Axiom spočetné volby - Axiom of countable choice

Každá množina v spočetné posloupnosti množin (S i ) = S 1 , S 2 , S 3 , ... obsahuje nenulový a případně nekonečný (nebo dokonce nespočetně nekonečný ) počet prvků. Axiom spočetné volby nám umožňuje libovolně vybrat jeden prvek z každé sady a vytvořit odpovídající sekvenci prvků ( x i ) = x 1 , x 2 , x 3 , ...

Axiom spočetného výběru nebo axiom denumerable volby , označil AC Q , je axiom z teorie množin , který uvádí, že každý počitatelný sbírka non-prázdných souprav musí mít funkci volby . To znamená, že vzhledem k funkci A s doménou N (kde N označuje množinu přirozených čísel ) tak, že A ( n ) je neprázdná množina pro každé n  ∈  N , existuje funkce f s doménou N taková, že f ( n ) ∈  ( n ) pro každé n  ∈  N .

Přehled

Axiom spočetné volby (AC ω ) je přísně slabší než axiom závislé volby (DC) ( Jech 1973 ), který je zase slabší než axiom volby (AC). Paul Cohen ukázal, že AC ω není prokazatelné v Zermelo – Fraenkelově teorii množin (ZF) bez axiomu volby ( Potter 2004 ). AC ω platí v Solovayově modelu .

ZF + AC ω postačuje k prokázání, že spojení počitatelně mnoha spočetných množin je počitatelné. Také stačí dokázat, že každá nekonečná množina je Dedekind-nekonečná (ekvivalentně: má nespočetně nekonečnou podmnožinu).

AC ω je zvláště užitečné pro vývoj analýzy , kde mnoho výsledků závisí na tom, zda mají funkci výběru pro spočetnou sadu množin reálných čísel . Například, aby se dokázalo, že každý akumulační bod x množiny S  ⊆  R je limitem určité posloupnosti prvků S  \ { x }, je potřeba (slabá forma) axiom spočetné volby. Při formulaci pro akumulační body libovolných metrických prostorů se příkaz stane ekvivalentem AC ω . Další výroky ekvivalentní AC ω viz Herrlich (1997) a Howard & Rubin (1998) .

Běžná mylná představa je, že spočetná volba má induktivní povahu a je proto dokázatelná jako věta (v ZF nebo podobných nebo dokonce slabších systémech) indukcí. To však není tento případ; tato mylná představa je výsledkem záměny spočetné volby s konečnou volbou pro konečnou množinu velikosti n (pro libovolnou n ) a právě tento druhý výsledek (což je elementární věta v kombinatorice) je prokazatelný indukcí. U některých spočítatelně nekonečných množin neprázdných množin však lze prokázat, že mají v ZF funkci výběru bez jakékoli formy axiomu výběru. Patří mezi ně V ω - {Ø} a množina správných a ohraničených otevřených intervalů reálných čísel s racionálními koncovými body.

Použití

Jako příklad aplikace AC ω je zde důkaz (od ZF + AC ω ), že každá nekonečná množina je Dedekind-nekonečná:

Nechť X je nekonečný. U každé přirozené číslo n , nechť A n je množina všech 2 n -element podmnožin X . Protože X je nekonečný, každý A n není prázdný. První aplikace AC ω poskytuje sekvenci ( B n  : n  = 0,1,2,3, ...), kde každá B n je podmnožinou X s 2 n prvky.
Množiny B n nejsou nutně disjunktní, ale můžeme je definovat
C 0 = B 0
C n = rozdíl mezi B n a sjednocením všech C j , j  <  n .
Je zřejmé, že každá sada C n má alespoň 1 a nejvýše 2 n prvků a sady C n jsou dvojice disjunktní. Druhou aplikací AC ω se získá sekvence ( c n : n  = 0,1,2, ...) s c n  ∈  C n .
Takže všechna c n jsou odlišná a X obsahuje spočetnou množinu. Funkce, která mapuje každé c n na c n +1 (a ponechává všechny ostatní prvky X pevné), je mapa 1-1 z X do X, která není na, což dokazuje, že X je nekonečný Dedekind.

Reference

  • Jech, Thomas J. (1973). Axiom výběru . Severní Holandsko. str. 130–131. ISBN   978-0-486-46624-8 .
  • Herrlich, Horst (1997). „Principy volby v elementární topologii a analýze“ (PDF) . Comment.Math.Univ.Carolinae . 38 (3): 545.
  • Howard, Paul; Rubin, Jean E. (1998). "Důsledky axiomu volby" . Providence, RI . Americká matematická společnost. ISBN   978-0-8218-0977-8 .
  • Potter, Michael (2004). Teorie množin a její filozofie: Kritický úvod . Oxford University Press. str. 164. ISBN   9780191556432 .

Tento článek obsahuje materiál z axiomu počítatelné volby na PlanetMath , který je licencován pod licencí Creative Commons Attribution / Share-Alike License .