Banachova – Alaogluova věta - Banach–Alaoglu theorem

Označme jako podkladové oblasti podle které je buď reálná čísla nebo komplexní čísla Tento důkaz budou používat některé ze základních vlastností, které jsou uvedeny v článcích: polární set , duální systém , a spojitý lineární operátor . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathbb {K},}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$

Chcete -li spustit důkaz, jsou vyvolány některé definice a snadno ověřené výsledky. Když je obdařen nejslabší * topologie pak Hausdorffův lokálně konvexní topological vektorový prostor je označován prostoru je vždy kompletní TVS ; Nicméně, může dojít k selhání být úplný prostor, což je důvod, proč tento důkaz spočívá v prostoru Konkrétně se tento důkaz bude používat skutečnost, že podmnožina kompletního Hausdorff prostoru je kompaktní, pokud (a pouze pokud) je uzavřen a totálně ohraničený . Důležité je, že podprostor topologie , která dědí z se rovná To lze snadno ověřit tím, že ukazuje, že vzhledem k jakékoli z síť v konverguje k v jednom z těchto topologií tehdy a jen tehdy, když to také konverguje k v druhém topologii (závěr následuje, protože dva topologie jsou stejné právě tehdy, pokud mají přesně stejné konvergentní sítě). ${\ displaystyle X^{\#}}$ ${\ Displaystyle \ sigma \ left (X^{\#}, X \ right),}$ ${\ Displaystyle \ left (X^{\#}, \ sigma \ left (X^{\#}, X \ right) \ right).}$${\ Displaystyle \ left (X^{\#}, \ sigma \ left (X^{\#}, X \ right) \ right)}$${\ Displaystyle \ left (X^{\ prime}, \ sigma \ left (X^{\ prime}, X \ right) \ right)}$${\ Displaystyle \ left (X^{\#}, \ sigma \ left (X^{\#}, X \ right) \ right).}$${\ displaystyle X^{\ prime}}$${\ Displaystyle \ left (X^{\#}, \ sigma \ left (X^{\#}, X \ right) \ right)}$${\ Displaystyle \ sigma \ left (X^{\ prime}, X \ right).}$${\ Displaystyle x^{\ prime} \ v X^{\ prime},}$${\ displaystyle X^{\ prime}}$${\ displaystyle x^{\ prime}}$${\ displaystyle x^{\ prime}}$

Trojnásobek je duální párování, i když na rozdíl od něj obecně není zaručeno, že bude duálním systémem. Pokud není uvedeno jinak, všechny polární sady budou brány v úvahu s ohledem na kanonické párování${\ Displaystyle \ left \ langle X, X^{\ prime} \ right \ rangle}$${\ Displaystyle \ left \ langle X, X^{\#} \ right \ rangle,}$ ${\ Displaystyle \ left \ langle X, X^{\ prime} \ right \ rangle.}$

Buďme sousedstvím původu a nechme: ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$

• ${\ Displaystyle U^{\ circ} = \ left \ {f \ in X^{\ prime} ~: ~ \ sup _ {u \ in U} | f (u) | \ leq 1 \ right \}}$být polární s ohledem na kanonické párování ;${\ displaystyle U}$${\ Displaystyle \ left \ langle X, X^{\ prime} \ right \ rangle}$
• ${\ Displaystyle U^{\ circ \ circ} = \ left \ {x \ in X ~: ~ \ sup _ {f \ in U^{\ circle}} | f (x) | \ leq 1 \ right \} }$být bipolární${\ displaystyle U}$ s ohledem na ;${\ Displaystyle \ left \ langle X, X^{\ prime} \ right \ rangle}$
• ${\ Displaystyle U^{\#} = \ left \ {f \ in X^{\#} ~: ~ \ sup _ {u \ in U} | f (u) | \ leq 1 \ right \}}$být polární s ohledem na kanonický duální systém${\ displaystyle U}$${\ Displaystyle \ left \ langle X, X^{\#} \ right \ rangle.}$

Dobře známým faktem o polarech množin je to ${\ Displaystyle U^{\ circle \ circ \ circ} \ subseteq U^{\ circle}.}$

1. Ukažte, že je to uzavřená podmnožina Let, a předpokládejme, že je to síť v, která konverguje k v. Chcete -li dojít k závěru, že je dostačující (a nezbytné) ukázat, že pro každý Protože ve skalárním poli a každá hodnota patří k uzavřenému (in ) podmnožina, takže i limit této sítě musí patřit této sadě. Tím pádem${\ displaystyle U^{\#}}$${\ Displaystyle \ sigma \ left (X^{\#}, X \ right)}$${\ displaystyle X^{\#}:}$${\ displaystyle f \ v X^{\#}}$${\ displaystyle f _ {\ bullet} = \ left (f_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$${\ displaystyle U^{\#}}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle \ left (X^{\#}, \ sigma \ left (X^{\#}, X \ right) \ right).}$${\ displaystyle f \ v U^{\#},}$${\ Displaystyle | f (u) | \ leq 1}$${\ displaystyle u \ v U.}$${\ Displaystyle f_ {i} (u) \ to f (u)}$${\ displaystyle \ mathbb {K}}$${\ displaystyle f_ {i} (u)}$${\ displaystyle \ mathbb {K}}$${\ Displaystyle \ left \ {s \ in \ mathbb {K}: | s | \ leq 1 \ right \},}$${\ displaystyle f (u)}$${\ Displaystyle | f (u) | \ leq 1.}$
2. Ukažte to a pak dojděte k závěru, že jde o uzavřenou podmnožinu obou a Inkluze platí, protože každá spojitá lineární funkce je (zejména) lineární funkcí. Pro reverzní zahrnutí nechť to, které přesně uvádí, že lineární funkční je ohraničeno sousedstvím ; tedy je spojitá lineární funkční (to znamená ) a tak podle potřeby. Následuje použití (1) a fakt, že křižovatka je v topologii podprostoru uzavřena na tvrzení o uzavření.${\ Displaystyle U^{\#} = U^{\ circ}}$${\ displaystyle U^{\ circ}}$${\ Displaystyle \ left (X^{\#}, \ sigma \ left (X^{\#}, X \ right) \ right)}$${\ Displaystyle \ left (X^{\ prime}, \ sigma \ left (X^{\ prime}, X \ right) \ right):}$${\ Displaystyle U^{\ circ} \ subseteq U^{\#}}$${\ Displaystyle \, U^{\#} \ subseteq U^{\ circ}, \,}$${\ displaystyle f \ v U^{\#}}$${\ Displaystyle \; \ sup _ {u \ in U} | f (u) | \ leq 1, \,}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f \ v X^{\ prime}}$${\ displaystyle f \ v U^{\ circ},}$${\ Displaystyle U^{\#} \ cap X^{\ prime} = U^{\ circle} \ cap X^{\ prime} = U^{\ circle}}$${\ displaystyle X^{\ prime},}$${\ displaystyle U^{\ circ}}$
3. Dokažte, že je - zcela omezená podmnožina U bipolárního věty , kde protože sousedství jedná o absorpční podmnožina of totéž musí platit sady ; je možné dokázat, že to znamená, že je - ohraničená podmnožina z důvodu rozlišuje body z podmnožiny je -bounded tehdy a jen tehdy, je-li - totálně omezený . Zejména je tedy také -celkově ohraničený.${\ displaystyle U^{\ circ}}$${\ Displaystyle \ sigma \ left (X^{\ prime}, X \ right)}$${\ displaystyle X^{\ prime}:}$${\ Displaystyle U \ subseteq U^{\ circle \ circ}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X,}$${\ Displaystyle U^{\ circ \ circ}}$${\ displaystyle U^{\ circ}}$${\ Displaystyle \ sigma \ left (X^{\ prime}, X \ right)}$${\ Displaystyle X^{\ prime}.}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X^{\ prime},}$${\ displaystyle X^{\ prime}}$${\ Displaystyle \ sigma \ left (X^{\ prime}, X \ right)}$${\ Displaystyle \ sigma \ left (X^{\ prime}, X \ right)}$${\ displaystyle U^{\ circ}}$${\ Displaystyle \ sigma \ left (X^{\ prime}, X \ right)}$
4. Závěr, který je také -celkově ohraničenou podmnožinou Připomeňme si, že topologie je shodná s podprostorovou topologií, která je dědičná z této skutečnosti, spolu s (3) a definicí "zcela ohraničeného" znamená, že je -celkově ohraničená podmnožina${\ displaystyle U^{\ circ}}$${\ Displaystyle \ sigma \ left (X^{\#}, X \ right)}$${\ displaystyle X^{\#}:}$${\ Displaystyle \ sigma \ left (X^{\ prime}, X \ right)}$${\ displaystyle X^{\ prime}}$${\ displaystyle X^{\ prime}}$${\ Displaystyle \ left (X^{\#}, \ sigma \ left (X^{\#}, X \ right) \ right).}$${\ displaystyle U^{\ circ}}$${\ Displaystyle \ sigma \ left (X^{\#}, X \ right)}$${\ displaystyle X^{\#}.}$
5. Nakonec odvodit, že to je -kompaktní podmnožina Protože je kompletní TVS a je její uzavřenou (o (2)) a zcela ohraničenou ((4)) podmnožinou , která je kompaktní. QED${\ displaystyle U^{\ circ}}$${\ Displaystyle \ sigma \ left (X^{\ prime}, X \ right)}$${\ displaystyle X^{\ prime}:}$${\ Displaystyle \ left (X^{\#}, \ sigma \ left (X^{\#}, X \ right) \ right)}$${\ displaystyle U^{\ circ}}$${\ Displaystyle \ left (X^{\#}, \ sigma \ left (X^{\#}, X \ right) \ right),}$${\ displaystyle U^{\ circ}}$

Označme jako podkladové oblasti podle které je buď reálná čísla nebo komplexní čísla pro skutečný pronájmu ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathbb {K},}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$${\ displaystyle r,}$

$${\ Displaystyle B_ {r}: = \ {s \ in \ mathbb {K}: | s | \ leq r \}}$$

podmnožina${\ displaystyle r}$${\ displaystyle \ mathbb {K},}$${\ displaystyle \ mathbb {K}.}$

Vzhledem k tomu, je sousedství původu v něm je také

of takže pro každý existuje reálné číslo taková, že Dovolit ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle x \ v X,}$${\ displaystyle r_ {x}> 0}$${\ Displaystyle x \ in r_ {x} U: = \ left \ {r_ {x} u: u \ in U \ right \}.}$

$${\ Displaystyle U^{\#}: = \ left \ {f \ in X^{\#} ~: ~ \ sup _ {u \ in U} | f (u) | \ leq 1 \ right \} ~ = ~ \ left \ {f \ in X^{\#} ~: ~ f (U) \ subseteq B_ {1} \ right \}}$$

označují polární z s ohledem na kanonický duálního systému Jak je nyní znázorněno, tato polární sada je stejná jako polární z s ohledem na${\ displaystyle U}$${\ Displaystyle \ left \ langle X, X^{\#} \ right \ rangle.}$${\ displaystyle U^{\#}}$${\ displaystyle U^{\ circ}}$${\ displaystyle U}$${\ Displaystyle \ left \ langle X, X^{\ prime} \ right \ rangle.}$

Důkaz, že${\ Displaystyle U^{\ circ} = U^{\#}:}$ zahrnutí platí, protože každá spojitá lineární funkce je (zejména) lineární funkcí. Pro reverzní zahrnutí nechť to, které přesně uvádí, že lineární funkční je ohraničeno sousedstvím ; tedy je

(to znamená ) a tak podle potřeby. QED ${\ Displaystyle U^{\ circ} \ subseteq U^{\#}}$${\ Displaystyle \, U^{\#} \ subseteq U^{\ circ}, \,}$${\ displaystyle f \ v U^{\#}}$${\ Displaystyle \; \ sup _ {u \ in U} | f (u) | \ leq 1, \,}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f \ v X^{\ prime}}$${\ displaystyle f \ v U^{\ circ},}$

Zbytek tohoto důkazu vyžaduje řádné pochopení toho, jak je karteziánský produkt identifikován jako prostor všech funkcí formuláře Nyní je čtenářům, kteří mají zájem, vysvětleno. ${\ textstyle \ prod _ {x \ in X} \ mathbb {K}}$${\ displaystyle \ mathbb {K} ^{X}}$${\ Displaystyle X \ to \ mathbb {K}.}$

Premiéra identifikace funkcí pomocí n -tic

Kartézský produkt je obvykle chápán jako soubor všech indexovaných n -tic, ale jak je nyní popsáno, lze jej také identifikovat s prostorem všech funkcí, které mají prototyp${\ textstyle \ prod _ {x \ in X} \ mathbb {K}}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle s _ {\ bullet} = \ left (s_ {x} \ right) _ {x \ in X}}$${\ displaystyle \ mathbb {K} ^{X}}$${\ Displaystyle X \ to \ mathbb {K}.}$ Funkce Tuple${\ displaystyle \ to}$ : Funkce patřící k je identifikována svou ( -indexovanou) " n -ticí hodnot "${\ Displaystyle s: X \ to \ mathbb {K}}$${\ displaystyle \ mathbb {K} ^{X}}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle s _ {\ bullet}: = (s (x)) _ {x \ v X}.}$ Funkce řazené${\ displaystyle \ to}$ kolekce členů: Tuple in is identified with the function defined by ; „n -tice hodnot“ této funkce je původní řazená kolekce členů${\ displaystyle s _ {\ bullet} = \ left (s_ {x} \ right) _ {x \ in X}}$${\ textstyle \ prod _ {x \ in X} \ mathbb {K}}$${\ Displaystyle s: X \ to \ mathbb {K}}$${\ Displaystyle s (x): = s_ {x}}$${\ Displaystyle \ left (s_ {x} \ right) _ {x \ in X}.}$ To je důvod, proč mnoho autorů píše, často bez komentáře, rovnost $${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^{X} = \ prod _ {x \ in X} \ mathbb {K}}$$ a proč je kartézský součin je někdy vzat jako definice souboru map Avšak kartézského součinu, bytím (kategorické) produkt v kategorii ze sad (což je druh inverzní limitu ), je také vybaven spojených map, jsou známé jako jeho (souřadnicové) projekce . ${\ textstyle \ prod _ {x \ in X} \ mathbb {K}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^{X}.}$ Funkcí je kanonická projekce karteziánského produktu v daném okamžiku ${\ Displaystyle z \ v X}$ $${\ Displaystyle \ Pr {} _ {z}: \ prod _ {x \ in X} \ mathbb {K} \ to \ mathbb {K} \ quad {\ text {definováno}}} \ quad s _ {\ bullet} = \ left (s_ {x} \ right) _ {x \ in X} \ mapsto s_ {z}}$$ kde v rámci výše uvedené identifikace, pošle funkce na ${\ displaystyle \ Pr {} _ {z}}$${\ Displaystyle s: X \ to \ mathbb {K}}$ $${\ Displaystyle \ Pr {} _ {z} (s): = s (z).}$$ Jinými slovy, pro bod a funkci je „připojení k “ stejné jako „připojení k “. ${\ Displaystyle z}$${\ displaystyle s,}$${\ Displaystyle z}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle \ Pr {} _ {z}}$ Topologie Předpokládá se, že sada je vybavena topologií produktu . Je dobře známo, že topologie produktu je identická s topologií bodové konvergence . Je to dáno tím, že síť a kde a kde je každý prvek, pak síť konverguje v topologii produktu právě tehdy, když ${\ textstyle \ mathbb {K} ^{X} = \ prod _ {x \ in X} \ mathbb {K}}$${\ displaystyle f}$ ${\ Displaystyle \ left (f_ {i} \ right) _ {i \ in I},}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f_ {i}}$${\ textstyle \ mathbb {K} ^{X} = \ prod _ {x \ in X} \ mathbb {K},}$${\ Displaystyle \ left (f_ {i} \ right) _ {i \ in I} \ to f}$ pro každou síť konverguje${\ displaystyle z \ v X,}$${\ Displaystyle \ Pr {} _ {z} \ left (\ left (f_ {i} \ right) _ {i \ in I} \ right) \ to \ Pr {} _ {z} (f)}$${\ displaystyle \ mathbb {K},}$ kde a ${\ Displaystyle \; \ Pr {} _ {z} (f) = f (z) \;}$ $${\ Displaystyle \ Pr {} _ {z} \ left (\ left (f_ {i} \ right) _ {i \ in I} \ right): = \ left (\ Pr {} _ {z} \ left ( f_ {i} \ right) \ right) _ {i \ in I} = \ left (f_ {i} (z) \ right) _ {i \ in I}.}$$ V topologii produktu tedy konverguje právě tehdy, pokud konverguje k bodově dál${\ Displaystyle \ left (f_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle X.}$ V tomto důkazu bude také použita skutečnost, že topologie bodové konvergence je zachována při přechodu do topologických podprostorů . To znamená, například, že pokud pro každý je nějaký (topologická) podprostor z pak topologii bodové konvergence (nebo ekvivalentně, topologie produktu) na rovná se topologie podprostoru , že sada dědí z${\ displaystyle x \ v X,}$ ${\ displaystyle S_ {x} \ subseteq \ mathbb {K}}$${\ displaystyle \ mathbb {K}}$${\ textstyle \ prod _ {x \ in X} S_ {x}}$${\ textstyle \ prod _ {x \ in X} S_ {x}}$${\ textstyle \ prod _ {x \ in X} \ mathbb {K}.}$

Poté, co jsme to stanovili, abychom omezili nepořádek symbolů, bude tato olarová sada označena ${\ Displaystyle U^{\ circ} = U^{\#},}$${\ displaystyle P}$

$${\ Displaystyle P: = U^{\ circ}}$$

pokud není učiněn pokus upozornit na definici nebo${\ displaystyle U^{\ circ}}$${\ displaystyle U^{\#}.}$

Důkaz věty bude úplný, jakmile budou ověřena následující tvrzení:

1. ${\ displaystyle P}$ je uzavřená podmnožina ${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^{X}.}$
   • Zde je vybaven topologií bodové konvergence, která je identická s

.${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^{X} = \ prod _ {x \ in X} \ mathbb {K}}$

${\ Displaystyle P \ subseteq \ prod _ {x \ in X} B_ {r_ {x}}.}$

• ${\ displaystyle B_ {r_ {x}} \ subseteq \ mathbb {K}}$označuje uzavřenou kouli o poloměru se středem na Pro každý byl definován na začátku tohoto důkazu jako

skutečný, který splňuje (tedy zejména je platnou volbou pro každého ).${\ displaystyle r_ {x}}$${\ displaystyle 0.}$${\ displaystyle x \ v X,}$ ${\ displaystyle r_ {x}}$${\ displaystyle r_ {x}> 0}$${\ displaystyle x \ in r_ {x} U}$${\ displaystyle r_ {u}: = 1}$${\ displaystyle u \ v U}$

Tato prohlášení naznačují, že je to uzavřená podmnožina toho, kde je tento

(protože každý uzavřený míč je kompaktní prostor). Protože uzavřená podmnožina kompaktního prostoru je kompaktní, vyplývá z toho, že je kompaktní, což je hlavní závěr Banachovy – Alaogluovy věty. ${\ displaystyle P}$${\ textstyle \ prod _ {x \ in X} B_ {r_ {x}},}$${\ displaystyle B_ {r_ {x}}}$${\ Displaystyle U^{\ circ} = P}$

Důkaz (1) :

Algebraický duální prostor je vždy uzavřenou podmnožinou (to je dokázáno v níže uvedeném lemmatu pro čtenáře, kteří nejsou obeznámeni s tímto výsledkem). K prokázání, že je v něm uzavřeno , stačí ukázat, že množina definovaná ${\ displaystyle X^{\#}}$${\ textstyle \ mathbb {K} ^{X} = \ prod _ {x \ in X} \ mathbb {K}}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ mathbb {K} ^{X},}$${\ displaystyle P_ {U}}$

$${\ Displaystyle P_ {U} ~: = ~ \ \ left \ {f \ in \ mathbb {K} ^{X} ~: ~ \ sup _ {u \ in U} | f (u) | \ leq 1 \ right \}}$$

je uzavřená podmnožina, protože pak je průsečík dvou uzavřených podmnožin Let a předpokládejme, že je to síť v, která konverguje k v. K závěru, že stačí (a je nutné) ukázat, že pro každé (nebo ekvivalentně, to ). Protože ve skalárním poli a každá hodnota patří do uzavřené (ne ) podmnožiny , musí také limit této sítě patřit této uzavřené sadě. Tím je důkaz (1) dokončen. QED ${\ displaystyle \ mathbb {K} ^{X}}$${\ Displaystyle P_ {U} \ cap X^{\#} = U^{\#} = P}$${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^{X}.}$${\ Displaystyle f \ in \ mathbb {K} ^{X}}$${\ displaystyle f _ {\ bullet} = \ left (f_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$${\ displaystyle P_ {U}}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^{X}.}$${\ displaystyle f \ v P_ {U},}$${\ displaystyle u \ v U,}$ ${\ Displaystyle | f (u) | \ leq 1}$${\ displaystyle f (u) \ v B_ {1}}$${\ Displaystyle \ left (f_ {i} (u) \ right) _ {i \ in I} \ to f (u)}$${\ displaystyle \ mathbb {K}}$${\ displaystyle f_ {i} (u)}$${\ displaystyle \ mathbb {K}}$${\ Displaystyle B_ {1} = \ left \ {s \ in \ mathbb {K}: | s | \ leq 1 \ right \},}$${\ displaystyle f (u)}$${\ displaystyle f (u) \ v B_ {1},}$

Jako vedlejší poznámku lze tento důkaz zobecnit, aby prokázal následující obecnější výsledek, ze kterého výše uvedený závěr vyplývá jako zvláštní případ a${\ displaystyle Y: = \ mathbb {K}}$${\ displaystyle B: = B_ {1}.}$

Proposition : If is any set and if is a

subset of topological space then is a closed subset of with ohledem na topology of pointwise convergence.${\ Displaystyle U \ subseteq X}$${\ Displaystyle B \ subseteq Y}$${\ displaystyle Y,}$${\ Displaystyle P_ {U}: = \ left \ {f \ in Y^{X} ~: ~ f (U) \ subseteq B \ right \}}$${\ displaystyle Y^{X}}$

Důkaz (2) :

Pro jakýkoliv pustíte označují výstupek na

souřadnic (jak je definováno výše). Prokázat, že je dostačující (a nezbytné) ukázat, že pro každé So fix and let ; zbývá ukázat, že definující podmínkou pro bylo to, co znamená, že Protože lineární funkce splňuje a tak implikuje ${\ displaystyle z \ v X,}$${\ textstyle \ Pr {} _ {z}: \ prod _ {x \ in X} \ mathbb {K} \ to \ mathbb {K}}$${\ Displaystyle z}$${\ textstyle P \ subseteq \ prod _ {x \ in X} B_ {r_ {x}},}$${\ displaystyle \ Pr {} _ {x} (P) \ subseteq B_ {r_ {x}}}$${\ displaystyle x \ v X.}$${\ displaystyle x \ v X}$${\ displaystyle f \ v P}$${\ Displaystyle \ Pr {} _ {x} (f): = f (x) \ in B_ {r_ {x}}.}$${\ displaystyle r_ {x}> 0}$${\ Displaystyle x \ in r_ {x} U, \,}$${\ textstyle \, u_ {x}: = \ left ({\ frac {1} {r_ {x}}} \ right) x \ in U. \,}$${\ Displaystyle f \ in P = U^{\#},}$${\ displaystyle f}$${\ textstyle \; \ sup _ {u \ in U} | f (u) | \ leq 1 \;}$${\ displaystyle u_ {x} \ v U}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {r_ {x}}} | f (x) | = \ left | {\ frac {1} {r_ {x}}} f (x) \ right | = \ left | f \ left ({\ frac {1} {r_ {x}}} x \ right) \ right | = \ left | f \ left (u_ {x} \ right) \ right | \ leq \ sup _ {u \ v U} | f (u) | \ leq 1.}$

To tedy ukazuje, že podle přání. QED ${\ Displaystyle | f (x) | \ leq r_ {x},}$${\ Displaystyle f (x) \ v B_ {r_ {x}},}$