Axiom determinace - Axiom of determinacy

V matematice je axiom determinace (zkráceně AD ) možným axiomem pro teorii množin zavedenou Janem Mycielskim a Hugem Steinhausem v roce 1962. Vztahuje se k určitým dvoučlenným topologickým hrám délky ω . AD uvádí, že je určena každá hra určitého typu ; to znamená, že jeden ze dvou hráčů má vítěznou strategii .

Motivovali AD jejími zajímavými důsledky a navrhli, že AD by mohla být pravdivá v nejmenším přirozeném modelu L (R) teorie množin, která přijímá pouze slabou formu axiomu volby (AC), ale obsahuje všechny skutečné a všechny pořadové číslo čísla . Některé důsledky AD vyplývají z vět, které dříve prokázali Stefan Banach a Stanisław Mazur a Morton Davis . Mycielski a Stanisław Świerczkowski přispěli dalším: AD znamená, že všechny sady reálných čísel lze měřit pomocí Lebesgue . Později Donald A. Martin a další prokázali důležitější důsledky, zejména v deskriptivní teorii množin . V roce 1988 uzavřeli John R. Steel a W. Hugh Woodin dlouhou řadu výzkumů. Za předpokladu existence některých nespočetných světových čísel analogických , dokázali původní domněnku Mycielského a Steinhause, že AD je pravdivá v L (R).

Typy her, které jsou určeny

Axiom determinovanosti se týká hry následující specifické formě: Uvažujme podmnožinu A v tomto Baire prostoru w w všech nekonečných sekvencí z přirozených čísel . Dva hráči, I a II , střídavě vybírají přirozená čísla

n 0 , n 1 , n 2 , n 3 , ...

Po nekonečně mnoha tahech se vygeneruje sekvence . Hráč I vyhrává hru tehdy a jen tehdy, jestliže posloupnost generována je prvkem A . Axiom determinace je prohlášení, že všechny takové hry jsou určeny.

Ne všechny hry vyžadují axiom determinace, aby je dokázaly. V případě, že množina je clopen , hra je v podstatě konečný hra, a je proto určen. Podobně, pokud A je uzavřená množina , pak je hra určena. V roce 1975 ukázal Donald A. Martin, že jsou určeny hry, jejichž vítěznou sadou je Borelova sada . Z existence dostatečně velkých kardinálů vyplývá, že jsou určeny všechny hry s vítěznou sadou projektivní množinou (viz Projektivní determinantnost ) a že AD platí v L (R) .

Axiom determinovanosti znamená, že pro každou subprostorového X z reálných čísel je Banach-Mazur hra BM ( X ) je stanovena (a proto, že každá množina reálných čísel má tu vlastnost, že Baire ).

Neslučitelnost axiomu determinace s axiomem volby

Sada S1 všech strategií prvního hráče v ω hře G má stejnou mohutnost jako kontinuum . Totéž platí pro sadu S2 všech strategií druhého hráče. Poznamenáváme, že mohutnost množiny SG všech možných sekvencí v G je také kontinuum. Nechť A je podmnožinou SG všech sekvencí, díky nimž vyhrává první hráč. Axiomem volby můžeme dobře uspořádat kontinuum; dále to můžeme udělat takovým způsobem, že jakákoli správná počáteční část nemá mohutnost kontinua. Vytváříme protipříklad pomocí transfinitní indukce na sadě strategií pod tímto uspořádáním studní:

Začneme sadou A nedefinováno. Nechť T je „čas“, jehož osa má délkové kontinuum. Musíme vzít v úvahu všechny strategie {s1 (T)} prvního hráče a všechny strategie {s2 (T)} druhého hráče, abychom zajistili, že pro každou strategii existuje strategie druhého hráče, který proti ní vyhraje. Pro každou strategii uvažovaného hráče vygenerujeme sekvenci, která dá druhému hráči výhru. Nechť t je čas, jehož osa má délku ℵ 0 a který se používá během každé herní sekvence.

  1. Zvažte aktuální strategii {s1 (T)} prvního hráče.
  2. Projděte celou hru a vygenerujte (společně se strategií prvního hráče s1 (T)) sekvenci {a (1), b (2), a (3), b (4), ..., a (t) , b (t+1), ...}.
  3. Rozhodněte, že tato sekvence nepatří do A, tj. S1 (T) ztraceno.
  4. Zvažte strategii {s2 (T)} druhého hráče.
  5. Projděte další celou hrou a vygenerujte (společně se strategií druhého hráče s2 (T)) sekvenci {c (1), d (2), c (3), d (4), ..., c (t ), d (t+1), ...}, přičemž se ujistěte, že se tato posloupnost liší od {a (1), b (2), a (3), b (4), ..., a (t ), b (t+1), ...}.
  6. Rozhodněte, že tato sekvence patří do A, tj. S2 (T) ztraceno.
  7. Opakujte s dalšími strategiemi, pokud existují, a ujistěte se, že se již uvažované sekvence znovu nevygenerují. (Vycházíme ze sady všech sekvencí a pokaždé, když generujeme sekvenci a vyvracíme strategii, promítneme generovanou sekvenci na pohyby prvního hráče a na pohyby druhého hráče a dvě výsledné sekvence odebereme z naší sady sekvencí.)
  8. U všech sekvencí, které se ve výše uvedené úvaze nevyskytly, rozhodněte libovolně, zda patří do A nebo do doplňku A.

Jakmile to bylo provedeno máme hru G . Pokud mi dáte strategii s1, uvažovali jsme o ní v určitém čase T = T (s1). V čase T jsme rozhodli o výsledku s1, který by byl ztrátou s1. Tato strategie proto selhává. To však platí pro libovolnou strategii; proto je axiom determinace a axiom volby nekompatibilní.

Infinitární logika a axiom determinace

Na konci 20. století bylo navrženo mnoho různých verzí infinitární logiky . Jedním z důvodů, které byly uvedeny pro víru v axiom determinance, je to, že může být zapsán následovně (ve verzi nekonečné logiky):

NEBO

Poznámka: Seq ( S ) je množina všech -sequences ze S . Věty jsou zde nekonečně dlouhé se spočítatelně nekonečným seznamem kvantifikátorů, kde se objevují elipsy.

Velcí kardinálové a axiom determinace

Konzistence axiomu determinace úzce souvisí s otázkou konzistence velkých kardinálních axiomů. Podle Woodinovy věty je konzistence teorie množin Zermelo – Fraenkel bez volby (ZF) společně s axiomem determinance ekvivalentní konzistenci teorie množin Zermelo – Fraenkel s volbou (ZFC) spolu s existencí nekonečně mnoha Woodinových kardinálů . Jelikož jsou Woodinovi kardinálové silně nepřístupní , je -li AD konzistentní, jsou tedy také nekonečné části nepřístupných kardinálů.

Navíc, pokud se k hypotéze nekonečné množiny Woodinových kardinálů přičte existence měřitelného kardinála většího než všechny, objeví se velmi silná teorie Lebesgueových měřitelných sad skutečností, protože je pak prokazatelné, že axiom determinace je true v L (R) , a proto je určena každá množina reálných čísel v L (R).

Viz také

Reference

Další čtení