Archimédův princip - Archimedes' principle

Archimédův princip říká, že vztlaková síla vzhůru, která působí na těleso ponořené do tekutiny , ať už zcela nebo částečně, se rovná hmotnosti tekutiny, kterou tělo vytlačí . Archimédův princip je fyzikální zákon zásadní pro mechaniku tekutin . Byl zformulován Archimédem ze Syrakus .

Vysvětlení

Hmotnost plovoucí lodi F p a její vztlak F a (F b v textu) musí mít stejnou velikost.

V On Floating Bodies , Archimedes navrhl, že (c. 246 př.nl):

Jakýkoli předmět, zcela nebo částečně ponořený do tekutiny nebo kapaliny, je vztlakem vzhůru silou rovnající se hmotnosti tekutiny vytlačené předmětem.

Archimédův princip umožňuje vypočítat vztlak jakéhokoli plovoucího předmětu částečně nebo zcela ponořeného do tekutiny. Síla dolů na předmět je jednoduše jeho tíhou. Vzestupná nebo vztlaková síla na předmět je ta, kterou uvádí Archimedův princip výše. Čistá síla na předmět je tedy rozdílem mezi velikostmi vztlakové síly a její hmotností. Pokud je tato čistá síla kladná, předmět se zvedne; pokud je negativní, předmět se potopí; a pokud je nula, objekt neutrálně vznáší - to znamená, že zůstává na svém místě, aniž by stoupal nebo klesal. Jednoduše řečeno, Archimédův princip říká, že když je tělo částečně nebo úplně ponořeno do tekutiny, dochází ke zjevné ztrátě hmotnosti, která se rovná hmotnosti tekutiny vytlačené ponořenou částí těla (těles).

Vzorec

Uvažujme kvádr ponořený do tekutiny, jehož horní a spodní strana je kolmá na směr gravitace (předpokládá se konstantní v celém úseku krychle). Tekutina bude vyvíjet normální sílu na každou plochu, ale pouze normální síly nahoře a dole budou přispívat k vztlaku. Rozdíl tlaku mezi spodní a horní stranou je přímo úměrný výšce (rozdíl v hloubce ponoření). Vynásobením tlakového rozdílu plochou tváře vznikne čistá síla na kvádr ⁠ ⁠— vztlak ⁠ ⁠— rovnající se velikosti hmotnosti tekutiny vytlačené kvádrem. Shrnutím dostatečně mnoha libovolně malých kvádrů může být toto uvažování rozšířeno na nepravidelné tvary, a tak, bez ohledu na tvar ponořeného těla, vztlaková síla se rovná hmotnosti vytlačené tekutiny.

Hmotnost vytlačené kapaliny je přímo úměrná objemu vytlačené kapaliny (v případě, že okolní kapaliny je rovnoměrné hustoty). Hmotnost předmětu v tekutině se snižuje díky síle, která na něj působí, která se nazývá vztlak. Jednoduše řečeno, princip říká, že vztlaková síla (F b ) na předmět se rovná hmotnosti tekutiny vytlačené předmětem nebo hustotě ( ρ ) tekutiny vynásobené ponořeným objemem (V) krát gravitace (g)

Tento vztah můžeme vyjádřit v rovnici:

kde označuje vztlakovou sílu působící na ponořený předmět, označuje hustotu tekutiny, představuje objem vytlačené tekutiny a je gravitačním zrychlením . Mezi zcela ponořenými objekty se stejnou hmotností mají tedy objekty s větším objemem větší vztlak.

Předpokládejme, že hmotnost skály se měří jako 10 newtonů, když je zavěšena na šňůru ve vakuu, na které působí gravitace. Předpokládejme, že když je skála spuštěna do vody, vytlačí vodu o hmotnosti 3 newtony. Síla, kterou pak působí na strunu, ze které visí, by byla 10 newtonů minus 3 newtony vztlakové síly: 10 - 3 = 7 newtonů. Vztlak snižuje zjevnou hmotnost předmětů, které se úplně potopily na dno moře. Obecně je snazší zvednout předmět vodou, než vytáhnout jej z vody.

U plně ponořeného objektu lze Archimédův princip přeformulovat takto:

poté vložen do kvocientu závaží, který byl rozšířen o vzájemný objem

získá vzorec níže. Hustotu ponořeného předmětu vzhledem k hustotě tekutiny lze snadno vypočítat bez měření jakéhokoli objemu

(Tento vzorec se používá například při popisu principu měření dasymetru a hydrostatického vážení .)

Příklad: Pokud dáte dřevo do vody, vztlak ho udrží nad vodou.

Příklad: helium balón v jedoucím autě. Při zvyšování rychlosti nebo jízdě v zatáčce se vzduch pohybuje v opačném směru než zrychlení auta. Kvůli vztlaku je však balón vytlačen „z cesty“ vzduchem a unáší se stejným směrem jako zrychlení auta.

Když je předmět ponořen do kapaliny, kapalina vyvíjí vzestupnou sílu, která je známá jako vztlaková síla, která je úměrná hmotnosti vytlačené kapaliny. Souhrnná síla působící na předmět je tedy rovna rozdílu mezi hmotností předmětu (síla „dolů“) a hmotností vytlačené kapaliny (síla „nahoru“). Rovnováhy nebo neutrálního vztlaku je dosaženo, když jsou tyto dvě hmotnosti (a tedy síly) stejné.

Síly a rovnováha

Rovnice pro výpočet tlaku uvnitř tekutiny v rovnováze je:

kde f je hustota síly vyvíjená nějakým vnějším polem na tekutinu a σ je tenzor napětí Cauchyho napětí . V tomto případě je tenzor napětí úměrný tenzoru identity:

Zde δ ij je Kroneckerova delta . Pomocí tohoto se výše uvedená rovnice stane:

Za předpokladu, že vnější silové pole je konzervativní, to znamená, že může být zapsáno jako záporný gradient nějaké skalární funkce:

Pak:

Tvar otevřeného povrchu tekutiny se proto rovná ekvipotenciální rovině aplikovaného vnějšího konzervativního silového pole. Nechť osa z směřuje dolů. V tomto případě je pole gravitace, takže Φ = - ρ f gz kde g je gravitační zrychlení, ρ f je hmotnostní hustota tekutiny. Vezmeme -li tlak jako nulový na povrchu, kde z je nula, bude konstanta nulová, takže tlak uvnitř tekutiny, když je vystavena gravitaci, je

Tlak se tedy zvyšuje s hloubkou pod povrchem kapaliny, protože z označuje vzdálenost od povrchu kapaliny do něj. Jakýkoli předmět s nenulovou svislou hloubkou bude mít v horní a dolní části různé tlaky, přičemž tlak ve spodní části bude větší. Tento rozdíl v tlaku způsobuje vztlakovou sílu vzhůru.

Vztlakovou sílu vyvíjenou na těleso lze nyní snadno vypočítat, protože vnitřní tlak tekutiny je znám. Sílu vyvíjenou na tělo lze vypočítat integrací tenzoru napětí na povrch těla, který je v kontaktu s tekutinou:

Plošný integrál může být přeměněn na objem integrálu s pomoci Gaussova věta :

kde V je míra objemu v kontaktu s tekutinou, to je objem ponořené části těla, protože tekutina nevyvíjí sílu na část těla, která je mimo ni.

Velikost vztlakové síly lze trochu ocenit z následujícího argumentu. Zvažte jakýkoli předmět libovolného tvaru a objemu V obklopený kapalinou. Síla kapalina působí na objektu v kapalině se rovná hmotnosti kapaliny o objemu, který se rovná objektu. Tato síla působí ve směru opačném k gravitační síle, což je velikost:

kde ρ f je hustota tekutiny, V disp je objem vytlačeného tělesa kapaliny a g je gravitační zrychlení v daném místě.

Pokud je tento objem kapaliny nahrazen pevným tělesem přesně stejného tvaru, síla, kterou na něj kapalina působí, musí být přesně stejná jako výše. Jinými slovy, „vztlaková síla“ na ponořeném tělese je směrována opačným směrem než gravitace a má stejnou velikost jako

Výsledná síla na objektu musí být nulová, má-li být situace statiky tekutin, takže princip Archimedes je to vhodné, a je tedy součet vztlakové síly a hmotnost objektu

Pokud vztlak (nespoutaného a bez síly) předmětu překročí jeho hmotnost, má tendenci stoupat. Předmět, jehož hmotnost přesahuje jeho vztlak, má tendenci se potápět. Výpočet síly vzhůru na ponořený předmět během jeho zrychlujícího období nelze provést pouze podle Archimédova principu; je nutné vzít v úvahu dynamiku předmětu zahrnujícího vztlak. Jakmile zcela klesne na dno tekutiny nebo vystoupá na povrch a usadí se, Archimedův princip lze použít samostatně. U plovoucího předmětu vytlačuje vodu pouze ponořený objem. U potopeného předmětu celý objem vytlačí vodu a z pevné podlahy bude působit další síla reakce.

Aby mohl být Archimedův princip použit samostatně, musí být předmětný objekt v rovnováze (součet sil na předmět musí být nulový);

a proto

ukazuje, že hloubka, do které se plovoucí předmět potopí, a objem tekutiny, kterou vytlačí, je nezávislá na gravitačním poli bez ohledu na geografickou polohu.

( Poznámka: Pokud je dotyčnou tekutinou mořská voda , nebude mít na každém místě stejnou hustotu ( ρ ). Z tohoto důvodu může loď zobrazovat čáru Plimsoll .)

Může se stát, že do hry vstoupí jiné síly než jen vztlak a gravitace. To je případ, kdy je předmět omezen nebo pokud se předmět propadne do pevné podlahy. Předmět, který má tendenci plavat, vyžaduje sílu T omezující napětí , aby zůstal zcela ponořen. Na předmět, který má tendenci klesat, bude nakonec působit normální síla tlaku N na něj působící pevná podlaha. Omezovací silou může být napětí v pružinové stupnici měřící její hmotnost v tekutině a určuje, jak je definována zdánlivá hmotnost.

Pokud by se předmět jinak vznášel, napětí k jeho úplnému ponoření je:

Když se potápějící se předmět usadí na pevné podlaze, zažije normální sílu :

Další možný vzorec pro výpočet vztlaku předmětu je nalezení zjevné hmotnosti tohoto konkrétního předmětu ve vzduchu (počítáno v Newtonech) a zjevné hmotnosti tohoto předmětu ve vodě (v Newtonech). Chcete -li zjistit sílu vztlaku působící na předmět ve vzduchu, pomocí těchto konkrétních informací platí tento vzorec:

Vztlaková síla = hmotnost předmětu v prázdném prostoru - hmotnost předmětu ponořeného do tekutiny

Konečný výsledek bude měřen v Newtonech.

Hustota vzduchu je ve srovnání s většinou pevných látek a kapalin velmi malá. Z tohoto důvodu je hmotnost předmětu ve vzduchu přibližně stejná jako jeho skutečná hmotnost ve vakuu. Vztlak vzduchu je u většiny objektů během měření ve vzduchu zanedbáván, protože chyba je obvykle nevýznamná (typicky méně než 0,1% kromě předmětů s velmi nízkou průměrnou hustotou, jako je balón nebo lehká pěna).

Zjednodušený model

Rozložení tlaku na ponořené krychli
Síly na ponořené krychli
Aproximace libovolného objemu jako skupiny kostek

Zjednodušené vysvětlení pro integraci tlaku na kontaktní plochu lze uvést následovně:

Zvažte kostku ponořenou do tekutiny s vodorovnou horní plochou.

Strany jsou plošně totožné a mají stejné rozložení hloubky, proto mají také stejné rozložení tlaku a následně stejnou celkovou sílu vyplývající z hydrostatického tlaku vyvíjeného kolmo na rovinu povrchu každé strany.

Existují dva páry protilehlých stran, takže výsledné horizontální síly se vyrovnávají v obou ortogonálních směrech a výsledná síla je nulová.

Síla vzhůru na krychli je tlak na spodní povrch integrovaný přes její oblast. Povrch je v konstantní hloubce, takže tlak je konstantní. Integrálem tlaku v oblasti vodorovného spodního povrchu krychle je tedy hydrostatický tlak v této hloubce vynásobený plochou spodního povrchu.

Podobně síla dolů na krychli je tlak na horní povrch integrovaný přes její oblast. Povrch je v konstantní hloubce, takže tlak je konstantní. Integrálem tlaku v oblasti vodorovného horního povrchu krychle je tedy hydrostatický tlak v této hloubce vynásobený plochou horního povrchu.

Jelikož se jedná o krychli, horní a spodní povrchy jsou tvarově i plošně shodné a tlakový rozdíl mezi horní a spodní částí krychle je přímo úměrný rozdílu hloubky a výsledný rozdíl sil je přesně roven hmotnosti tekutina, která by v případě jeho nepřítomnosti zabírala objem krychle.

To znamená, že výsledná vzestupná síla na krychli se rovná hmotnosti tekutiny, která by se vešla do objemu krychle, a síla směřující dolů na krychli je její hmotnost, při absenci vnějších sil.

Tato analogie platí pro rozdíly ve velikosti krychle.

Pokud jsou dvě krychle umístěny vedle sebe s čelem každé v kontaktu, jsou tlaky a výsledné síly na stranách nebo jejich částech v kontaktu vyrovnané a nelze je ignorovat, protože kontaktní povrchy mají stejný tvar, velikost a rozložení tlaku, proto vztlak dvou krychlí v kontaktu je součtem vztlaků každé krychle. Tuto analogii lze rozšířit na libovolný počet kostek.

Objekt jakéhokoli tvaru lze aproximovat jako skupinu kostek, které jsou ve vzájemném kontaktu, a jak se velikost krychle zmenšuje, zvyšuje se přesnost aproximace. Limitujícím případem nekonečně malých kostek je přesná ekvivalence.

Úhlové povrchy analogii nezruší, protože výslednou sílu lze rozdělit na ortogonální složky a s každou se zacházet stejným způsobem.

Upřesnění

Archimédův princip neuvažuje povrchové napětí (kapilárnost) působící na tělo. Kromě toho bylo zjištěno, že Archimédův princip se ve složitých tekutinách rozpadá .

Existuje výjimka z Archimédova principu známého jako spodní (nebo boční) případ. K tomu dochází, když se strana předmětu dotýká dna (nebo strany) nádoby, do které je ponořena, a po této straně dovnitř nepronikne žádná kapalina. V tomto případě bylo zjištěno, že čistá síla je odlišná od Archimédova principu, vzhledem k tomu, že jelikož na tuto stranu nevniká žádná tekutina, je symetrie tlaku narušena.

Princip flotace

Archimédův princip ukazuje vztlakovou sílu a výtlak tekutiny. Koncept Archimédova principu však lze použít při zvažování, proč objekty plují. Proposition 5 Archimedes pojednání Na plovoucích těles uvádí, že

Jakýkoli plovoucí předmět vytlačuje vlastní hmotnost tekutiny.

Jinými slovy, u předmětu plovoucího na kapalném povrchu (jako loď) nebo plovoucího ponořeného v kapalině (jako ponorka ve vodě nebo směrovatelná ve vzduchu) se hmotnost vytlačené kapaliny rovná hmotnosti předmětu. Vztlaková síla působící na předmět se tedy pouze ve zvláštním případě vznášení rovná hmotnosti předmětů. Zvažte 1 tunový blok pevného železa. Protože je železo téměř osmkrát hustší než voda, vytlačí při ponoření pouze 1/8 tuny vody, což nestačí na to, aby se udrželo nad vodou. Předpokládejme, že stejný železný blok je přetvořen do misky. Stále váží 1 tunu, ale když je vložen do vody, vytlačí větší objem vody, než když to byl blok. Čím hlouběji je železná mísa ponořena, tím více vody vytlačí a tím větší vztlaková síla na ni působí. Když se vztlaková síla rovná 1 tuně, nepotopí se dále.

Když jakákoli loď vytlačí hmotnost vody rovnající se její vlastní hmotnosti, vznáší se. Často se tomu říká „princip flotace“: Plovoucí předmět vytlačí hmotnost tekutiny rovnající se vlastní hmotnosti. Každá loď, ponorka a vzducholoď musí být navržena tak, aby vytlačila hmotnost kapaliny, která se rovná alespoň její vlastní hmotnosti. Trup lodi o hmotnosti 10 000 tun musí být postaven dostatečně široký, dostatečně dlouhý a dostatečně hluboký, aby vytlačil 10 000 tun vody a stále měl nějaký trup nad vodou, aby se zabránilo potopení. K boji s vlnami, které by ji jinak zaplnily, a zvýšením její hmotnosti způsobí, že se ponoří, potřebuje extra trup. Totéž platí pro vzduchová plavidla: vzducholoď, která váží 100 tun, musí vytlačit 100 tun vzduchu. Pokud se více vytlačí, stoupá; pokud se vytlačí méně, spadne. Pokud směrovka vytlačí přesně svoji váhu, vznáší se ve konstantní výšce.

I když s tím souvisí, princip flotace a koncept, že ponořený předmět vytlačí objem tekutiny rovnající se jeho vlastnímu objemu, nejsou Archimédovým principem. Archimédův princip, jak je uvedeno výše, odpovídá vztlakové síle hmotnosti vytlačené tekutiny.

Jedním společným bodem zmatku ohledně Archimédova principu je význam posunutého objemu. Běžné ukázky zahrnují měření vzestupu hladiny vody, když se předmět vznáší na hladině za účelem výpočtu vytlačené vody. Tento přístup měření selhává u vznášejícího se ponořeného předmětu, protože vzestup hladiny vody přímo souvisí s objemem objektu a nikoli s hmotou (kromě případů, kdy se efektivní hustota předmětu přesně rovná hustotě tekutiny).

Heuréka

Archimedes údajně zvolal „Heuréku“ poté, co si uvědomil, jak zjistit, zda je koruna vyrobena z nečistého zlata. Zatímco v rozšířeném příběhu nepoužíval Archimédův princip a pro měření objemu koruny používal pouze vytlačenou vodu, existuje alternativní přístup využívající princip: Vyvažte korunu a čisté zlato na stupnici ve vzduchu a poté vložte měřítko do vody. Podle Archimédova principu, pokud se hustota koruny liší od hustoty čistého zlata, stupnice se pod vodou dostane z rovnováhy.

Reference

externí odkazy