Věta o kategorii Baire - Baire category theorem

Teorém kategorie Baire (BCT) je důležitý výsledek v obecné topologii a funkční analýzy . Věta má dvě formy, z nichž každá dává dostatečné podmínky pro topologického prostoru , že je Baire prostor (topologický prostor takový, že průnik z countably mnoha hustých otevřených souborů je stále hustý).

Verze věty kategorie Baire byly poprvé nezávisle prokázány v letech 1897 a 1899 Osgoodem a Baireem . Tato věta říká, že každý kompletní metrický prostor je Baireův prostor .

Tvrzení

Baire prostor je topologický prostor s vlastností, že pro každou spočetně sběr otevřených hustých sady ( U n )∞
n = 1, jejich průsečík je hustý.

Ani jedno z těchto tvrzení přímo neznamená druhé, protože existují úplné metrické prostory, které nejsou lokálně kompaktní ( iracionální čísla s metrikou definovanou níže; také jakýkoli Banachův prostor nekonečné dimenze) a existují lokálně kompaktní Hausdorffovy prostory, které nejsou metrizovatelný (například jakýkoli nespočitatelný součin netriviálních kompaktních Hausdorffových prostorů je takový; také několik funkčních prostorů použitých ve funkční analýze; nepočitatelný Fortův prostor ). Viz Steen a Seebach v níže uvedených referencích.

  • ( BCT3 ) Neprázdný kompletní metrický prostor s neprázdným vnitřkem nebo jakákoli z jeho podmnožin s neprázdným vnitřkem není spočitatelné spojení nikterak hustých množin.

Tato formulace je ekvivalentní BCT1 a někdy je užitečnější v aplikacích. Také: je-li neprázdný úplný metrický prostor spočitatelným spojením uzavřených množin, pak jedna z těchto uzavřených množin má neprázdné vnitřek.

Vztah k axiomu volby

Důkaz BCT1 pro libovolné úplné metrické prostory vyžaduje určitou formu zvoleného axiomu ; a ve skutečnosti BCT1 odpovídá přes ZF k axiomu závislé volby , slabá forma axiomu výběru.

Omezená forma věty kategorie Baire, ve které se také předpokládá, že je oddělitelný celý metrický prostor , je v ZF prokazatelná bez dalších zásad volby. Tato omezená forma platí zejména pro skutečnou linii , Baireův prostor ω ω , Cantorův prostor 2 ω a oddělitelný Hilbertův prostor, jako je L 2 (ℝ n ) .

Využití

BCT1 se používá ve funkční analýze k prokázání otevřené věty o mapování, věty o uzavřeném grafu a principu jednotné ohraničenosti .

BCT1 také ukazuje, že každý úplný metrický prostor bez izolovaných bodů je nespočet . (Je -li X spočitatelný kompletní metrický prostor bez izolovaných bodů, pak každý singleton { x } v X není nikde hustý , a X je tedy samo o sobě první kategorie .) Zejména to dokazuje, že množina všech reálných čísel je nepočitatelné.

BCT1 ukazuje, že každý z následujících prostorů je Baire:

  • Prostor ℝ z reálných čísel
  • Tyto iracionální čísla , přičemž metrika definované d ( x , y ) = 1/n + 1, kde n je první index, pro který se pokračující zlomková expanze x a y liší (toto je úplný metrický prostor)
  • Sada Cantor

Podle BCT2 je každé konečné dimenzionální Hausdorffovo potrubí Baireovým prostorem, protože je lokálně kompaktní a Hausdorff. To platí i pro neparakompaktní (tedy neměřitelné) rozvody, jako je dlouhý řádek .

BCT se používá k prokázání Hartogsovy věty , což je zásadní výsledek v teorii několika komplexních proměnných.

BCT3 se používá k prokázání, že Banachův prostor nemůže mít spočitatelně nekonečný rozměr.

Důkaz

Následuje standardní důkaz, že úplný pseudometrický prostor je Baireův prostor.

Nechť U n je spočitatelná kolekce otevřených hustých podmnožin. Chceme ukázat, že křižovatka ∩ U n je hustá. Podmnožina je hustá právě tehdy, když ji protíná každá neprázdná otevřená podmnožina. Abychom tedy ukázali, že křižovatka je hustá, stačí ukázat, že jakákoli neprázdná otevřená množina W v X má společný bod x se všemi U n . Protože U 1 je hustá, W protíná U 1 ; tedy existuje bod x 1 a 0 < r 1 <1 takový, že:

B ( x 1 , r 1 ) ⊆ W  ∩ U 1 

kde B ( x , r ) a B ( x , r ) označují otevřenou a uzavřenou kouli se středem v x s poloměrem r . Protože každé U n je husté, můžeme rekurzivně pokračovat a najít pár sekvencí x n a 0 < r n <1/n tak, že:

B ( x n , r n ) ⊆ B ( x n −1 , r n −1 ) ∩ U n  .

(Tento krok se opírá o zvolený axiom a skutečnost, že konečný průnik otevřených množin je otevřený, a proto v něm lze nalézt otevřenou kouli se středem na x n .) Protože x n ∈ B ( x m , r m ) když n > m , máme, že x n je Cauchy , a proto x n konverguje k nějaké hranici x úplností. Pro libovolné n podle uzavřenosti x ∈ B ( x n , r n ) .

Proto x ∈ W a x ∈ U n pro všechna n .

Pro důkaz věty pomocí Choquetovy hry existuje alternativní důkaz M. Baker .

Viz také

Citace

Reference

  • Baire, R. (1899). „Sur les fonctions de variables réelles“ . Ann. Di Mat . 3 : 1–123.
  • Baker, Matt (7. července 2014). „Skutečná čísla a nekonečné hry, část II: Hra Choquet a věta o kategorii Baire“ . Matematický blog Matta Bakera .
  • Blair, Charles E. (1977). „Věta o kategorii Baire implikuje princip závislých voleb“. Býk. Akadem. Polon. Sci. Sér. Sci. Matematika. Astron. Fyz . 25 (10): 933–934.
  • Gamelin, Theodore W .; Greene, Robert Everist . Úvod do topologie (2. vyd.). Dover.
  • Levy, Azriel (2002) [První vydání 1979]. Teorie základní sady (dotisk ed.). Dover. ISBN 0-486-42079-5.
  • Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Topologické vektorové prostory . Čistá a aplikovaná matematika (druhé vydání.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-158488866-6. OCLC  144216834 .
  • Schechter, Eric (1997). Příručka analýzy a její základy . Akademický tisk. ISBN 0-12-622760-8.
  • Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1978). Protipříklady v topologii . New York: Springer-Verlag.Přetištěno Dover Publications, New York, 1995. ISBN  0-486-68735-X (Dover edition).
  • Tao, T. (1. února 2009). „245B, Poznámky 9: Věta kategorie Baire a její důsledky Banachova prostoru“ .
  • Haworth, RC; McCoy, RA (1977), Baire Spaces , Warszawa: Instytut Matematyczny Polskiej Akademi Nauk

externí odkazy