Axiom výběru - Axiom of choice


z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Ilustrace axiomu výběru, přičemž každý S i i x i reprezentovány jako sklenice a barevný mramor, v uvedeném pořadí
(S i ) je nekonečný rodina sad indexovaných nad reálných čísel R ; To znamená, že je soubor S i pro každé reálné číslo i , s malým vzorkem je uvedeno výše. Každá sada obsahuje alespoň jeden, a případně nekonečně mnoho, prvky. Axiom výběru nám umožňuje libovolně zvolit jednoho prvku z každé sady, které tvoří odpovídající skupinu prvků ( x i ) indexovány přes reálná čísla, s x i čerpány z S i . Obecně platí, že mohou být sbírky indexovány více než jakýkoli soubor I , ne jen R .

V matematice je axiom výběru , nebo AC , je axiom z teorie množin ekvivalentní k prohlášení, že kartézský součin ze sbírky neprázdných sad je non-prázdná . Neformálně řečeno, axiom výběru říká, že vzhledem k tomu jakýkoli sběr popelnic, z nichž každý obsahuje nejméně jeden objekt, je možné provést výběr přesně jeden objekt z každého koše, a to i v případě, že sbírka je nekonečný . Formálně uvádí, že pro každý indexovaný family of nonempty nastaví existuje indexované rodinu prvků taková, že pro každý . Axiom výběru byl formulován v 1904 Ernst Zermelo , aby se formalizovat svou důkaz zermelova věta .

V mnoha případech, jako je výběr mohou být provedeny bez vyvolání axiom výběru; To je zejména případ, kdy počet sad je konečná, nebo pokud je k dispozici výběrové pravidlo - některé odlišující vlastnost, která se stane držet přesně jeden prvek v každé sadě. Ilustrativním příkladem je sady vybral z přirozených čísel. Z těchto sad, jeden může vždy zvolit nejmenší počet, například v {{4,5,6}, {10,12}, {1,400,617,8000}} nejmenší prvky {4, 10, 1}. V tomto případě, „vyberte nejmenší počet“ je volba funkce . Dokonce i když nekonečně mnoho soubory byly odebrány z přirozených čísel, bude vždy možné zvolit nejmenší prvek z každé sady za účelem vytvoření souboru. To znamená, že volba funkce poskytuje sadu zvolených prvků. Nicméně, žádná funkce volba je známý pro shromažďování všech non-prázdné podmnožiny reálných čísel (pokud jsou non-konstruovatelné reals ). V tomto případě je axiom výběru musí být vyvolána.

Russell vytvořil analogie: pro každou (i nekonečná) sbírka párů bot, lze vybrat levou botu z každého páru pro získání vhodného výběru; to umožňuje přímo definovat funkci volby. Pro nekonečné kolekce párů ponožek (předpokládá, že nemají žádné charakteristické rysy), neexistuje žádný zřejmý způsob, jak vytvořit funkci, která vybere jednu ponožku z každého páru, aniž by s odvoláním na axiom výběru.

Ačkoli původně sporný, axiom výběru je nyní používán bez výhrad většina matematiků, a je součástí standardní formě axiomatické teorie množin , Zermelo-Fraenkel teorie množin s axiomem výběru ( ZFC ). Jedním z motivací pro toto použití je, že řada obecně uznávanými matematických výsledků, jako tichonovova věta , vyžadují axiom výběru pro své důkazy. Současní set teoretici také studovat axiomy, které nejsou kompatibilní s axiomu výběru, jako je axiom determinovanosti . Axiom výběru je zabráněno v některých odrůd konstruktivní matematiky , ačkoli tam jsou odrůdy konstruktivní matematiky, ve kterém je axiom výběru přijali.

Prohlášení

Volba funkce je funkce f , definovaná na sběrném X z neprázdných sad, taková, že pro každou nastavenou A v X , f ( ) je prvek . S touto koncepcí, axiom lze konstatovat:

Axióm  -  Pro nějaký soubor X z neprázdných sad, existuje volba funkce f definovaný na X .

Formálně, toto může být vyjádřena následujícím způsobem:

To znamená, že negace axiomu výběru se uvádí, že existuje kolekce neprázdných sad, které nemá žádnou funkci volby.

Každá funkce volba na sběrném X z neprázdných sad je prvek kartézského produktu ze souborů v X . To není nejobecnější situace kartuziánského produkt s rodinou souprav, kde daný soubor může nastat více než jednou, jako faktor; Nicméně, jeden může soustředit na prvky takového produktu, který byl zvolen stejný prvku pokaždé, když daný soubor se jeví jako faktor, a tyto prvky odpovídají prvek kartézského součinu všech odlišných setů v rodině. Axiom výběru tvrdí existenci takových prvků; je tedy ekvivalentní:

Vzhledem k tomu jakýkoliv rodina neprázdných množin, jejich kartézský součin je neprázdná množina.

Názvosloví ZF, AC, a ZFC

V tomto článku a dalších diskusích o axiomu výběru následující zkratky jsou společné:

  • AC - axiomu výběru.
  • ZF - Zermelo-Fraenkel teorie množin vynecháním axiomu výběru.
  • ZFC - Zermelo-Fraenkel teorie množin, rozšířen o axiomu výběru.

varianty

Existuje mnoho jiných rovnocenných závěrka axiom výběru. Ty jsou ekvivalentní v tom smyslu, že v přítomnosti dalších základních axiomů teorie množin, z ní vyplývají axiom výběru a vycházejí z něj.

Jedna z variant se vyhne použití vybraných funkcemi, ve skutečnosti, nahrazovat jednotlivé funkce volbu jeho rozsahu.

Vzhledem k tomu, nějaký soubor X ve dvou disjunktních neprázdných množin, existuje alespoň jednu sadu C , který obsahuje přesně jeden prvek společný s každým z množiny v X .

To zaručuje pro všechny Rozklad množiny X existence podmnožiny C z X , který obsahuje přesně jeden prvek z každé části oddílu.

Další ekvivalent axiom bere v úvahu pouze inkasa X , které jsou v podstatě powersets z jiných souprav:

Pro každý soubor A, síla sada z A (s prázdnou množinou odstraněn) má funkci volby.

Autoři, kteří používají tuto formulaci se často hovoří o funkci volby na , ale třeba upozornit, že toto je poněkud odlišný pojem funkce volby. Její doménou je POWERSET z A (s prázdné množiny odstraněn), a proto má smysl pro nějaký soubor A , zatímco s definicí používanou jinde v tomto článku, doména funkce volby na sběr sad je, že sběr a tak má smysl pouze pro soubory sady. S tímto alternativním pojetím funkce výběr, axiom výběru je možné kompaktně uvedena jako

Každý soubor má funkci výběru.

což je ekvivalentní

Pro každý soubor A je zde funkce f tak, aby pro každou neprázdné podmnožiny B A , f ( B ) leží v B .

Negace axiomu tak může být vyjádřena jako:

K dispozici je sada tak, že pro všechny funkce f (na množině neprázdné podmnožiny A ), je B takové, že f ( B ) neleží v B .

Omezení na konečné množiny

Prohlášení o axiomu výběru neuvádí, zda je sbírka neprázdných množin je konečný nebo nekonečný, a tak naznačuje, že každý konečný sběr z neprázdných sad má funkci výběru. Nicméně, tento konkrétní případ je věta Zermelo-Fraenkel teorie množin bez axiomu výběru (ZF); to je snadno dokazuje matematické indukce . V ještě jednodušším případě sběru jedné sadě funkcí volba právě odpovídá prvku, takže tato instance axiomu výběru říká, že každá neprázdná množina má prvek; to platí triviálně. Axiom výběru lze chápat jako tvrzení, zobecnění této vlastnosti, již patrný u konečných sbírek, do libovolných sbírek.

Používání

Až do konce 19. století, axiom výběru byl často používán implicitně, i když dosud nebyla oficiálně stanovena. Například poté, co zjistila, že množina X obsahuje pouze neprázdné množiny, matematik by mohl říci „nechal F (y) být jeden z členů s pro všechny to v X “. Obecně lze říci, že je nemožné prokázat, že F existuje bez axiom výběru, ale zdá se, že bez povšimnutí až do Zermelo .

Ne každá situace vyžadovala axiom výběru. Pro konečné množiny X , axiom výběru vyplývá z ostatních axiomů teorie množin. V tomto případě je jako tvrdit, že pokud budeme mít několik (konečný počet) krabic, z nichž každá obsahuje alespoň jednu položku, pak můžeme vybrat přesně jednu položku z každé krabice. Je zřejmé, můžeme to udělat: Začneme v prvním okně zvolte položku; přejít do druhého pole, vyberte položku; a tak dále. Počet boxů je konečný, takže nakonec náš postup volba blíží ke svému konci. Výsledkem je explicitní volba funkce: funkce, která zaujímá první pole prvního prvku jsme si vybrali, druhá box k druhému prvku jsme si vybrali, a tak dále. (A formální důkaz pro všechny konečné množiny by používal princip matematické indukce dokázat „pro každé přirozené číslo k , každá rodina k- neprázdných sad má funkci výběru.“) Tato metoda však nemůže být použita k prokázání, že každý počitatelné rodina neprázdných sad má funkci volby, jak je uplatňovaný v axiom spočetného výběru . Použije-li se způsob nekonečné sekvenci ( X i  : i ∈ω) z neprázdných sad, funkce se získá v každé konečné fázi, ale neexistuje žádný stupeň, při které se volba funkce pro celou rodinu je konstruován, a ne " omezení“volba funkce mohou být konstruovány, obecně, v ZF bez axiomu výběru.

Příklady

Povaha jednotlivých neprázdných sad ve sbírce může umožnit, aby se zabránilo axiom výběru a to i pro některé nekonečných sbírek. Předpokládejme například, že každý člen sběrné X je neprázdná podmnožina přirozených čísel. Každá taková podmnožina má nejmenší prvek, takže určit svou funkci volby můžeme jednoduše říci, že mapuje každou sadu pro nejmenší prvek této sady. To nám dává určitý výběr prvku z každé sadě, a dělá to zbytečné používat axiom výběru.

Potíž se objeví, když není tam žádný přirozený výběr prvků z každé sady. Pokud nemůžeme dělat explicitní možnosti, jak víme, že náš soubor existuje? Předpokládejme například, že X je množina všech neprázdných podmnožin reálných čísel . Nejprve jsme zkusit postupovat v případě X jsou konečné. Pokusíme-li se vybrat prvek z každé sadě, pak proto, že X je nekonečný, náš postup volba nikdy nepřijde do konce, a v důsledku toho se nikdy nebudeme schopni vyrobit funkci volbou pro všechny X . Dále jsme zkusit určující nejmenší prvek z každé sady. Ale některé podmnožiny reálných čísel nemají nejmenší prvky. Například, otevřený interval (0,1) nemá nejmenší prvek: pokud x je v (0,1), pak tak je x / 2, a x / 2, je vždy striktně menší než x . Takže tento pokus také selže.

Dále zvažte například kruhu jednotky S , a účinek na S skupina G sestávající všech racionálních rotací. Jmenovitě se jedná o rotace podle úhlu, které jsou racionální násobky  n . Zde G je počitatelné zatímco S je nespočetná. Z tohoto důvodu S rozpadá do nespočetně mnoho orbit pod  G , Použití axiom výběru, můžeme vybrat jeden bod z každé oběžné dráhy, získání nespočetné podmnožina X o S s vlastnost, že všechny jeho překládá podle G jsou disjunktní z  X . Množina těch překládá rozděluje kruh do spočetné kolekci disjunktních množin, které jsou všechny pairwise shodné. Vzhledem k tomu, X není měřitelný žádného otáčení invariantní countably aditivního konečných opatření na S , najít algoritmus pro výběr bod v každé oběžné dráze vyžaduje axiom výběru. Viz non-měřitelné sady pro další podrobnosti.

Důvod, že jsme schopni zvolit nejméně prvky z podmnožin přirozených čísel, je skutečnost, že přirozená čísla jsou dobře-objednal : každé nonempty podmnožina přirozených čísel má jedinečnou nejmenší prvek v rámci přirozené uspořádání. Dalo by se říci: „I když je obvyklé uspořádání reálných čísel nefunguje, může to být možné najít jiný uspořádání reálných čísel, která je dobře objednávat. Pak naše volba funkce můžete zvolit nejmenší prvek každého setu v rámci své neobvyklé uspořádání „. Problémem se pak stává, že o vybudování dobrého uspořádání, který dopadá vyžadovat axiom výběru její existence; Každý soubor může být dobře-objednal právě tehdy, když axiom výběru drží.

Kritika a přijetí

Důkaz vyžaduje axiom výběru může prokázat existenci objektu, aniž by explicitně definuje objekt v jazyce teorie množin. Například, zatímco axiom výběru znamená, že tam je dobře uspořádání reálných čísel, tam jsou modely teorie množin s axiomem výběru, ve kterém není dobře uspořádání reals je definovatelná. Stejně tak, i když podmnožina reálných čísel, která není Lebesgue měřitelný může být prokázáno, že existuje pomocí axiom výběru, to je v souladu , že takové sady je definovatelná.

Axiom výběru dokazuje existenci těchto nehmotných (objekty, které se ukázaly, že existují, ale nemohou být výslovně konstruovány), které mohou být v rozporu s některými filosofickými principy. Protože neexistuje žádný kanonický dobrého uspořádání všech souborů, stavba, která se opírá o dobrého uspořádání nemusí produkovat kanonický výsledek, i když je to žádoucí kanonický výsledek (jak je tomu často v teorii kategorie ). To byla použita jako argument proti použití axiomu výběru.

Dalším argumentem proti axiomu výběru je, že implikuje existenci objektů, které se mohou zdát neintuitivní. Jedním z příkladů je Banach-Tarski paradox který říká, že je možné, aby se rozložil 3-dimenzionální solidní jednotky míč do finitely mnoho kusů a pouze pomocí rotace a překlady, sestavte kusy do dvou pevných kuliček každý se stejným objemem jako originál , Kusy v tomto rozkladu, postavené s použitím axiom výběru, jsou neměřitelné sady .

Přes tyto zdánlivě paradoxní skutečností, že většina matematiků přijmout axiom výběru jako platnou zásadu pro prokázání nových výsledků v matematice. Debata je natolik zajímavý, nicméně, že je považován za zmínku, když věta v ZFC (ZF navíc AC) je logicky ekvivalent (jen s axiomy ZF) k axiomu výběru a matematici hledat výsledky, které vyžadují axiom Možnost, že je falešný, když tento typ odpočtu je méně časté než druh, který vyžaduje axiom výběru, aby to byla pravda.

Je možné prokázat mnoho vět pomocí ani axiom výběru ani jeho negace; Takové prohlášení bude platit v jakémkoliv modelu z ZF, bez ohledu na pravdě nebo faleš axiomu výběru v tomto konkrétním modelem. Omezení na ZF činí každé tvrzení, které se opírá na obou axioma výběru nebo jeho negace unprovable. Například, Banach-Tarski paradox není ani prokazatelný ani vyvratitelný od ZF sám: to je nemožné postavit požadovanou rozklad jednotkové koule v ZF, ale také nemožné dokázat, že žádný takový rozklad. Stejně tak všechny příkazy uvedené níže, které vyžadují výběr, nebo nějaký slabší verze smlouvy pro jejich prokázání jsou unprovable v ZF, ale protože každý je provable v ZF plus axiom výběru, existují modely ZF ve kterém každý tvrzení je pravdivé. Prohlášení jako je Banach-Tarski paradox může být přeformulován jako podmíněné příkazy, například „Pokud AC platí, pak je rozklad v Banach-Tarski paradox existuje.“ Takové podmíněné příkazy jsou dokazatelné v ZF, kdy původní výroky jsou doložitelné od ZF a axiomu výběru.

Konstruktivní matematice

Jak bylo uvedeno výše, v ZFC, axiom výběru je schopen poskytnout „ nonconstructive důkazy “, ve kterých je existence objektu osvědčily i když žádná explicitní příklad je konstruován. ZFC je však stále formován do klasické logiky. Axiom výběru byla také důkladně zkoumán v rámci konstruktivní matematiky, kde se používá neklasické logiky. Stav axiom výběru se pohybuje mezi různými odrůdami konstruktivní matematiky.

V Martin-Löf psát teorii a vyššího řádu Heyting aritmetiky , příslušná prohlášení axiomu výběru je (v závislosti na postupu) zahrnuty jako axiom nebo prokazatelný jako teorém. Errett Bishop tvrdil, že axiom výběru bylo konstruktivně přijatelný, řka:

Funkce volba existuje konstruktivní matematiku, protože volba je naznačen samotným smyslu existence.

V konstruktivní teorie množin , ale Diaconescu věta ukazuje, že axiom výběru implikuje právo vyloučeného středa (na rozdíl od Martin-Löf psát teorii, pokud tomu tak není). Tak axiom výběru není obecně k dispozici v konstruktivní teorie množin. Příčinou tohoto rozdílu je skutečnost, že axiom výběru teoreticky typu nemá extensionality vlastnosti, které axiom výběru v konstruktivní teorie množin dělá.

Některé výsledky v konstruktivní teorie množin používat axiom spočetného výběru nebo Axiom závislého výběru , které neznamenají právo vyloučeného středa v konstruktivní teorie množin. Ačkoli axiom spočetného výběru zejména se běžně používá v konstruktivní matematice, byl také zpochybňována jeho použití.

Nezávislost

V roce 1938, Kurt Gödel ukázal, že negace axiomu výběru není věta ZF sestavením vnitřní modelu (dále vesmíru constructible ), který splňuje ZFC a tak ukazuje, že ZFC je konzistentní, pokud ZF sám o sobě je v souladu. V roce 1963, Paul Cohen použil techniku nutit , vyvinutý pro tento účel, aby prokázala, že: za předpokladu, že ZF je konzistentní, axiom samotné volby není teorém ZF vytvořením mnohem složitější model, který splňuje ZF¬C (ZF s negace AC přidány jako axiom) a tak ukazuje, že ZF¬C je konzistentní. Dohromady tyto výsledky ukazují, že axiom výběru je logicky nezávislý na ZF. Předpoklad, že ZF je konzistentní je neškodný, protože přidávat další axiom k již nekonzistentní systém nemůže zhoršit situaci. Vzhledem k nezávislosti, rozhodnutí, zda používat axiom výběru (nebo jeho negaci) v dokladu nelze provést odvoláním na jiné axiomy teorie množin. Toto rozhodnutí musí být provedeno na jiném základě.

Jedním z argumentů uvedeny ve prospěch použití axiom výběru je to, že je vhodné jej používat, protože umožňuje, aby jeden dokázat některé zjednodušující návrhy, které by jinak nebylo možné prokázat. Mnoho věty, která jsou doložitelné pomocí volby jsou elegantní obecné povahy: každý ideální v kruhu je obsažen v maximální ideální , každý vektorový prostorzáklad , a každý produkt z kompaktních prostorů je kompaktní. Bez axiomu výběru, mohou tyto věty neplatí pro matematickými objekty velkých mohutností.

Důkazem výsledku nezávislosti také ukazuje, že celá třída matematických tvrzení, včetně všech příkazů, které mohou být formulovány v jazyce Peanovy aritmetiky , jsou dokazatelné v ZF tehdy a jen tehdy, pokud jsou dokazatelné v ZFC. Prohlášení v této třídě zahrnují prohlášení, že P = NP je Riemann hypotéza , a mnoho dalších nevyřešených matematických problémů. Když se člověk snaží řešit problémy v této třídě, nezáleží na tom, zda je použit ZF nebo ZFC v případě, že jedinou otázkou je existence důkazu. Je však možné, že tam je kratší důkaz věty, ze ZFC než od ZF.

Axiom výběru není jediným významným výrok, který je nezávislý na ZF. Například, celkové kontinuum hypotéza (GCH) je nejen nezávislý na ZF, ale také nezávisle na ZFC. Nicméně, ZF a GCH implikuje AC, což GCH striktně větší nárok než AC, a to i když jsou oba nezávislé ZF.

silnější axiomy

Axiom konstruovatelnosti a zobecněná hypotéza kontinua vzájemně implikují axiom výběru, a tak se v žádném případě silnější než to. Ve třídě teoriích, jako Von Neumann-Bernays-Gödel teorie množin a Morse-Kelley teorie množin , tam je axiom nazývá axiom úplného výběru , který je silnější než axiomu výběru pro soubory, protože to platí i pro správné tříd. Axiom globálního výběru vyplývá z axiomu omezení velikosti .

ekvivalenty

Tam jsou důležité prohlášení, že za předpokladu, že axiomy ZF ale ani AC Nor ¬AC, jsou ekvivalentní k axiomu výběru. Nejdůležitější z nich jsou princip maximality a zermelova věta . Ve skutečnosti, Zermelo předloží axiom výběru, aby se formalizovat svůj doklad o zermelova věta.

teorie kategorie

Existuje několik výsledky v teorii kategorie , které spouští axiom výběru pro jejich důkaz. Tyto výsledky mohou být slabší než ekvivalentní nebo silnější než axiom výběru, v závislosti na síle technických základech. Například, jestliže jeden definuje kategorie, pokud jde o souborech, které je, jak sady objektů a morfismů (obvykle nazýván malý kategorie ), nebo i místně malé kategorie, jejichž hom-objekty jsou soubory, pak není kategorie všech sad , a proto je obtížné pro kategorii teoretická formulace se vztahuje na všechny sady. Na druhou stranu, jiné foundational popisy teorie kategorií jsou podstatně silnější, a identický kategorie-teoretické tvrzení volby může být silnější než standardní formulaci, à la teorie tříd, je uvedeno výše.

Příklady prohlášení kategorii teoretický, které vyžadují výběr, patří:

  • Každé malé kategoriekostru .
  • Pokud dvě malé kategorie jsou slabě ekvivalentní, pak jsou ekvivalentní .
  • Každé spojité funktor na malém-kompletní kategorie, který splňuje příslušnou sadu řešení stav má levý-adjoint (dále Freyd adjoint funktor věta).

slabší formy

Existuje několik slabší výroky, které nejsou ekvivalentní k axiomu výběru, ale úzce souvisí. Jedním z příkladů je Axiom závislého výběru (DC). Ještě slabší příkladem je axiom spočetného výběru (AC ω nebo CC), v němž se uvádí, že existuje funkce volbou pro všechny počitatelné sada neprázdných sad. Tyto axiomy jsou dostačující pro mnoho důkazů v elementární matematické analýzy a jsou v souladu s některými zásadami, jako je Lebesgue měřitelnost všech množin reálných čísel, které jsou vyvratitelný z plné axiomu výběru.

Jiná volba axiómy slabší než axiom výběru zahrnout Logická primární ideální teorém a axiom uniformizaci . První z nich je ekvivalentní ZF k existenci ultrafiltru obsahující každý daný filtr, ukázal Tarski v roce 1930.

Výsledky vyžadující AC (nebo slabší formy), ale slabší, než se

Jedním z nejzajímavějších aspektů axiomu výběru je velký počet míst v matematice, že to ukáže. Zde jsou některé výroky, které vyžadují axiom výběru v tom smyslu, že nejsou prokazatelné od ZF, ale mají prokazatelný od ZFC (ZF navíc AC). Ekvivalentně tato tvrzení jsou pravdivá ve všech modelech ZFC ale falešný v některých modelech ZF.

Případně rovnocenné důsledky AC

Existuje několik historicky významných set-teoretické výroky implikované AC, jehož rovnocennost s AC je otevřen. Princip oddíl, který byl formulován před samotný AC, byl citován Zermelo jako odůvodnění věřit AC. V roce 1906 Russell prohlásil, PP za rovnocenné, ale zda je oddíl princip implikuje AC je stále nejstarší otevřený problém v teorii množin a ekvivalence ostatních výkazů jsou podobně těžké staré otevřené problémy. V každém známém modelu ZF, kde volba selže, tyto příkazy selžou taky, ale není známo, zda mohou držet bez výběru.

  • teorie množin
    • Princip partition: je-li surjekce z A do B, je injekce od B do A. ekvivalentně, každá oblast P souboru S je menší než nebo se rovná S velikost.
    • Konverzovat Schröder-Bernstein teorém : jestliže dvě sady mají surjections k sobě navzájem, jsou equinumerous.
    • Slabá zásada partition: Oddíl souboru S nemůže být striktně větší než S. Pokud WPP vlastní, to již naznačuje existenci neměřitelný setu. Každá ze tří předcházejících závěrky vyplývá z předchozí, ale není známo, zda některý z těchto důsledků může být obrácen.
    • Neexistuje žádný nekonečné klesající sekvenci kardinálů. Rovnocennost se domníval by Schoenflies v roce 1905.
  • Abstraktní algebra
    • Hahn vkládání věta : Každý objednat abelian skupina G objednávky vloží podskupinu aditivní skupiny ℝ W dotovaný s lexikografické uspořádání, kde Ω je množina Archimedean ekvivalence tříd w. Tato rovnocennost se domníval Hahn v roce 1907.

Silnější formy negace AC

Nyní zvážit silnější formy popření AC. Například, pokud budeme zkracovat BP tvrzení, že každá množina reálných čísel má vlastnost Baire , pak BP je silnější než ¬AC, který tvrdí nonexistence libovolné funkce volby na možná pouze jednu sadu neprázdných sad. Všimněte si, že posílila negace může být kompatibilní s oslabenou formami AC. Například ZF + DC + BP je konzistentní, jestliže ZF je.

Je rovněž v souladu s ZF + DC, že každá množina reálných čísel je Lebesgue měřitelný ; Nicméně, tento výsledek konzistence, díky Robert M. Solovay , nemůže být prokázána v samotném ZFC, ale vyžaduje mírné velké kardinály předpoklad (o existenci nedosažitelný kardinál ). Mnohem silnější axiom determinovanosti , nebo AD znamená, že každá množina reálných čísel je Lebesgue měřitelná, má tu vlastnost, že Baire, a má perfektní nastavit vlastnost (přičemž všechny tři tyto výsledky jsou vyvráceny AC sám). ZF + DC + AD odpovídá za předpokladu, že dostatečně silný velké kardinály axiom je konzistentní (existence nekonečně mnoha Woodin kardinály ).

Quinův systém teorie množin axiom, „Nové Foundations“ (NF), vezme si jeho jméno z názvu ( „nové základy pro matematické logiky“) z roku 1937 článek, který ji představil. V axiomatickém systému NF, axiom výběru může být vyvrácena.

Prohlášení v souladu s negací AC

K dispozici jsou modely zermelova-fraenkelova teorie množin ve kterém je axiom výběru je falešný. Budeme zkracovat „Zermelo-Fraenkel teorie množin plus popření axiomu výběru“ od ZF¬C. U některých modelů ZF¬C, že je možné prokázat popření některých běžných skutečnostech. Všimněte si, že jakýkoliv model ZF¬C je také model ZF, takže pro každý z následujících výroků, existuje model ZF, ve které toto tvrzení je pravdivé. U každého z následujících tvrzení, tam je nějaký model ZF¬C kde je to pravda:

  • V některých modelu, je sada, která může být rozdělena do více tříd ekvivalence přísně než původní soubor má prvky a funkce, jejíž doména je striktně menší než jeho rozsah. Ve skutečnosti je tomu tak u všech známých modelů.
  • K dispozici je funkce f od reálných čísel na reálných čísel tak, že f není spojitá v , ale f je sekvenčně spojitá v , tedy pro každou sekvenci { x n } konvergující k , lim n f ( x n ) = f (a).
  • V některých modelů, je nekonečná množina reálných čísel bez countably nekonečné podskupiny.
  • V některých modelů, reálná čísla jsou spočetná sjednocení spočetné množiny.
  • V některých modelů, je pole s žádným algebraickým uzávěrem.
  • Ve všech modelech ZF¬C je vektorový prostor s žádným základem.
  • V některých modelu, ve kterém je vektorový prostor se dvěma bázemi různých mohutností.
  • V některých modelů je zdarma kompletní boolean algebra na countably mnoha generátorů.
  • V některých modelů je sada, která nemůže být lineárně objednat .

Pro důkazy, viz JECH (2008) .

Axiom výběru v teorii typu

V teorii typu , jiný druh příkazu je znám jako axiomu výběru. Tato forma začíná se dvěma typy, å a ▼, a relace R mezi objekty typu å a objekty typu ▼. Axiom výběru uvádí, že pokud pro každou x typu σ tam existuje y typu ▼ je taková, že R ( x , y ), pak je funkce f z předmětů druhu å na objekty typu ▼ je taková, že R ( x , f ( x )), platí pro všechny x typu å:

Na rozdíl od teorie množin, axiom výběru v teorii typu je obvykle uvedeno jako schéma axiomu , ve kterých R se mění v průběhu všech vzorcích nebo v průběhu všech vzorcích určité logické formy.

Citáty

Axiom výběru je samozřejmě pravda, že princip dobrého uspořádání zřejmě falešný, a kdo může říci o princip maximality ?

To je vtip: ačkoli všechny tři jsou matematicky ekvivalentní, mnozí matematici najít axiom výběru být intuitivní, princip dobrého uspořádání být neintuitivní, a princip maximality být příliš složité na to, intuice.

Axiom výběru je nutné vybrat sadu z nekonečného počtu párů ponožek, ale ne nekonečně mnoho párů bot.

Pozorování je, že jeden může definovat funkci vybrat z nepřeberného množství párů bot konstatováním například zvolit levou botu. Bez axioma výběru, nelze tvrdit, že existuje taková funkce pro párů ponožek, protože levá a pravá ponožky jsou (pravděpodobně) k nerozeznání.

Tarski se snažil vydávat jeho větu [rovnocennost mezi AC a „každé nekonečné množiny má stejnou mohutnost jako A  x  A “, viz výše] v Comptes Rendus , ale Fréchet a Lebesgue odmítl ji prezentovat. Fréchet napsal, že implikace mezi dvěma dobře známy [TRUE] tvrzení není nový výsledek, a Lebesgueovy napsal, že implikace mezi dvěma falešné problémy nemá žádný zájem.

Polsko-americký matematik Jan Mycielski vztahuje tato anekdota v článku z roku 2006, v oznámení o AMS.

Axiom dostane jeho jméno ne proto, že matematici preferují ji s ostatními axiomy.

Tato citace pochází ze známého apríl článku v počítačové Zábavy sloupci Scientific American , duben 1989.

Poznámky

Reference

Přeloženy do: Jean van Heijenoort 2002. Od Frege k Gödel: Kniha zdroje v matematické logiky, 1879-1931 . Nová edice. Harvard University Press . ISBN  0-674-32449-8
  • 1904. „Důkaz, že každý soubor může být dobře-objednal,“ 139 až 41.
  • 1908. „Vyšetřování v základech teorie množin I,“ 199-215.

externí odkazy