Schéma Axiom - Axiom schema

V matematické logiky , An axiom schématu (množné číslo: axiom schemata nebo axiom schémata ) zobecňuje pojem axiom .

Formální definice

Axiom schéma je vzorec ve metajazyka části s axiomatického systému , ve kterém je jeden nebo více schematické proměnných objeví. Tyto proměnné, které jsou metalingvistickými konstrukty, představují jakýkoli termín nebo podformulář systému, který může nebo nemusí být vyžadován pro splnění určitých podmínek. Takové podmínky často vyžadují, aby určité proměnné byly volné , nebo aby se určité proměnné neobjevily v podformulích nebo termínech.

Konečná axiomatizace

Vzhledem k tomu, že počet možných podformulí nebo termínů, které lze vložit na místo schematické proměnné, je spočetně nekonečný , znamená schéma axiomu spočítatelně nekonečnou množinu axiomů. Tuto sadu lze obvykle definovat rekurzivně . Teorie, kterou lze axiomatizovat bez schémat, je považována za definitivně axiomatizovanou . Teorie, které lze definitivně axiomatizovat, jsou považovány za metamathematicky elegantnější, i když jsou pro deduktivní práci méně praktické.

Příklady

Dvě známé instance schémat axiomu jsou:

• indukční schéma, které je součástí Peanoových axiomů pro aritmetiku přirozených čísel ;
• axiomové schéma náhrady, které je součástí standardní ZFC axiomatizace teorie množin .

Czesław Ryll-Nardzewski dokázal, že Peanoova aritmetika nemůže být definitivně axiomatizována, a Richard Montague dokázal, že ZFC nemůže být definitivně axiomatizována. Schémata axiomu tedy nelze z těchto teorií vyloučit. To je případ i několika dalších axiomatických teorií v matematice, filozofii, lingvistice atd.

Konečně axiomatizované teorie

Všechny věty o ZFC jsou rovněž teorémami teorie množin von Neumann – Bernays – Gödel , kterou však lze definitivně axiomatizovat. Teorii množin Nové základy lze definitivně axiomatizovat, ale pouze s určitou ztrátou elegance.

V logice vyššího řádu

Schematické proměnné v logice prvního řádu jsou obvykle triviálně odstranitelné v logice druhého řádu , protože schematická proměnná je často zástupným znakem jakékoli vlastnosti nebo vztahu nad jednotlivci teorie. To je případ výše uvedených schémat indukce a výměny . Logika vyššího řádu umožňuje kvantifikovaným proměnným dosahovat přes všechny možné vlastnosti nebo vztahy.

Viz také

• Axiomové schéma predikativní separace
• Axiomové schéma nahrazení
• Axiomové schéma specifikace

Poznámky

Reference

• Corcoran, John (2006), „Schémata: Koncept schématu v historii logiky“, Bulletin of Symbolic Logic , 12 : 219–240 .
• Corcoran, John (2016). „Schéma“ . V Zalta, Edward N. (ed.). Stanfordská encyklopedie filozofie .
• Mendelson, Elliott (1997), An Introduction to Mathematical Logic (4th ed.), Chapman & Hall, ISBN   0-412-80830-7 .
• Montague, Richard (1961), „Sémantická uzávěrka a neurčitá axiomatizovatelnost I“, Samuel R. Buss (ed.), Infinitistic Methods: Proceedings of the Symposium on Foundations of Mathematics , Pergamon Press, s. 45–69 .
• Potter, Michael (2004), Teorie množin a její filozofie , Oxford University Press, ISBN   9780199269730 .
• Ryll-Nardzewski, Czesław (1952), „Role axiomu indukce v elementární aritmetice“ (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 39 : 239–263 .