Argument (komplexní analýza) - Argument (complex analysis)

Obrázek 1. Tento Argandův diagram představuje komplexní číslo ležící v rovině . Pro každý bod v rovině je arg funkce, která vrací úhel .${\ Displaystyle \ varphi}$

V matematice (zejména v komplexní analýze ) je argument komplexního čísla z , označovaný arg ( z ), úhel mezi kladnou skutečnou osou a přímkou ​​spojující počátek a z , reprezentovaný jako bod v komplexní rovině , zobrazený jako na obrázku 1. Jedná se o vícehodnotovou funkci fungující na nenulových komplexních číslech . K definování funkce s jednou hodnotou se používá hlavní hodnota argumentu (někdy označovaného jako Arg z ). Často se volí jako jedinečná hodnota argumentu, který leží v intervalu ( - π , π ] . ${\ Displaystyle \ varphi}$

Definice

Obrázek 2. Dvě možnosti argumentu ${\ Displaystyle \ varphi}$

Argumentem komplexního čísla Z = x + iy , označený arg ( z ) , je definován ve dvou rovnocenných způsoby:

1. Geometricky, v komplexní rovině , jako 2D polární úhel od kladné reálné osy k vektoru představujícímu z . Číselná hodnota je dána úhlem v radiánech a je kladná, pokud se měří proti směru hodinových ručiček.${\ Displaystyle \ varphi}$
2. Algebraicky, jako jakékoli skutečné množství takové, že${\ Displaystyle \ varphi}$
   $${\ Displaystyle z = r (\ cos \ varphi +i \ sin \ varphi) = re^{i \ varphi}}$$

   
   pro nějaké pozitivní skutečné r (viz Eulerův vzorec ). Veličina r je modul (nebo absolutní hodnota) z , označená | z |:
   $${\ Displaystyle r = {\ sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$$

   

Jména velikost , pro modul, a fázi , jde o argument, se někdy používají ekvivalentně.

Pod oběma definicemi je vidět, že argument libovolného nenulového komplexního čísla má mnoho možných hodnot: za prvé, jako geometrický úhel je jasné, že rotace celého kruhu nemění bod, takže úhly se liší celočíselným násobkem z 2n radiánů (úplný kruh), jsou stejné, jak je uvedeno na obrázku 2, na pravé straně. Stejně tak z periodicity z hříchu a cos , druhá definice má také tuto vlastnost. Argument nula je obvykle ponechán nedefinovaný.

Hlavní hodnota

Obrázek 3. Hlavní hodnota Arg modrého bodu při 1 + i je π/4 . Červená čára je řez větví a odpovídá dvěma červeným čarám na obrázku 4, které jsou vidět svisle nad sebou).

Protože úplná rotace kolem počátku ponechává komplexní číslo beze změny, existuje mnoho možností, které by bylo možné provést zakroužkováním počátku libovolný početkrát. To je znázorněno na obrázku 2, znázornění funkce s více hodnotami (s nastavenou hodnotou) , kde svislá čára (na obrázku není znázorněna) prořízne povrch ve výškách, což představuje všechny možné volby úhlu pro daný bod. ${\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle f (x, y) = \ arg (x+iy)}$

Je - li vyžadována dobře definovaná funkce, pak je obvyklou volbou, známou jako hlavní hodnota , hodnota v intervalu otevřeného a zavřeného ( -π rad, π rad] , tj. Od - π do π radianů , s výjimkou - π rad sám (ekviv. od –180 do +180 stupňů , kromě samotného –180 °). To představuje úhel až poloviny úplného kruhu od kladné reálné osy v obou směrech.

Někteří autoři definují rozsah hlavní hodnoty jako v intervalu uzavřeného a otevřeného [0, 2 π ) .

Zápis

Hlavní hodnota má někdy počáteční písmeno velké, jako v Arg z , zvláště když se zvažuje také obecná verze argumentu. Všimněte si, že zápis se liší, takže arg a Arg mohou být zaměněny v různých textech.

Množinu všech možných hodnot argumentu lze zapsat v podmínkách Arg jako:

${\ Displaystyle \ arg (z) \ in \ {\ operatorname {Arg} (z) +2 \ pi n \ mid n \ in \ mathbb {Z} \}.}$

Rovněž

${\ Displaystyle \ operatorname {Arg} (z) = \ {\ arg (z) -2 \ pi n \ mid n \ in \ mathbb {Z} \ land-\ pi <\ arg (z) -2 \ pi n \ leq \ pi \}.}$

Výpočet ze skutečné a imaginární části

Pokud je komplexní číslo známé z hlediska jeho reálných a imaginárních částí, pak se funkce, která vypočítává hlavní hodnotu Arg, nazývá arctangensní funkce dvou argumentů atan2 :

${\ displaystyle \ operatorname {Arg} (x+iy) = \ operatorname {atan2} (y, \, x)}$.

Funkce atan2 (také nazývaná arctan2 nebo jiná synonyma) je k dispozici v matematických knihovnách mnoha programovacích jazyků a obvykle vrací hodnotu v rozsahu (−π, π] .

Mnoho textů říká, že hodnota je dána arctanem ( y / x ) , protože y / x je sklon, a arctan převádí sklon na úhel. To je správné pouze tehdy, když x > 0 , takže je definován kvocient a úhel leží mezi - π /2 a π /2 , ale rozšíření této definice na případy, kdy x není kladné, je relativně zapojeno. Konkrétně je možné definovat hlavní hodnotu argumentu samostatně na dvou polovičních rovinách x > 0 a x <0 (rozděleno do dvou kvadrantů, pokud si přejeme řez větve na záporné osě x ), y > 0 , y < 0 , a pak proveďte opravu společně.

${\ displaystyle \ operatorname {Arg} (x+iy) = \ operatorname {atan2} (y, \, x) = {\ begin {cases} \ arctan \ left ({\ frac {y} {x}} \ right ) & {\ text {if}} x> 0, \\\ arctan \ left ({\ frac {y} {x}} \ right)+\ pi & {\ text {if}} x <0 {\ text {and}} y \ geq 0, \\\ arctan \ left ({\ frac {y} {x}} \ right)-\ pi & {\ text {if}} x <0 {\ text {and}} y <0, \\+{\ frac {\ pi} {2}} & {\ text {if}} x = 0 {\ text {and}} y> 0, \\-{\ frac {\ pi} {2}} & {\ text {if}} x = 0 {\ text {and}} y <0, \\ {\ text {undefined}} & {\ text {if}} x = 0 {\ text { a}} y = 0. \ end {případy}}}$

Kompaktní výraz se 4 překrývajícími se polovičními rovinami je

${\ displaystyle \ operatorname {Arg} (x+iy) = \ operatorname {atan2} (y, \, x) = {\ begin {cases} \ arctan \ left ({\ frac {y} {x}} \ right ) & {\ text {if}} x> 0, \\ {\ frac {\ pi} {2}}-\ arctan \ left ({\ frac {x} {y}} \ right) & {\ text { if}} y> 0, \\-{\ frac {\ pi} {2}}-\ arctan \ left ({\ frac {x} {y}} \ right) & {\ text {if}} y < 0, \\\ arctan \ left ({\ frac {y} {x}} \ right) \ pm \ pi & {\ text {if}} x <0, \\ {\ text {undefined}} & {\ text {if}} x = 0 {\ text {a}} y = 0. \ end {případy}}}$

U varianty, kde Arg je definován tak, že leží v intervalu [0, 2π) , lze tuto hodnotu najít přičtením 2π k výše uvedené hodnotě, když je záporná.

Alternativně lze hlavní hodnotu vypočítat jednotným způsobem pomocí tangentového vzorce polovičního úhlu , přičemž funkce je definována přes komplexní rovinu, ale bez počátku:

${\ displaystyle \ operatorname {Arg} (x+iy) = {\ begin {cases} \ displaystyle 2 \ arctan \ left ({\ frac {y} {{\ sqrt {x^{2}+y^{2} }}+x}} \ vpravo) & {\ text {if}} x> 0 {\ text {nebo}} y \ neq 0, \\\ pi & {\ text {if}} x <0 {\ text {and}} y = 0, \\ {\ text {undefined}} & {\ text {if}} x = 0 {\ text {and}} y = 0. \ end {cases}}}$

To je založeno na parametrizaci kruhu (kromě záporné osy x ) racionálními funkcemi. Tato verze Arg není dostatečně stabilní pro výpočetní použití s pohyblivou řádovou čárkou (protože může přetékat v blízkosti oblasti x <0, y = 0 ), ale může být použita v symbolickém výpočtu .

Varianta posledního vzorce, která se vyhýbá přetečení, se někdy používá ve vysoce přesných výpočtech:

${\ displaystyle \ operatorname {Arg} (x+iy) = {\ begin {cases} \ displaystyle 2 \ arctan \ left ({\ frac {{\ sqrt {x^{2}+y^{2}}}- x} {y}} \ right) & {\ text {if}} y \ neq 0, \\ 0 & {\ text {if}} x> 0 {\ text {and}} y = 0, \\\ pi & {\ text {if}} x <0 {\ text {and}} y = 0, \\ {\ text {undefined}} & {\ text {if}} x = 0 {\ text {and}} y = 0. \ End {cases}}}$

Identity

Jednou z hlavních motivací pro definování hlavní hodnoty Arg je schopnost psát komplexní čísla ve formě modulu-argument. Proto pro jakékoli komplexní číslo z ,

${\ Displaystyle z = \ left | z \ right | e^{i \ operatorname {Arg} z}.}$

Toto je skutečně platné pouze v případě, že z je nenulové, ale lze jej považovat za platné pro z = 0, pokud je Arg (0) považováno za neurčitou formu- spíše než za nedefinovanou.

Následují některé další identity. Pokud z ₁ a z ₂ jsou dvě nenulová komplexní čísla, pak

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ operatorname {Arg} (z_ {1} z_ {2}) & \ equiv \ operatorname {Arg} (z_ {1})+\ operatorname {Arg} (z_ {2}) {\ pmod {(-\ pi, \ pi]}}, \\\ operatorname {Arg} \ left ({\ frac {z_ {1}} {z_ {2}}} \ right) & \ equiv \ operatorname { Arg} (z_ {1})-\ operatorname {Arg} (z_ {2}) {\ pmod {(-\ pi, \ pi]}}. \ End {aligned}}}$

Pokud z ≠ 0 a n je jakékoli celé číslo, pak

${\ displaystyle \ operatorname {Arg} \ left (z^{n} \ right) \ equiv n \ operatorname {Arg} (z) {\ pmod {(-\ pi, \ pi]}}.}$

Příklad

${\ displaystyle \ operatorname {Arg} {\ biggl (} {\ frac {-1-i} {i}} {\ biggr)} = \ operatorname {Arg} (-1-i)-\ operatorname {Arg} ( i) =-{\ frac {3 \ pi} {4}}-{\ frac {\ pi} {2}} =-{\ frac {5 \ pi} {4}}}$

Pomocí komplexního logaritmu

Z toho to snadno vyplývá . To je užitečné, když máte k dispozici komplexní logaritmus . ${\ Displaystyle z = | z | e^{i \ operatorname {Arg} (z)}}$${\ displaystyle \ operatorname {Arg} (z) =-i \ ln {\ frac {z} {| z |}}}}$

Rozšířená hádka

Rozšířený argument čísla z (označeného jako ) je množina všech reálných čísel shodných s modulo 2 . ${\ displaystyle {\ overline {\ arg}} (z)}$${\ Displaystyle \ arg (z)}$${\ displaystyle \ pi}$

${\ Displaystyle {\ overline {\ arg}} (z) = \ arg (z)+2k \ pi, \ forall k \ in \ mathbb {N}}$

Reference

Bibliografie

externí odkazy

• Argument v encyklopedii matematiky .