Oblouk (projektivní geometrie) - Arc (projective geometry)

4-oblouk (červené body) v projektivní rovině řádu 2 (Fano rovina).

( Jednoduchý ) oblouk v konečné projektivní geometrii je sada bodů, která intuitivně uspokojuje vlastnost zakřivených obrazců v spojitých geometriích . Volně řečeno, jsou to sady bodů, které jsou daleko od „přímky“ v rovině nebo daleko od „roviny“ v trojrozměrném prostoru. V tomto konečném nastavení je typické zahrnout do názvu počet bodů v sadě, takže tyto jednoduché oblouky se nazývají k - oblouky . Důležitým zobecněním konceptu k -arc, v literatuře označovaným také jako oblouky, jsou ( k, d ) -arcs.

k -arcs v projektivní rovině

V konečné projektivní roviny n (ne nutně Desarguesian ) soubor A o k ( k ≥ 3) připomíná tak, že žádné tři body A jsou kolineární (na řádku) se nazývá K - oblouk . Pokud má rovina π řád q, pak k ≤ q + 2 , maximální hodnoty k lze dosáhnout pouze tehdy, je- li q sudé. V rovině řádu q se ( q + 1) -arc nazývá ovál, a pokud je q sudé, ( q + 2) -arc se nazývá hyperoval .

Každý kuželoseček v desarguesovské projektivní rovině PG (2, q ), tj. Množina nul neredukovatelné homogenní kvadratické rovnice, je ovál. Oslavovaný výsledek Beniamino Segre uvádí, že když q je liché, každý ( q + 1) -arc v PG (2, q ) je kuželovitý ( Segreova věta ). Toto je jeden z průkopnických výsledků v konečné geometrii .

Pokud q je rovný a je ( q + 1) -arc v π , pak to může být prokázáno pomocí kombinačních tvrzení, že musí existovat jedinečný bod v n (nazývané jádro z A ) tak, že svazek A , a to bod je ( q + 2) -arc. Každý ovál lze tedy jednoznačně rozšířit na hyperovál v konečné projektivní rovině sudého řádu.

K -arc, které nelze rozšířit na větší oblouk je nazýván kompletní oblouk . V desarguesovských projektivních rovinách, PG (2, q ), není žádný q -arc úplný, takže mohou být všechny rozšířeny na ovály.

k -arcs v projektivním prostoru

V konečné projektivní prostoru PG ( n , q ) s n ≥ 3 , sada z K ≥ n + 1 body tak, že žádná n + 1 body leží ve společné nadrovině se nazývá (prostorovou) K - oblouk . Tato definice zobecňuje definici k -arc v rovině (kde n = 2 ).

( k , d ) - oblouky v projektivní rovině

A ( k , d ) - oblouk ( k , d > 1 ) v konečné projektivní rovině π (ne nutně Desarguesian ) je množina A z k bodů π tak, že každá přímka protíná A ve většině d bodů a tam je alespoň jedna přímka, která protíná A v bodech d . A ( k , 2 ) -arc je k -arc a lze jej označit jako jednoduše oblouk, pokud se velikost netýká.

Počet bodů k a ( k , d ) -arc A v projektivní rovině řádu q je maximálně qd + d - q . Dojde-li k rovnosti, kdo volá maximální oblouk .

Hyperovals jsou maximální oblouky. Kompletní oblouky nemusí být maximálními oblouky.

Viz také

Poznámky

Reference

  • Dembowski, Peter (1968), Finite geometries , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN  3-540-61786-8 , MR  0233275
  • Hirschfeld, JWP (1979), Projective Geometries over Finite Fields , New York: Oxford University Press, ISBN  0-19-853526-0

externí odkazy