Archimedův majetek - Archimedean property

Ilustrace majetku Archimedean.

V abstraktní algebře a analýze je archimédovská vlastnost pojmenovaná po starověkém řeckém matematikovi Archimédovi ze Syrakus , vlastnost držená některými algebraickými strukturami , jako jsou uspořádané nebo normované skupiny a pole . Vlastnost, obvykle vykládaná, uvádí, že vzhledem ke dvěma kladným číslům x a y existuje celé číslo n, takže nx > y . To také znamená, že množina přirozených čísel není omezena výše. Zhruba řečeno, je to vlastnost nemající nekonečně velké nebo nekonečně malé prvky. Byl to Otto Stolz, který dal axiomu Archimedes své jméno, protože se jeví jako Axiom V Archimédova On the Sphere and Cylinder .

Pojem vzešel z teorie velikostí starověkého Řecka; stále hraje důležitou roli v moderní matematice, jako jsou axiomy Davida Hilberta pro geometrii a teorie uspořádaných skupin , uspořádaných polí a místních polí .

Algebraická struktura, ve které jsou jakékoli dva nenulové prvky srovnatelné , v tom smyslu, že žádný z nich není vůči druhému nekonečně malý , je údajně Archimedean . Struktura, která má dvojici nenulových prvků, z nichž jeden je vůči druhému nekonečně malý, se říká, že není archimédská . Například lineárně uspořádaná skupina, která je Archimedean, je skupina Archimedean .

To lze upřesnit v různých kontextech s mírně odlišnými formulacemi. Například v kontextu uspořádaných polí má člověk axiom Archimedes, který formuluje tuto vlastnost, kde pole skutečných čísel je Archimedean, ale pole racionálních funkcí ve skutečných koeficientech není.

Historie a původ názvu majetku Archimedean

Pojem pojmenoval Otto Stolz (v 80. letech 19. století) podle starověkého řeckého geometru a fyzika Archimeda ze Syrakus .

Vlastnost Archimedean se objevuje v knize V Euclidových prvků jako definice 4:

Říká se, že veličiny mají k sobě vzájemný poměr, který se při násobení může navzájem překračovat.

Protože jej Archimedes připsal Eudoxovi z Cnidus , je také známý jako „Věta Eudoxova“ nebo Eudoxův axiom .

Archimedes používal v heuristických argumentech nekonečně malá , i když popřel, že by to byly hotové matematické důkazy .

Definice pro lineárně seřazené skupiny

Nechť $x$ a $y$ je pozitivní prvky příslušníky lineárně objednané skupiny G . Pak $x$ je nekonečně malé vzhledem k $y$ (nebo ekvivalentně, $y$ je nekonečné vzhledem k $x$ ), pokud pro každé přirozené číslo $n$ je násobek $nx$ menší než $y$ , to znamená, že platí následující nerovnost:

{\ Displaystyle \ underbrace {x +\ cdots +x} _ {n {\ text {terms}}} <y. \,}

Tuto definici lze rozšířit na celou skupinu převzetím absolutních hodnot.

Skupina $G$ je Archimedova, pokud neexistuje dvojice $(x, y)$ tak, že $x$ je vzhledem k $y$ nekonečně malé .

Navíc pokud $K$ je algebraická struktura s jednotkou (1), - například prsten - podobné definice se vztahuje na $K$ . Pokud $x$ je nekonečně malé vzhledem k 1, pak $x$ je nekonečně malý prvek . Podobně, pokud $y$ je nekonečné vzhledem k 1, pak $y$ je nekonečný prvek . Algebraická struktura $K$ je Archimedova, pokud nemá žádné nekonečné prvky a žádné nekonečně malé prvky.

Objednaná pole

Objednaná pole mají některé další vlastnosti:

Racionální čísla jsou vložena do libovolného seřazeného pole. To znamená, že každé seřazené pole má charakteristickou nulu.
Pokud $x$ je nekonečně malé, pak $1/ x$ je nekonečné a naopak. Chcete -li tedy ověřit, že je pole Archimedean, stačí zkontrolovat pouze to, zda neexistují žádné nekonečně malé prvky, nebo zkontrolovat, zda neexistují žádné nekonečné prvky.
Pokud $x$ je nekonečně malé a r je racionální číslo, pak $rx$ je také nekonečně malé. Výsledkem je, že vzhledem k obecnému prvku $c$ jsou tři čísla $c /2$ , $c$ a $2 c$ buď všechna nekonečně malá nebo všechna ne nekonečně malá.

V tomto nastavení je uspořádané pole $K$ archimedovské právě tehdy, když platí následující tvrzení, nazývané Archimédův axiom :

„Nechť

x

je jakýkoli prvek

K.

Pak existuje přirozené číslo

n

takové, že

n > x

.“

Alternativně lze použít následující charakterizaci:

{\ Displaystyle \ forall \, \ varepsilon \ in K {\ big (} \ varepsilon> 0 \ implicts \ neexistuje \ n \ v N: 1/n <\ varepsilon {\ big)}.}

Definice pro normovaná pole

Kvalifikátor „Archimedean“ je také formulován v teorii hodnotných polí první úrovně a normovaných mezer nad hodnotnými poli první pozice následujícím způsobem. Nechť $F$ je pole obdařené funkcí absolutní hodnoty, tj. Funkce, která spojuje reálné číslo 0 s prvkem pole 0 a spojuje kladné reálné číslo s každým nenulovým $x$ $\in$ $F$ a splňuje a . Pak se říká , že $F$ je Archimedův, pokud pro jakékoli nenulové $x$ $\in$ $F$ existuje přirozené číslo $n$ takové, že ${\ displaystyle | x |}$ ${\ Displaystyle | xy | = | x || y |}$ ${\ Displaystyle | x+y | \ leq | x |+| y |}$

{\ displaystyle | \ underbrace {x +\ cdots +x} _ {n {\ text {terms}}} |> 1.}

Podobně je normovaný prostor archimédovský, pokud součet $n$ členů, z nichž každý se rovná nenulovému vektoru $x$ , má normu větší než jedna pro dostatečně velké $n$ . Pole s absolutní hodnotou nebo normovaným prostorem je buď Archimedean, nebo splňuje silnější podmínku, označovanou jako ultrametrická trojúhelníková nerovnost ,

{\ Displaystyle | x+y | \ leq \ max (| x |, | y |),}

resp. Pole nebo normovaný prostor uspokojující nerovnost ultrametrického trojúhelníku se nazývá non-Archimedean .

Pojem nearchimedovského normovaného lineárního prostoru zavedla AF Monna.

Příklady i příklady

Archimédova vlastnost skutečných čísel

Pole racionálních čísel lze přiřadit jedné z řady funkcí absolutních hodnot, včetně triviální funkce, když $x$ $\neq 0$ , obvyklejší , a $p$ -adické funkce absolutní hodnoty . Podle Ostrowského věty je každá netriviální absolutní hodnota na racionálních číslech ekvivalentní buď obvyklé absolutní hodnotě, nebo nějaké $p$ -adické absolutní hodnotě. Racionální pole není úplné s ohledem na netriviální absolutní hodnoty; pokud jde o triviální absolutní hodnotu, racionální pole je diskrétní topologický prostor, tak úplný. Dokončení s ohledem na obvyklou absolutní hodnotu (z objednávky) je pole reálných čísel. Touto konstrukcí je pole skutečných čísel Archimedean jak jako uspořádané pole, tak jako normované pole. Na druhé straně, dokončení vzhledem k ostatním netriviálním absolutním hodnotám dává pole $p$ -adických čísel, kde $p$ je prvočíslo celé číslo (viz níže); protože absolutní hodnoty $p$ -adic splňují ultrametrickou vlastnost, pak pole $p$ -adic number nejsou archimedovská jako normovaná pole (nemohou být vytvořena do seřazených polí). ${\ displaystyle | x | = 1,}$ ${\ textstyle | x | = {\ sqrt {x^{2}}}}$

V axiomatické teorii reálných čísel je neexistence nenulových nekonečně malých reálných čísel implikována vlastností nejméně horní hranice následovně. Označte $Z$ množinu skládající se ze všech pozitivních nekonečných čísel. Tato množina je ohraničena výše 1. Nyní pro rozpor předpokládejme, že $Z$ je neprázdné. Pak má nejméně horní hranici $c$ , což je také kladné, takže $c /2 < c <2 c$ . Vzhledem k tomu, $c$ je horní hranici z $Z$ a $2 c$ je striktně větší než $C$ , $2 c$ není pozitivní nekonečně. To znamená, že existuje nějaké přirozené číslo $n,$ pro které $1/ n <2 c$ . Na druhou stranu, $c /2$ je pozitivní nekonečně malý, protože podle definice nejmenší horní hranice musí existovat nekonečně malé $x$ mezi $c /2$ a $c$ , a pokud $1 / k < c /2 \leq x,$ pak $x$ není nekonečně malé . Ale $1 /(4 n) < c /2$ , takže $c /2$ není nekonečně malé, a to je rozpor. To znamená, že $Z$ je koneckonců prázdné: neexistují žádná pozitivní, nekonečně malá reálná čísla.

Archimédova vlastnost reálných čísel platí i v konstruktivní analýze , přestože vlastnost nejméně horní hranice může v tomto kontextu selhat.

Non-Archimedean objednané pole

Jako příklad uspořádaného pole, které není Archimedean, vezměte pole racionálních funkcí se skutečnými koeficienty. (Racionální funkce je jakákoli funkce, která může být vyjádřena jako jeden polynom dělený jiným polynomem; v následujícím textu budeme předpokládat, že to bylo provedeno takovým způsobem, že vedoucí koeficient jmenovatele je kladný.) Aby to bylo uspořádané v poli je třeba přiřadit uspořádání kompatibilní s operacemi sčítání a násobení. Nyní $f > g právě$ tehdy, když f - g > 0, musíme tedy pouze říci, které racionální funkce jsou považovány za pozitivní. Zavolejte funkci kladně, pokud je počáteční koeficient čitatele kladný. (Je třeba zkontrolovat, zda je toto uspořádání dobře definované a kompatibilní s sčítáním a násobením.) Podle této definice je racionální funkce 1/ x kladná, ale menší než racionální funkce 1. Ve skutečnosti, pokud $n$ je jakékoli přirozené číslo, pak n (1 / x ) = n / x je kladné, ale stále menší než 1, bez ohledu na to, jak velké je $n$ . Proto je 1/ x v tomto poli nekonečně malý.

Tento příklad generalizuje na jiné koeficienty. Když vezmeme racionální funkce pomocí racionálních namísto skutečných koeficientů, vytvoří se spočítatelné nearchimedovské seřazené pole. Vezmeme -li koeficienty jako racionální funkce v jiné proměnné, řekněme $y$ , vznikne příklad s jiným typem řádu .

Pole bez archimedovské hodnoty

Pole racionálních čísel obdařených metrikou p-adic a pole čísel p-adic, která jsou doplněním, nemají Archimédovu vlastnost jako pole s absolutními hodnotami. Všechna archimedovská hodnotná pole jsou izometricky izomorfní k podoblasti komplexních čísel se silou obvyklé absolutní hodnoty.

Ekvivalentní definice uspořádaného pole Archimedean

Každé lineárně seřazené pole $K$ obsahuje (izomorfní kopii) racionály jako uspořádané podpole, konkrétně podpole generované multiplikativní jednotkou 1 $K$ , která zase obsahuje celá čísla jako uspořádanou podskupinu, která obsahuje přirozená čísla jako uspořádanou monoidní . Zakotvení rationals pak dává způsob, jak mluvit o racionálních, celků, a přirozených čísel v $K$ . Následující jsou ekvivalentní charakterizace archimédských polí z hlediska těchto substruktur.

Přirozená čísla jsou v $K$ konečná . To znamená, že každý prvek $K$ je menší než nějaké přirozené číslo. (To neplatí, když existují nekonečné prvky.) Archimedovské pole je tedy takové, jehož přirozená čísla rostou bez omezení.
Nula je infimum v $K$ sady {1/2, 1/3, 1/4, ...}. (Pokud by $K$ obsahoval kladný nekonečně malý, byla by dolní mezí pro množinu, odkud by nula nebyla největší dolní mez.)
Sada prvků $K$ mezi kladnými a zápornými racionály není otevřená. Důvodem je, že sada se skládá ze všech infinitezimálů, což je jen množina {0}, když neexistují žádná nenulová nekonečna, a jinak je otevřená, přičemž neexistuje ani nejmenší, ani největší nenulová nekonečně malá. Všimněte si, že v obou případech je množina nekonečně malých čísel uzavřena. V druhém případě (i) každý nekonečně malý je menší než každý pozitivní racionální, (ii) neexistuje ani největší nekonečně malý ani nejméně pozitivní racionální a (iii) mezi tím není nic jiného. V důsledku toho je jakékoli jiné než Archimedean seřazené pole neúplné a odpojené.
Pro každé $x$ v $K$ má množina celých čísel větších než $x$ nejmenší prvek. (Pokud by $x$ bylo záporné nekonečné množství, každé celé číslo by bylo větší než to.)
Každý neprázdný otevřený interval $K$ obsahuje racionální. (Je -li $x$ pozitivní nekonečně malý, otevřený interval $(x, 2 x)$ obsahuje nekonečně mnoho nekonečně malých, ale ani jednu racionální.)
Racionály jsou husté v $K$ vzhledem k sup i inf. (To znamená, že každý prvek $K$ je sup nějaké sady racionálních a inf nějaké jiné množiny racionálních.) Archimedovské pole je tedy jakékoli husté uspořádané rozšíření racionálních hodnot, ve smyslu jakéhokoli uspořádaného pole, které hustě obsahuje své racionální prvky.

Viz také

0,999 ... - Alternativní desítkové rozšíření čísla 1
Archimedean uspořádal vektorový prostor
Konstrukce reálných čísel - Axiomatické definice reálných čísel

Poznámky

Reference

Schechter, Eric (1997). Příručka analýzy a její základy . Akademický tisk. ISBN 0-12-622760-8. Archivováno od originálu dne 2015-03-07 . Citováno 2009-01-30 .

Languages

In other projects