Baireův prostor (teorie množin) - Baire space (set theory)

V teorii množin je Baire prostor je množina všech nekonečných sekvencí z přirozených čísel s určitým topologie . Tento prostor se běžně používá v deskriptivní teorii množin do té míry, že se jeho prvkům často říká „skutečné“. Je označen N ^N , ^ω ω, symbolem nebo také ω ^ω , nesmí být zaměňován s počitatelným pořadovým číslem získaným pořadovým umocněním . ${\ displaystyle {\ mathcal {N}}}$

Baire prostor je definována jako kartézský součin z countably nekonečně mnoho kopií množiny přirozených čísel, a vzhledem k topologii produktu (kde každá kopie souboru přirozených čísel je dána jednotlivou topologii ). Baireův prostor je často reprezentován pomocí stromu konečných sekvencí přirozených čísel.

Prostor Baire lze kontrastovat s prostorem Cantor , množinou nekonečných sekvencí binárních číslic .

Topologie a stromy

Topologie Produkt slouží k definování Baire prostor může být popsán konkrétněji co se týče stromů. Mezi základní otevřené soubory topologie produktu jsou válec sady , zde charakterizovány jako:

Pokud je vybrána libovolná konečná sada souřadnic přirozeného čísla I = { i } a pro každé i je vybrána konkrétní hodnota přirozeného čísla v _i , pak množina všech nekonečných posloupností přirozených čísel, která mají hodnotu v _i v poloze i, je a základní otevřená sada. Každá otevřená sada je spočetným spojením jejich kolekce.

Pomocí formálnějšího zápisu lze definovat jednotlivé válce jako

{\ Displaystyle C_ {n} [v] = \ {(a_ {1}, a_ {2}, \ cdots) \ in \ omega ^{\ omega}: a_ {n} = v \}}

pro umístění s pevným celým číslem n a celočíselnou hodnotu v . Válce jsou potom generátory sad válců: sady válců se pak skládají ze všech průsečíků konečného počtu válců. To znamená, že vzhledem k jakékoli konečné sadě přirozených číselných souřadnic a odpovídajících hodnot přirozeného čísla pro každou z nich se uvažuje o průniku válců ${\ Displaystyle I \ subseteq \ omega}$ ${\ displaystyle v_ {i}}$ ${\ displaystyle i \ in I}$

{\ Displaystyle \ bigcap _ {i \ in I} C_ {i} [v_ {i}]}

Tato křižovatka se nazývá sada válců a sada všech těchto sad válců poskytuje základ pro topologii produktu . Každá otevřená sada je spočetným spojením takovýchto sad válců.

Přechodem na jiný základ pro stejnou topologii lze získat alternativní charakterizaci otevřených sad:

Pokud je vybrána posloupnost přirozených čísel { w _i : i < n }, pak množina všech nekonečných posloupností přirozených čísel, která mají hodnotu w _i v poloze i pro všechna i < n, je základní otevřená množina. Každá otevřená sada je spočetným spojením jejich kolekce.

Základní otevřená množina v prostoru Baire je tedy množina všech nekonečných posloupností přirozených čísel rozšiřujících společný konečný počáteční segment τ . To vede k reprezentaci Bairova prostoru jako množiny všech nekonečných cest procházejících celým stromem ω ^<ω konečných sekvencí přirozených čísel seřazených podle prodloužení. Každý konečný počáteční segment je uzlem stromu konečných sekvencí. Každá otevřená sada je určena (možná nekonečným) spojením uzlů daného stromu. Bod v prostoru Baire je v otevřené sadě právě tehdy, pokud jeho cesta prochází jedním z uzlů v jeho určujícím sjednocení.

Reprezentace prostoru Baire jako cest stromem také dává charakteristiku uzavřených množin. Každý bod v Baireově prostoru prochází posloupností uzlů ω ^<ω . Uzavřené sady jsou doplňky otevřených sad. Každá uzavřená sada se skládá ze všech sekvencí Baire, které neprocházejí žádným uzlem, který definuje její komplementární otevřenou sadu. Pro jakékoliv uzavřené podmnožina C z Baire prostoru je podstromu T z ω ^<ω tak, že každý bod x je v C tehdy, když x je cesta přes T : podstrom T se skládá ze všech počátečních segmentů prvků C . Naopak množina cest přes jakýkoli podstrom ω ^<ω je uzavřená množina.

Kartézské produkty mají také alternativní topologii, krabicovou topologii . Tato topologie je mnohem jemnější než topologie produktu, protože neomezuje indikátor nastavený jako konečný. Baireův prostor obvykle neodkazuje na tuto topologii; týká se pouze topologie produktu. ${\ displaystyle I = \ {i \ in \ omega \}}$

Vlastnosti

Prostor Baire má následující vlastnosti:

Je to perfektní polský prostor , což znamená, že je to zcela metrizovatelný druhý spočítatelný prostor bez izolovaných bodů . Jako takový má stejnou mohutnost jako skutečná linie a je to Baireův prostor v topologickém smyslu tohoto výrazu.
Je nulový a zcela odpojený .
Není lokálně kompaktní .
Je univerzální pro polské prostory v tom smyslu, že může být nepřetržitě mapován na jakýkoli prázdný polský prostor. Kromě toho, jakýkoliv polský prostor má hustotu tkaní G _δ podprostor homeomorphic na G _δ podprostor Baire prostoru.
Baireův prostor je homeomorfní jako součin jakéhokoli konečného nebo počitatelného počtu kopií sebe sama.
Je to automorfistická skupina spočítatelně nekonečného nasyceného modelu nějaké úplné teorie . ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle T}$

Vztah ke skutečné linii

Bairův prostor je homeomorfní k množině iracionálních čísel, když jim je dána topologie podprostoru zděděná ze skutečné linie. Homeomorfismus mezi Baireovým prostorem a iracionály lze sestrojit pomocí pokračujících zlomků . To znamená, že vzhledem k posloupnosti můžeme přiřadit odpovídající iracionální číslo větší než 1 ${\ Displaystyle (a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, \ cdots) \ in \ omega ^{\ omega}}$

{\ Displaystyle x = [a_ {0} +1; a_ {1}+1, a_ {2} +1, \ cdots] = (a_ {0} +1)+{\ frac {1} {(a_ { 1} +1)+{\ frac {1} {(a_ {2} +1)+\ cdots}}}}}

Pomocí získáme další homeomorfismus od k iracionálním v intervalu otevřených jednotek a můžeme udělat totéž pro negativní iracionální. Vidíme, že iracionály jsou topologickým součtem čtyř prostorů homeomorfních pro Baireův prostor, a tedy také homeomorfních pro Baireův prostor. ${\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {1} {x}}}$ ${\ displaystyle \ omega ^{\ omega}}$ ${\ Displaystyle (0,1)}$

Z hlediska deskriptivní teorie množin způsobuje technické potíže skutečnost, že je spojena skutečná linie . Z tohoto důvodu je běžnější studium prostoru Baire. Protože každý polský prostor je souvislým obrazem Bairova prostoru, je často možné prokázat výsledky o libovolných polských prostorech ukázkou, že tyto vlastnosti platí pro Baireův prostor a jsou zachovány spojitými funkcemi .

ω ^ω má také nezávislý, ale menší zájem o skutečnou analýzu , kde je považován za jednotný prostor . Jednotné struktury ω ^ω a Ir (iracionální) jsou různé, nicméně: ω ^ω je úplné ve své obvyklé metrice, zatímco Ir není (ačkoli tyto prostory jsou homeomorfní).

Operátor směny

Operátor posun na Baire prostoru, když mapovány na pauze jednotky z reálných čísel , se stává provozovatel Gauss-Kuzmin-Wirsing . To znamená, že vzhledem k posloupnosti se operátor posunu T vrátí . Stejně tak se vzhledem k pokračujícímu zlomku Gaussova mapa vrací . Odpovídajícím operátorem pro funkce z prostoru Baire do komplexní roviny je operátor Gauss – Kuzmin – Wirsing ; je to přenosový operátor Gaussovy mapy. To znamená, že člověk zvažuje mapy z prostoru Baire do složité roviny . Tento prostor map dědí topologii z produktové topologie v prostoru Baire; například lze uvažovat o funkcích s jednotnou konvergencí . Posunová mapa, působící na tento prostor funkcí, je pak operátor GKW. ${\ Displaystyle h (x) = 1/x- \ lfloor 1/x \ rfloor}$ ${\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, \ cdots)}$ ${\ Displaystyle T (a_ {1}, a_ {2}, \ cdots) = (a_ {2}, \ cdots)}$ ${\ Displaystyle x = [a_ {1}, a_ {2}, \ cdots]}$ ${\ Displaystyle h (x) = [a_ {2}, \ cdots]}$ ${\ displaystyle \ omega ^{\ omega} \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

Haar opatření provozovatele posunu, to znamená, je funkce, která je neměnná pod směn, je dán opatřením Minkowski . To znamená, že jeden má to , kde T je posun a E jakákoli měřitelná podmnožina ω ^ω . ${\ displaystyle (...)^{\ prime}}$ ${\ Displaystyle (TE)^{\ prime} = E^{\ prime}}$