Axiom - Axiom


z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Axiom nebo postulát je prohlášení, že je vzat být pravda , aby sloužil jako premise nebo východisko pro další úvahy a argumenty. Slovo pochází z řeckého Axioma ( ἀξίωμα ) ‚což je myšlenka hodná nebo fit‘ nebo ‚ten, který vyjadřuje se jako zřejmé.‘

Termín má jemné rozdíly v definici při použití v rámci různých oborů. Jak je definováno v klasické filozofii , axiom je prohlášení, že je tak evidentní , nebo dobře zavedená, že je přijímána bez diskuse či otázku. Jak se používá v moderní logiky , axiom je předpoklad nebo výchozím bodem pro uvažování.

Jak se používá v matematiky , termín axiom je používán ve dvou příbuzných, ale rozlišitelných smysly: „logických axiómech“ a „non-logických axiomů“ . Logické axiomy jsou obvykle příkazy, které jsou brány jako pravdivé v systému logiky vymezují (např, ( a B ) znamená ), často je znázorněno na symbolické formě, zatímco ne-logické axiomy (např + b = b + ) jsou skutečně podstatné tvrzení o prvky domény specifické matematické teorie (jako aritmetický ). Při použití v tomto posledně uvedeném smyslu, „axiom“, „postulát“, a „předpoklad“ mohou být použity zaměnitelně. Obecně platí, že non-logický axiom není samozřejmá pravda, ale spíše formální logický výraz použitý v odpočtu postavit matematickou teorii. Chcete-li axiomatize systém poznání je prokázat, že jeho tvrzení může být odvozena z malé, dobře rozuměl soubor vět (axiomů). Tam jsou obvykle několik způsobů, jak axiomatize danou matematickou doménu.

Jakékoli axiom je prohlášení, které slouží jako výchozí bod, z něhož jiné výroky jsou logicky odvozeny. Ať už je to smysluplné (a pokud ano, co to znamená) za axiom, že „pravda“ je předmětem diskusí ve filozofii matematiky .

Etymologie

Slovo axiom pochází z řeckého slova ἀξίωμα ( Axioma ), což je podstatné jméno slovesné od slovesa ἀξιόειν ( axioein ), mínit „se považují za hodné“, ale také „požadovat“, což pochází z ἄξιος ( AXIOS ), což znamená " je v rovnováze“, a tudíž‚s (stejný) hodnota (as)‘,‚hodný‘,‚správný‘. Mezi starořeckých filozofů axiom bylo tvrzení, které by mohlo být považováno za pravdivé, aniž by bylo zapotřebí důkazu.

Kořenový význam slova postulátu je „poptávka“; Například Euclid požaduje, aby jedna se shodují, že některé věci, které lze provést, například každé dva body mohou být spojeny přímkou, atd

Staří geometři udržuje nějaký rozdíl mezi axiomy a postuláty. Zatímco komentuje Euclidovi knih Proclus poznamenává, že " Geminus k závěru, že tato [4] postulát by neměla být klasifikována jako postulát, ale jako axiom, protože to není, jako první tři postulátů prosadit možnost nějaké konstrukce, ale vyjadřuje nezbytnou vlastnost.“ Boethius přeložil ‚postulát‘, jak petitio a nazval axiomy notiones obcí , ale v pozdějších rukopisech toto použití nebylo vždy striktně dodržen.

historický vývoj

časné Řekové

Logico-deduktivní metoda, kdy závěry (nové poznatky) vyplývají z areálu (staré znalosti) prostřednictvím uplatňování správných předpokladů ( úsudky , pravidla závěru), byl vyvinut již staří Řekové, a stal se základním principem moderní matematiky. Tautologie vyloučené, nic nelze odvodit, jestliže se předpokládá, nic. Axiomy a postuláty jsou základní předpoklady, na kterých daný tělo deduktivní znalostí. Jsou přijímány bez demonstraci. Všechny ostatní tvrzení ( věty , pokud mluvíme o matematiku), musí být prokázána pomocí těchto základních předpokladů. Nicméně, výklad matematického poznání změnilo od nejstarších dob až po moderní, a proto termíny axiom a postulát držet trochu jiný význam pro dnešní matematik, než tomu bylo u Aristotela a Euclid .

Staří Řekové považován geometrii jako jen jedním z několika věd , a držel věty geometrie na stejné úrovni s vědeckými fakty. Jako takové, jsou vyvinuty a použity na Logico-deduktivní metody jako prostředek, který brání chyby, a pro strukturování a komunikující znalostí. Aristotelovy zadních analytics je definitivní expozice klasického zobrazení.

Termín „axiom“, v klasické terminologii, odkazoval se na samozřejmý předpoklad společné mnoha vědních oborů. Dobrým příkladem by bylo tvrzení, že

Je-li stejné množství převzaté z rovných, má za následek stejnou částku.

Na založení různých věd položit některé další hypotézy, které byly přijaty bez důkazu. Taková hypotéza byla nazývaný postulát . Zatímco axiomy byly společné mnoha vědách, postuláty každého konkrétního vědy byly různé. Jejich platnost měla být stanovena pomocí real-svět zkušeností. Vskutku, Aristoteles varuje, že obsah vědy nelze úspěšně sděleny, pokud student má pochybnosti o pravdivosti těchto postulátů.

Klasický přístup je dobře ilustruje Euclidových elementů , kde seznam postulátů je dán (common-sensical geometrické skutečnosti vyvozené z našich zkušeností), následovaný seznamem „společných pojmů“ (velmi jednoduché, samozřejmé tvrzení).

postuláty
  1. Je možné nakreslit přímku z kteréhokoli místa na kterémkoliv jiném místě.
  2. Je možné prodloužit přímky průběžně v obou směrech.
  3. Je možné popsat kruh s nějakým centrem a nějakým poloměrem.
  4. Je pravda, že všechny pravé úhly jsou rovny.
  5. ( „ Paralelní postulát “) Je pravda, že v případě, že přímka padá na dvou přímkách provést vnitřní úhly na stejné straně menší než dva pravé úhly, dvě přímky, pokud je produkován na dobu neurčitou, se protínají na té straně, na které jsou že úhly menší než dvěma pravými úhly.
Běžné pojmy
  1. Věci, které jsou rovná stejnou věc jsou také rovny.
  2. Jestliže se rovná přidány k sobě rovnými, že celky jsou si rovny.
  3. Jestliže se rovná odečte od rovnými, zbytky jsou stejné.
  4. Věci, které se kryjí s sobě rovny.
  5. Celek je větší než část.

moderní vývoj

Poučení od matematiky v posledních 150 let, je to, že je vhodné, aby se svlékli význam od matematických tvrzení (axiomy, postuláty, propozice , věty), a definice. Je třeba uznat, že je třeba primitivních pojmů , nebo nedefinované výrazy nebo pojmy v každém studiu. Taková abstrakce nebo formalizace je obecnější matematické znalosti, které jsou schopné několika různými významy, a proto jsou užitečné v různých kontextech. Alessandro Padoa , Mario Pieri a Giuseppe Peano byli průkopníky v tomto hnutí.

Strukturalistické matematika jde ještě dále a rozvíjí teorie a axiomy (např teorie pole , teorie grup , topologii , vektorových prostorů ) bez jakékoliv konkrétní aplikace v mysli. Rozdíl mezi „axiom“ a „postulát“ zmizí. Postuláty Euclid se ziskem motivováni tím, že vedou k velkému bohatství geometrických faktů. Pravda těchto složitých skutečností se opírá o přijetí základních hypotéz. Avšak tím, že vyhazovali Eukleidův pátý postulát dostaneme teorie, které mají smysl v širších souvislostech, hyperbolické geometrii například. Musíme být prostě připraveni používat označení jako „linky“ a „paralelní“ s větší pružností. Vývoj hyperbolické geometrie učil matematici, že postuláty by mělo být považováno za čistě formální prohlášení, a ne jako fakta na základě zkušeností.

Když matematici zaměstnat terénních axiomy, záměry jsou ještě více abstraktní. Teze teorie pole netýkají jedné konkrétní aplikaci; matematik nyní pracuje v úplné abstrakci. Existuje mnoho příkladů z polí; teorie pole dává správné znalosti o nich.

To není správné říci, že axiomy teorie pole jsou „návrhy, které jsou považovány za pravdivé bez důkazu.“ Spíše polní axiomy představují sadu omezení. Pokud se kterýkoli daný systém sčítání a násobení splňuje tato omezení, pak je v pozici, aby okamžitě vědět, velké množství dalších informací o tomto systému.

Moderní matematika formalizuje jeho základy do takové míry, že matematické teorie lze považovat za matematickými objekty a matematiku sám může být považován za odvětví logiky . Frege , Russell , Poincaré , Hilbert , a Gödel jsou některé z klíčových postav tohoto vývoje.

V moderním chápání, sada axiomů je nějaká sbírka formálně uvedených tvrzení, ze kterých ostatní formálně uvedené tvrzení následují použitím určitých přesně stanovených pravidel. V tomto pohledu, logika se stane jen další formální systém. Sada axiómech by mělo být v souladu ; to by mělo být možné odvodit rozpor z axiomu. Sada axiómech by měla být neredundantní; tvrzení, které lze odvodit z jiných axiomů nemusí být považován za axiom.

Bylo časné naděje moderní logiky, že různá odvětví matematiky, snad všechny matematiky, mohly být odvozeny z konzistentní shromažďování základních axiomů. Časný úspěch formalist programu byla Hilbertova formalizace euklidovské geometrie , as tím související demonstrace souladu těchto axiomů.

V širším kontextu, došlo k pokusu založit všechny matematiky na Cantorově teorie množin . Zde vznik Russellův paradox , a podobné antinomií z naivní teorie množin zvýšila možnost, že takový systém by mohl vyklubat nekonzistentní.

Formalistickou projekt utrpěl rozhodující porážku, když v roce 1931 Gödel ukázal, že je možné z nějakého dostatečně velkého souboru axiomů ( Peanovy axiomů , například) postavit prohlášení, jehož pravda je nezávislá na této množiny axiomů. Jako důsledek , Gödel ukázal, že důslednost teorie jako Peano aritmetice je unprovable tvrzení v rámci této teorie.

Je rozumné věřit v konzistenci Peanovy aritmetiky, protože je splněna systémem přirozených čísel , jako nekonečné , ale intuitivně přístupné formálního systému. V současné době však neexistuje žádný známý způsob, jak prokázat soulad moderních Zermelo-Fraenkelova axiómů pro teorii množin. Dále, za použití techniky nutit ( Cohen ) lze prokázat, že hypotéza kontinua (Cantor) je nezávislý na axiomů Zermelo-Fraenkelův. Proto i tento velmi obecný soubor axiomů nemůže být považován za konečný základ pro matematiku.

jiné vědy

Axiomy hrají klíčovou roli nejen v matematice, ale také v jiných vědách, zejména v teoretické fyzice . Zejména monumentální dílo Isaaca Newtona je v podstatě založen na Euclid ‚s axiomy, rozšířená o postulát o zákazu vztahu časoprostoru a fyziky, které se konají v něm v každém okamžiku.

V roce 1905, Newtonovy axiomy byly nahrazeny těmi Albert Einstein ‚s speciální relativity a později těmi obecné teorie relativity .

Další papír Albert Einstein a spolupracovníky (viz EPR paradox ), téměř okamžitě v rozporu s tím, Niels Bohr , se týkala interpretace kvantové mechaniky . To bylo v roce 1935. Podle Bohra, tato nová teorie by měla být pravděpodobnostní , zatímco podle Einstein by mělo být deterministický . Významné je, že základní kvantově mechanické teorie, tedy soubor „tvrzení“, odvozené od ní, se zdálo být identické. Einstein dokonce předpokládat, že by stačilo přidat do kvantové mechaniky „skryté proměnné“ k prosazení determinismus. Nicméně, o třicet let později, v roce 1964, John Bell našel větu, zahrnující složité optické korelace (viz Bell nerovnosti ), což přineslo měřitelně rozdílné výsledky za použití Einsteinovy axiomy ve srovnání s použitím Bohrovy axiomy. A trvalo zhruba dalších dvacet let, než pokus o Alain Aspect dostal výsledky ve prospěch Bohra axiomů, ne Einstein. (Bohrovy axiomy jsou jednoduše: Tato teorie by měl být pravděpodobnostní v tom smyslu, že na kodaňském výkladu ).

V důsledku toho, že není nutné, aby výslovně citují Einsteinovy ​​axiomy, tím spíše, že se týkají jemné body na „realitu“ a „lokality“ experimentů.

Bez ohledu na to, role axiomů v matematice a ve výše zmíněných věd se liší. V matematice jedna ani „dokazuje“ ani „vyvrací“ axiom pro sady věty; bod je pouze to, že v koncepční oblasti identifikované axiomy, teorémy logicky následovat. Na rozdíl od toho ve fyzice srovnání s experimenty vždy dává smysl, protože padělané fyzikální teorie potřebuje modifikaci.

matematická logika

V oblasti matematické logiky , jasně rozlišuje mezi oběma pojmy axiomy: logický a nelogický (poněkud podobný starověké rozdílu mezi „axiomy“ a „postulátů“ v uvedeném pořadí).

logické axiomy

To jsou některé vzorce ve formálním jazyce , které jsou univerzálně platný , to znamená, že vzorce, které jsou spokojeni každým přiřazení hodnot. Obvykle se vezme jako logické axiomy alespoň nějaké minimální sadu tautologie, která je dostačující pro prokázání všechny tautologie v jazyku; V případě predikátové logiky vyžaduje to logické axiomy, než to, že za účelem prokázání logické pravdy , které nejsou tautologie v přísném slova smyslu.

Příklady

výrokové logiky

Ve výrokové logiky je běžné brát jako logický axiomů všech vzorců z těchto forem, případně , a mohou být jakékoliv formule jazyka a kde jsou zahrnuty primitivní spojky jsou pouze „ “ pro negaci bezprostředně následující tvrzení a „ “ pro důsledkem z předchůdce k následnými výroky:

Každý z těchto modelů je axiom schéma , pravidlo pro generování nekonečný počet axiomů. Například, je-li , a jsou výrokové proměnné , pak a jsou obě instance axiomu schématu 1, a tudíž jsou axiomy. To může být prokázáno, že se jen tyto tři axiom schémat a modus ponens , jeden může ukázat všechny tautologie z výrokové logiky. To může také být ukázáno, že žádná dvojice těchto schémat je dostatečná pro prokázání všechny tautologie s modus ponens .

Další axiom schémata zahrnující stejné nebo různé skupiny primitivních spojek může být alternativně zkonstruován.

Tyto axiom schémata jsou také používány v predikátu , je však zapotřebí další logické axiomy zahrnout Kvantifikátor v kalkulu.

First-order logiky

Axiom rovnosti. Nechť být jazyk prvního řádu . Pro každou proměnnou , vzorec

je univerzálně platný.

To znamená, že pro každou variabilní symbol vzorec může být považován za axiom. Také v tomto případě, protože to se dostat do neurčitosti a nikdy nekončící série „primitivních pojmů“, a to buď přesné představy o tom, co máme na mysli (nebo, když na to přijde, „být rovný“), musí být dobře zavedené jako první, nebo čistě formální a syntaktická používání symbolu musí být vykonáno, pokud jde o to jen jako řetězec a jen řetězec symbolů a matematické logiky skutečně udělat.

Další, mnohem zajímavější příklad schéma axiom , je to, co nám dává to, co je známo jako univerzální instance :

Axiom systém pro univerzální instance. Vzhledem k tomu, vzorec do prvního řádu jazyka , proměnné a termín , který je nahraditelné pro oblasti , vzorec

je univerzálně platný.

V případě, že symbol znamená vzorce s termínem nahradí . (Viz Střídání proměnných ). V neformálních podmínkách, tento příklad nám umožňuje konstatovat, že pokud víme, že určitá vlastnost platí pro každého a to je zkratka pro konkrétní objekt v naší struktuře, pak bychom měli být schopni tvrdit . Opět platí, že jsme se tvrdí, že vzorec je platný , to znamená, že musíme být schopni dát „důkaz“ o této skutečnosti, nebo přesněji řečeno, metaproof . Ve skutečnosti jsou tyto příklady metatheorems naší teorie matematické logiky, protože máme co do činění s samotného konceptu břemeno sám. Kromě toho můžeme také Existenciální Generalizace :

Axiom schéma pro existenciální generalizace. Vzhledem k tomu, vzorec do prvního řádu jazyka , proměnné a období , které je nahraditelné v vzorec

je univerzálně platný.

Non-logické axiomy

Non-logické axiomy jsou formule, které hrají roli teorie specifické předpoklady. Úvaha o dvou různých konstrukcí, například přirozená čísla a celá čísla , může zahrnovat stejné logické axiomům; non-logické axiomy cílem zachytit co je zvláštního na určitou strukturu (nebo sada struktur, jako jsou například skupiny ). Tak non-logické axiomy, na rozdíl od logických axiomů, nejsou tautologie . Jiný název pro non-logické axiomu je postulát .

Téměř každá moderní matematické teorie vychází z daného souboru non-logických axiomů, a to bylo si myslel, že v zásadě každá teorie mohla být axiomatized tímto způsobem a formálně dolů k holému jazyka logických formulí.

Non-logické axiomy jsou často jednoduše označována jako axiomů v matematické pojednání . To neznamená, že se tvrdí, že jsou pravdivé v nějakém absolutním smyslu. Například u některých skupin, operace skupiny je komutativní , a to může být uplatněny se zavedením dalšího axiomu, ale bez tohoto axiomu můžeme udělat docela dobře rozvíjí (obecnější) teorie grup, a můžeme dokonce vzít své negace jako axiom pro studium nekomutativní skupin.

Tak, axiom je elementární základ pro formální logiky systému, který spolu s pravidly závěru definují deduktivní systém .

Příklady

V této části jsou uvedeny příklady matematických teorií, které jsou vyvinuty zcela ze sady non-logických axiomů (axiomů, dále). Přísný léčba některého z těchto témat začíná s uvedením těchto axiomů.

Základní teorie, takový jako aritmetika , skutečnou analýzu a komplexní analýzy jsou často představil non-axiomaticky, ale implicitně či explicitně, že je obecně předpoklad, že axiomy používány jsou axiomy zermelova-fraenkelova teorie množin s možností výběru, zkráceně ZFC, nebo nějaká velmi podobný systém axiomatické teorie množin jako Von Neumann-Bernays-Gödel teorie množin , je konzervativní rozšíření ZFC. Někdy mírně silnější teorie, jako Morse-Kelley teorie množin a teorie množin se silně nedosažitelný kardinál umožňující použití Grothendieck vesmíru se používají, ale ve skutečnosti většina matematici mohou skutečně dokázat vše, co potřebují v systémech slabší než ZFC, jako sekunda objednávat aritmetiku .

Studium topologie matematiky rozprostírá po celém přes bod nastaven topologie , algebraické topologie , diferenciální topologie a veškeré související příslušenstvím, jako je například teorie homologie , homotopie teorie . Vývoj algebře přinesl s sebou teorie grup , prsteny , pole a Galois teorie .

Tento seznam by mohl být rozšířen, aby zahrnoval většinu oblastí matematiky, včetně teorie míry , ergodické teorie , pravděpodobnosti , teorie reprezentace a diferenciální geometrie .

Aritmetický

Tyto peanovy axiomy jsou nejpoužívanějším axiomatization z prvního řádu aritmetiky . Jsou sada axiomů dostatečně silné, aby prokázal mnoho důležitých faktů o teorii čísel a dovolili Gödel založit svou slavnou druhé věty o neúplnosti .

Máme jazyk , kde je konstantní symbol a je unární funkce a následující axiomy:

  1. pro jakýkoli vzorec s volným proměnné.

Standardní struktura je , kde je množina přirozených čísel, je funkce nástupce a je přirozeně interpretován jako číslo 0.

Euclidean geometrie

Pravděpodobně nejstarší a nejznámější, seznam axiomů jsou 4 + 1 Euclidovy postuláty z planimetrie . Axiómy jsou označovány jako „4 + 1“, protože téměř dvě tisíciletí pětina (paralelní) postulát ( „prostřednictvím bodu mimo linii existuje právě jeden paralelní“) je podezřelý z toho, že získat z první čtyři. Nakonec bylo zjištěno, že pátý postulát, že je nezávislý na první čtyři. Ve skutečnosti, lze předpokládat, že právě jeden paralelně přes bod mimo existuje linie, nebo že nekonečně mnoho existují. Tato volba nám dává dvě alternativní formy geometrie, ve kterém vnitřní úhly příslušníky trojúhelníku do přesně 180 ° nebo méně, v tomto pořadí, a jsou známé jako Euclidean a hyperbolických geometrií. Jestliže jeden také odstraní druhý postulát ( „linka může neomezeně prodlužovat“), pak eliptické geometrie vzniká, tam, kde není paralelní prostřednictvím bodu mimo linii, a v jehož vnitřní úhly trojúhelníku se sečtou do více než 180 stupňů ,

skutečná analýza

Cíle studie jsou ve stejné doméně reálných čísel . Reálná čísla jsou jedinečně vybral (až do izomorfismu ) o vlastnostech Dedekind komplet objednané oblasti , což znamená, že jakékoli neprázdná množina reálných čísel s horní mez má alespoň horní mez. Nicméně, exprimující tyto vlastnosti jako axiómech vyžaduje použití druhého řádu logiky . Tyto Löwenheim-Skolem věty nám říkají, že pokud se omezíme na nejprve-objednávat logiku jakýkoli axiom systém pro reals připouští další modely, včetně obou modelů, které jsou menší než reals a modelů, které jsou větší. Některými z nich jsou studovány v nestandardním analýzy .

Role v matematické logiky

Deduktivní systémy a úplnost

Deduktivní systém je tvořen souborem logických axiomů, soubor non-logické axiomy, a souborem všech pravidel závěru . Žádoucí vlastnost deduktivní systému je, že bude dokončena . Systém je řekl, aby byl úplný, jestliže u všech vzorcích ,

to znamená, že pro jakékoliv tvrzení, že je logický důsledek ze tam skutečně existuje odpočet na prohlášení . To je někdy vyjádřeno jako „vše, co je pravda, je prokazatelné“, ale je nutno si uvědomit, že „pravda“ zde znamená „made pravda souborem axiomů“, a nikoli například „true v zamýšleném interpretaci“. Gödel úplnosti teorém založí úplnost určitého běžně používaného typu deduktivní systému.

Všimněte si, že „úplnost“ má jiný význam než v kontextu Gödel je první incompleteness teorém , který říká, že ne rekurzivní , konzistentní soubor non-logických axiomů teorie aritmetiky je úplná v tom smyslu, že tam bude vždy existovat aritmetické tvrzení tak, že ani ani lze dokázat z daného souboru axiomů.

Je zde tedy na jedné straně, ponětí o úplnosti deduktivní systému a na druhé straně to úplnosti sady non-logických axiomů . Věta o úplnosti a věta o neúplnosti, a to navzdory jejich jména, nejsou v rozporu se navzájem.

další diskuse

Rané matematici považují axiomatickou geometrie jako model fyzického prostoru , a samozřejmě tam může být jen jeden takový model,. Představa, že alternativní matematické systémy mohou existovat velmi znepokojující matematiků 19. století a vývojáři systémů, jako Booleovy algebry také komplikované úsilí, aby jim vyplývají z tradiční aritmetiky. Galois ukázal těsně před jeho předčasnou smrtí, že tyto snahy byly do značné míry zbytečné. Nakonec, abstraktní paralely mezi algebraických systémů bylo pozorováno, že důležitější než detaily a moderní algebra se narodil. V moderním pohledu axiomů může být libovolná množina formulí, tak dlouho, dokud není známo, že být v rozporu.

viz též

Reference

Další čtení

externí odkazy