelova funkce , goniometrický integrál a logaritmická integrální funkce . Podrobnější diskusi viz také Differential Galois theory .

Integrační techniky

Hledání primitivů elementárních funkcí je často podstatně těžší než hledání jejich derivátů (ve skutečnosti neexistuje žádná předem definovaná metoda pro výpočet neurčitých integrálů). U některých elementárních funkcí není možné najít primitivní funkci z hlediska jiných elementárních funkcí. Chcete -li se dozvědět více, podívejte se na základní funkce a neelementární integrály .

Existuje mnoho vlastností a technik pro hledání antiderivativ. Mezi ně patří mimo jiné:

Linearity integrace (který rozbije složité integrály do těch jednodušších)
Integrace substitucí , často kombinovaná s goniometrickými identitami nebo přirozeným logaritmem
- Metoda inverzního řetězového pravidla (speciální případ integrace substitucí)
Integrace po částech (pro integraci produktů funkcí)
Integrace inverzní funkce (vzorec, který vyjadřuje antiderivaci inverzní $f -1$ invertibilní a spojité funkce $f$ , pokud jde o antiderivaci $f$ a $f -1$ ).
Metoda parciálních zlomků v integraci (která nám umožňuje integrovat všechny racionální funkce - zlomky dvou polynomů)
Algoritmus Risch
Další techniky pro vícenásobné integrace (viz například dvojité integrály , polární souřadnice , jakobiánská a Stokesova věta )
Numerická integrace (technika aproximace určitého integrálu, když neexistuje žádná elementární antiderivace, jako v případě $exp ( - x 2)$ )
Algebraická manipulace integrandu (takže lze použít i jiné integrační techniky, jako je integrace substitucí)
Cauchyův vzorec pro opakovanou integraci (pro výpočet $n$ -násobku primitivní funkce) ${\ Displaystyle \ int _ {x_ {0}}^{x} \ int _ {x_ {0}}^{x_ {1}} \ cdots \ int _ {x_ {0}}^{x_ {n-1 }} f (x_ {n}) \, \ mathrm {d} x_ {n} \ cdots \, \ mathrm {d} x_ {2} \, \ mathrm {d} x_ {1} = \ int _ {x_ {0}}^{x} f (t) {\ frac {(xt)^{n-1}} {(n-1)!}} \, \ Mathrm {d} t.}$

Systémy počítačové algebry lze použít k automatizaci některých nebo všech prací zapojených do výše uvedených symbolických technik, což je užitečné zejména tehdy, když jsou algebraické manipulace velmi složité nebo zdlouhavé. Integrály, které již byly odvozeny, lze vyhledat v tabulce integrálů .

Nespojitých funkcí

Nespojité funkce mohou mít antiderivativa. I když v této oblasti stále existují otevřené otázky, je známo, že:

Některé vysoce patologické funkce s velkými soubory diskontinuit však mohou mít antiderivativa.
V některých případech mohou být antiderivativa těchto patologických funkcí nalezena Riemannovou integrací , zatímco v jiných případech nejsou tyto funkce Riemannově integrovatelné.

Za předpokladu, že domény funkcí jsou otevřené intervaly:

Nezbytnou, ale ne dostačující podmínkou funkce $f,$ která má primitivní funkci, je, že $f$ má vlastnost střední hodnoty . To znamená, že v případě, $[ , b]$ je podinterval definičního oboru $f$ a $y$ je jakékoliv reálné číslo mezi $f ( )$ a $f (b)$ , pak existuje $c$ mezi a $b$ tak, že $f$ $($ $c$ $) =$ $y$ . To je důsledek Darbouxovy věty .
Množina nespojitostí $f$ musí být malá . Tato sada musí být také sadou F-sigma (protože množina nespojitostí jakékoli funkce musí být tohoto typu). Navíc pro jakoukoli hubenou množinu F-sigma lze zkonstruovat nějakou funkci $f$ s antiderivací, která má danou množinu jako sadu nespojitostí.
Pokud $f$ má antiderivativum, je ohraničeno uzavřenými konečnými subintervaly domény a má sadu nespojitostí Lebesgueova měřítka 0, pak může být antiderivativum nalezeno integrací ve smyslu Lebesgueova. Ve skutečnosti pomocí silnějších integrálů, jako je Henstock – Kurzweilův integrál , je každá funkce, pro kterou existuje antiderivativum, integrovatelná a její obecný integrál se shoduje s jeho antiderivací.
Jestliže $f$ má v uzavřeném intervalu antiderivativní $F$ , pak pro jakýkoli výběr rozdělení, pokud si člověk vybere vzorkové body podle věty o střední hodnotě , pak odpovídající Riemannův součet teleskopuje na hodnotu . ${\ displaystyle [a, b]}$ ${\ Displaystyle a = x_ {0} <x_ {1} <x_ {2} <\ dots <x_ {n} = b,}$ ${\ displaystyle x_ {i}^{*} \ v [x_ {i-1}, x_ {i}]}$ ${\ Displaystyle F (b) -F (a)}$

{\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ sum _ {i = 1}^{n} f (x_ {i}^{*}) (x_ {i} -x_ {i-1}) & = \ sum _ {i = 1}^{n} [F (x_ {i})-F (x_ {i-1})] \\ & = F (x_ {n})-F (x_ {0}) = F ( b) -F (a) \ end {zarovnáno}}}

Je -li však

f

neomezené, nebo je -li

f

ohraničené, ale množina nespojitostí

f

má kladnou Lebesgueovu míru, odlišná volba vzorkovacích bodů může dát významně odlišnou hodnotu pro Riemannův součet, bez ohledu na to, jak jemné je rozdělení. Viz příklad 4 níže.

{\ displaystyle x_ {i}^{*}}

Nějaké příklady

Funkce
${\ Displaystyle f (x) = 2x \ sin \ left ({\ frac {1} {x}} \ right)-\ cos \ left ({\ frac {1} {x}} \ right)}$

s není spojitý, ale má primitivní hodnotu ${\ displaystyle f (0) = 0}$ ${\ displaystyle x = 0}$

${\ Displaystyle F (x) = x^{2} \ sin \ left ({\ frac {1} {x}} \ right)}$
s . Vzhledem k tomu, $f$ je omezená na uzavřených konečných intervalech a je přerušovaný pouze na 0, primitivní $F$ mohou být získány integrací: . ${\ displaystyle F (0) = 0}$ ${\ Displaystyle F (x) = \ int _ {0}^{x} f (t) \, \ mathrm {d} t}$
Funkce
${\ Displaystyle f (x) = 2x \ sin \ left ({\ frac {1} {x^{2}}} \ right)-{\ frac {2} {x}} \ cos \ left ({\ frac {1} {x^{2}}} \ right)}$
s není spojitý, ale má primitivní hodnotu ${\ displaystyle f (0) = 0}$ ${\ displaystyle x = 0}$
${\ Displaystyle F (x) = x^{2} \ sin \ left ({\ frac {1} {x^{2}}} \ right)}$
s . Na rozdíl od příkladu 1 je $f$ $($ $x$ $)$ neomezené v jakémkoli intervalu obsahujícím 0, takže Riemannův integrál není definován. ${\ displaystyle F (0) = 0}$
Pokud $f (x)$ je funkce v příkladu 1 a $F$ je její primitiv, a je hustá spočítatelná podmnožina otevřeného intervalu, pak funkce ${\ Displaystyle \ {x_ {n} \} _ {n \ geq 1}}$ ${\ Displaystyle (-1,1),}$
${\ Displaystyle g (x) = \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {f (x-x_ {n})} {2^{n}}}}$
má antiderivační účinek
${\ Displaystyle G (x) = \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {F (x-x_ {n})} {2^{n}}}.}$
Množina nespojitostí $g$ je přesně množina . Vzhledem k tomu, že $g$ je ohraničeno uzavřenými konečnými intervaly a množina diskontinuit má měřítko 0, lze antiderivativní $G$ nalézt integrací. ${\ Displaystyle \ {x_ {n} \} _ {n \ geq 1}}$
Nechť je hustá počitatelná podmnožina otevřeného intervalu Uvažujme všude spojitou přísně rostoucí funkci ${\ Displaystyle \ {x_ {n} \} _ {n \ geq 1}}$ ${\ Displaystyle (-1,1).}$
${\ Displaystyle F (x) = \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {1} {2^{n}}} (x-x_ {n})^{1/3}. }$
Lze to ukázat
${\ Displaystyle F '(x) = \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {1} {3 \ cdot 2^{n}}} (x-x_ {n})^{- 2/3}}$

Obrázek 1.

Obrázek 2.

pro všechny hodnoty $x,$ kde řada konverguje, a že graf $F (x)$ má svislé tečné čáry na všech ostatních hodnotách $x$ . Zejména graf má svislé tečné čáry ve všech bodech v sadě . ${\ Displaystyle \ {x_ {n} \} _ {n \ geq 1}}$

Navíc pro všechna
$x,$ kde je definována derivace. Z toho vyplývá, že inverzní funkce je diferencovatelná všude a tamto ${\ Displaystyle F (x) \ geq 0}$ ${\ displaystyle G = F^{-1}}$
${\ Displaystyle g (x) = G '(x) = 0}$

pro všechny $x$ v sadě , který je hustá v intervalu Tak
$g$ má primitivní $G$ . Na druhou stranu to nemůže být pravda ${\ Displaystyle \ {F (x_ {n}) \} _ {n \ geq 1}}$ ${\ Displaystyle [F (-1), F (1)].}$
${\ Displaystyle \ int _ {F (-1)}^{F (1)} g (x) \, \ mathrm {d} x = GF (1) -GF (-1) = 2,}$
protože pro jakýkoli oddíl lze vybrat vzorové body pro Riemannův součet ze sady , přičemž pro součet bude hodnota 0. Z toho vyplývá, že $g$ má sadu nespojitostí pozitivní Lebesgueovy míry. Obrázek 1 vpravo ukazuje přiblížení ke grafu $g$ $($ $x$ $)$ kde a řada je zkrácena na 8 výrazů. Obrázek 2 ukazuje graf aproximace k antiderivaci $G$ $($ $x$ $)$ , rovněž zkrácen na 8 výrazů. Na druhou stranu, pokud je Riemannův integrál nahrazen Lebesgueovým integrálem , pak Fatouovo lemma nebo dominantní konvergenční věta ukazuje, že $g$ v tomto kontextu splňuje základní teorém počtu. ${\ Displaystyle [F (-1), F (1)]}$ ${\ Displaystyle \ {F (x_ {n}) \} _ {n \ geq 1}}$ ${\ Displaystyle \ {x_ {n} = \ cos (n) \} _ {n \ geq 1}}$
V příkladech 3 a 4 jsou sady diskontinuit funkcí $g$ husté pouze v konečném otevřeném intervalu . Tyto příklady však lze snadno upravit tak, aby měly sady diskontinuit, které jsou husté na celé reálné přímce . Nechat ${\ displaystyle (a, b).}$ ${\ Displaystyle (-\ infty, \ infty)}$
${\ Displaystyle \ lambda (x) = {\ frac {a+b} {2}}+{\ frac {ba} {\ pi}} \ tan ^{-1} x.}$
Poté má zapnutou hustou sadu nespojitostí a má antiderivativní účinek ${\ Displaystyle g (\ lambda (x)) \ lambda '(x)}$ ${\ Displaystyle (-\ infty, \ infty)}$ ${\ Displaystyle G \ cdot \ lambda.}$
Použitím podobné metody jako v příkladu 5 lze modifikovat $g$ v příkladu 4 tak, aby zmizely u všech racionálních čísel . Jestliže jeden používá naivní verze integrálu Riemann definována jako limit levý nebo pravý Riemann částek než pravidelné oddíly, jeden získá, že integrál takové funkce $g$ v intervalu 0, když a $b$ jsou oba racionální, místo . Základní věta o počtu tedy bude velkolepě selhávat. ${\ displaystyle [a, b]}$ ${\ Displaystyle G (b) -G (a)}$
Funkce, která má primitivní funkci, stále nemusí být integrovatelná jako Riemann. Derivace Volterrovy funkce je příkladem.