Axiom globální volby - Axiom of global choice

V matematice , konkrétně ve třídě teorie je axiom úplného výběru je silnější varianta axiom výběru , které se vztahují k řádných tříd ze sady , stejně jako sad sad. Neformálně uvádí, že je možné současně vybrat prvek z každé neprázdné množiny.

Prohlášení

Axiom globální volby uvádí, že existuje funkce globální volby τ, což znamená funkci takovou, že pro každou neprázdnou množinu z je τ ( z ) prvkem z .

Axiom globální volby nelze uvést přímo v jazyce ZFC ( Zermelo –Fraenkelova množinová teorie s axiomem volby), protože výběrová funkce τ je správná třída a v ZFC nelze kvantifikovat přes třídy. Lze to určit přidáním nového funkčního symbolu τ do jazyka ZFC s vlastností, že τ je funkce globální volby. Toto je konzervativní rozšíření ZFC: každé prokazatelné prohlášení této rozšířené teorie, které lze uvést v jazyce ZFC, je již prokazatelné v ZFC ( Fraenkel, Bar-Hillel & Levy 1973 , str.72). Alternativně Gödel ukázal, že vzhledem k axiomu konstruktivity lze v jazyce ZFC zapsat explicitní (i když poněkud komplikovanou) funkci volby τ, takže v jistém smyslu axiom konstruktivity implikuje globální volbu (ve skutečnosti (ZFC to dokazuje) v jazyce rozšířeném o unární funkční symbol τ, axiom konstruovatelnosti znamená, že pokud je τ řečeno jako výslovně definovatelná funkce, pak je toto τ funkcí globální volby. A pak globální volba morálně platí, s τ jako svědkem ).

V jazyce teorie množin von Neumann – Bernays – Gödel (NBG) a Morse – Kelleyovy teorie množin lze axiom globální volby uvést přímo ( Fraenkel, Bar-Hillel & Levy 1973 , s. 133) a je ekvivalentní různé další výroky:

• Každá třída neprázdných sad má funkci volby .
• V \ {∅} má funkci volby (kde V je třída všech sad ).
• K dispozici je dobře uspořádání of V. .
• Mezi V a třídou všech řadových čísel existuje bijekce .

V teorii množin von Neumann – Bernays – Gödel globální volba nepřináší o množinách (nikoli správných třídách) žádné důsledky nad rámec toho, co bylo možné odvodit z běžného axiomu výběru.

Globální volba je důsledkem axiomu omezení velikosti .

Reference

• Fraenkel, Abraham A .; Bar-Hillel, Yehoshua ; Levy, Azriel (1973), Foundations of set theory , Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 67 (Second revised ed.), Amsterdam-London: North-Holland Publishing Co., ISBN   978-0720422702 , MR   0345816
• Jech, Thomas , 2003. Teorie množin: Třetí vydání tisíciletí, revidováno a rozšířeno . Springer. ISBN   3-540-44085-2 .
• John L. Kelley ; Obecná topologie ; ISBN   0-387-90125-6