Batchelor vír - Batchelor vortex

V dynamice tekutin byly víry Batchelor , poprvé popsané Georgem Batchelorem v článku z roku 1964, shledány užitečnými při analýze problémů s probouzením vírů v letadle.

Model

Batchelorův vír je přibližné řešení Navier-Stokesových rovnic získaných pomocí aproximace mezní vrstvy . Fyzickým zdůvodněním této aproximace je předpoklad, že axiální gradient sledovaného pole proudění má mnohem menší velikost než radiální gradient.
Axiální, radiální a azimutální složky rychlosti víru jsou označeny , a v tomto pořadí, a mohou být reprezentovány ve válcových souřadnicích následujícím způsobem:${\ displaystyle U}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle (x, r, \ theta)}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {cl} U (r) & = U _ {\ infty} + {\ frac {W_ {0}} {(R / R_ {0}) ^ {2}}} e ^ {- (r / R) ^ {2}}, \\ V (r) & = 0, \\ W (r) & = qW_ {0} {\ frac {1-e ^ {- (r / R) ^ {2}}} {(r / R_ {0})}}. \ End {pole}}}$

Parametry ve výše uvedených rovnicích jsou

• ${\ displaystyle U _ {\ infty}}$, axiální rychlost volného toku,
• ${\ displaystyle W_ {0}}$, stupnice rychlosti (používá se pro nedimenzionalizaci),
• ${\ displaystyle R_ {0}}$, stupnice délky (používá se pro nedimenzionalizaci),
• ${\ displaystyle R = R (t) = {\ sqrt {R_ {0} ^ {2} +4 \ nu t}}}$, míra velikosti jádra, s počáteční velikostí jádra a představující viskozitu,${\ displaystyle R_ {0}}$${\ displaystyle \ nu}$
• ${\ displaystyle q}$, síla víření, daná jako poměr mezi maximální tangenciální rychlostí a rychlostí jádra.

Všimněte si, že radiální složka rychlosti je nula a že axiální a azimutální složky závisí pouze na . Nyní zapíšeme výše uvedený systém v bezrozměrné formě změnou času faktorem . Použitím stejných symbolů pro bezrozměrné proměnné lze vír Batchelor vyjádřit pomocí bezrozměrných proměnných jako ${\ displaystyle r}$
${\ displaystyle R_ {0} / W_ {0}}$

${\ displaystyle \ left \ lbrace {\ begin {array} {cl} U (r) & = a + \ displaystyle {{\ frac {1} {1 + 4t / Re}} e ^ {- r ^ {2} / (1 + 4t / Re)}}, \\ V (r) & = 0, \\ W (r) & = q \ displaystyle {\ frac {1-e ^ {- r ^ {2} / (1+ 4t / Re)}} {r}}, \ end {array}} \ vpravo.}$

kde označuje axiální rychlost volného proudu a je Reynoldsovo číslo . ${\ displaystyle a = U _ {\ infty} / W_ {0}}$${\ displaystyle Re}$

Pokud člověk nechá a uvažuje nekonečně velké vířící číslo, pak se Batchelorův vír zjednoduší na Lamb – Oseenův vír pro azimutální rychlost: ${\ displaystyle a = 0}$

${\ displaystyle W _ {\ Theta} (r) = {\ frac {\ Gamma} {2 \ pi r}} \ vlevo (1-e ^ {- r ^ {2} / R_ {c} ^ {2}} \že jo)}$

kde je oběh. ${\ displaystyle \ Gamma}$

Reference

externí odkazy

• Kontinuální spektra víru Batchelor (autor Xueri Mao a Spencer Sherwin a publikováno Imperial College London )

Tento článek související s dynamikou tekutin je útržek . Wikipedii můžete pomoci rozšířením . proti t E