Benoit Mandelbrot - Benoit Mandelbrot

Benoit Mandelbrot
Mandelbrot na konferenci TED v roce 2010 krátce před svou smrtí.
narozený	( 1924-11-20 )20. listopadu 1924 Varšava , Polsko
Zemřel	14. října 2010 (2010-10-14)(ve věku 85) Cambridge, Massachusetts , Spojené státy americké
Národnost	francouzština USA polština
Alma mater	École Polytechnique California Institute of Technology University of Paris
Známý jako	Sada Mandelbrot Teorie chaosu Fraktály Zipf – Mandelbrotův zákon
Manžel / manželka	Aliette Kagan (m. 1955–2010; jeho smrt)
Ocenění	Légion d'honneur ( Chevalier 1990  · Officier 2006) 2003   Japonská cena 1993   Vlčí cena 1989   Harveyova cena 1986   Franklinova medaile 1985   Barnardova medaile
Vědecká kariéra
Pole	Matematika Aerodynamika
Instituce	univerzita Yale IBM Pacific Northwest National Laboratory
Doktorský poradce	Paul Lévy
Doktorandi	LE. Calvet Eugene Fama Ken Musgrave Murad Taqqu
Vlivy	Johannes Kepler , Paul Lévy , Szolem Mandelbrojt
Ovlivněn	Nassim Nicholas Taleb

Benoit B. Mandelbrot (20. listopadu 1924-14. října 2010) byl polsko-francouzský francouzský americký matematik a polymat s širokými zájmy v praktických vědách, zejména pokud jde o to, co označil za „umění drsnosti “ fyzikálních jevů a „ nekontrolovaný prvek v životě “. Říkal o sobě jako o „fraktalistovi“ a je uznáván za jeho přínos v oblasti fraktální geometrie , která zahrnovala razení slova „fraktál“, jakož i rozvíjení teorie „drsnosti a podobnosti “ v přírodě.

V roce 1936, když byl ještě dítě, Mandelbrotova rodina emigrovala z polské Varšavy do Francie . Poté, co skončila druhá světová válka , Mandelbrot studoval matematiku, absolvoval univerzity v Paříži a ve Spojených státech a získal magisterský titul z letectví na California Institute of Technology . Strávil většinu své kariéry ve Spojených státech i ve Francii a měl dvojí francouzské a americké občanství. V roce 1958 zahájil 35letou kariéru ve společnosti IBM , kde se stal členem IBM , a pravidelně odešel z absence na výuku na Harvardově univerzitě . Na Harvardu, po zveřejnění své studie amerických komoditních trhů ve vztahu k futures na bavlnu, učil ekonomii a aplikované vědy.

Díky svému přístupu k počítačům IBM byl Mandelbrot jedním z prvních, kdo používal počítačovou grafiku k vytváření a zobrazování fraktálních geometrických obrazů, což vedlo k jeho objevu sady Mandelbrot v roce 1980. Ukázal, jak lze z jednoduchých pravidel vytvořit vizuální složitost. Řekl, že věci obvykle považované za „drsné“, „nepořádné“ nebo „chaotické“, jako jsou mraky nebo pobřežní čáry, mají ve skutečnosti „stupeň pořádku“. Jeho výzkumná kariéra zaměřená na matematiku a geometrii zahrnovala příspěvky do takových oblastí, jako je statistická fyzika , meteorologie , hydrologie , geomorfologie , anatomie , taxonomie , neurologie , lingvistika , informační technologie , počítačová grafika , ekonomie , geologie , medicína , fyzikální kosmologie , strojírenství , teorie chaosu , ekonofyzika , metalurgie a sociální vědy .

Ke konci své kariéry byl Sterling profesorem matematických věd na Yale University , kde byl nejstarším profesorem v Yaleově historii, který získal funkční období. Mandelbrot také zastával pozice v Pacific Northwest National Laboratory , Université Lille Nord de France , Institute for Advanced Study a Center National de la Recherche Scientifique . Během své kariéry získal více než 15 čestných doktorátů a sloužil v mnoha vědeckých časopisech a získal řadu ocenění. Jeho autobiografie The Fractalist: Memoir of a Scientific Maverick byla vydána posmrtně v roce 2012.

Raná léta

Externí video
Rodinné zázemí a rané vzdělávání , (4:11) Rozhovor s Benoitem Mandelbrotem, 1. část ze 144, Web of Stories

Mandelbrot se narodil v litevské židovské rodině ve Varšavě během druhé polské republiky . Jeho otec se živil obchodním oblečením; jeho matka byla zubní lékařka. Během prvních dvou školních let byl soukromě veden strýcem, který opovrhoval učením na dálku : „Většinu času jsem trávil hraním šachů, čtením map a učením, jak otevřít oči všemu kolem sebe.“ V roce 1936, když mu bylo 11, rodina emigrovala z Polska do Francie. Tento krok, válka a jeho seznámení s otcovým bratrem, matematikem Szolem Mandelbrojtem (který se kolem roku 1920 přestěhoval do Paříže), dále bránily standardnímu vzdělání. „Skutečnost, že se moji rodiče jako ekonomičtí a političtí uprchlíci připojili k Szolemu ve Francii, nám zachránila život,“ píše.

Mandelbrot navštěvoval Lycée Rollin (nyní Collège-lycée Jacques-Decour ) v Paříži až do začátku druhé světové války , kdy se jeho rodina přestěhovala do francouzského Tulle . Pomohl mu rabín David Feuerwerker , rabín z Brive-la-Gaillarde , aby pokračoval ve studiu. Velkou část Francie tehdy okupovali nacisté a Mandelbrot na toto období vzpomíná:

Neustále jsme se obávali, že by nás dostatečně odhodlaný nepřítel mohl nahlásit orgánu a byli bychom posláni na smrt. To se stalo blízké přítelkyni z Paříže Zině Morhangeové , lékařce z nedalekého krajského města. Jednoduše, aby se vyloučila konkurence, jiný lékař ji odsoudil ... Utekli jsme tomuto osudu. Kdo ví proč?

V roce 1944 se Mandelbrot vrátil do Paříže, studoval na Lycée du Parc v Lyonu a v letech 1945 až 1947 navštěvoval École Polytechnique , kde studoval u Gastona Julie a Paula Lévyho . V letech 1947 až 1949 studoval na California Institute of Technology, kde získal magisterský titul z letectví. Po návratu do Francie získal v roce 1952 doktorát z matematických věd na pařížské univerzitě .

Výzkumná kariéra

V letech 1949 až 1958 byl Mandelbrot zaměstnancem Centre National de la Recherche Scientifique . Během této doby strávil rok v Institutu pro pokročilé studium v Princetonu v New Jersey , kde jej sponzoroval John von Neumann . V roce 1955 se oženil s Aliette Kagan a přestěhoval se do Ženevy ve Švýcarsku (spolupracovat s Jean Piaget v Mezinárodním centru pro genetickou epistemologii) a později na Université Lille Nord de France . V roce 1958 se pár přestěhoval do Spojených států, kde se Mandelbrot připojil k výzkumným pracovníkům ve výzkumném centru IBM Thomas J. Watson v Yorktown Heights v New Yorku . Zůstal v IBM 35 let, stal se členem IBM a později emeritním kolegou .

Od roku 1951 Mandelbrot pracoval na problémech a publikoval články nejen v matematice, ale v aplikovaných oborech, jako je teorie informací , ekonomie a dynamika tekutin .

Náhodnost a fraktály na finančních trzích

Mandelbrot viděl finanční trhy jako příklad „divoké náhodnosti“, charakterizované koncentrací a závislostí na dlouhém dosahu. Vyvinul několik originálních přístupů k modelování finančních fluktuací. Ve své rané práci zjistil, že změny cen na finančních trzích nenásledovaly podle gaussovské distribuce , ale spíše podle Lévyho stabilních distribucí s nekonečným rozptylem . Zjistil například, že ceny bavlny sledovaly stabilní distribuci Lévyho s parametrem α rovným 1,7 spíše než 2 jako v Gaussově distribuci. Distribuce „stabilní“ mají tu vlastnost, že součet mnoha instancí náhodné proměnné sleduje stejné rozdělení, ale s větším parametrem měřítka . Poslední práce z počátku 60. let byla prováděna s denními údaji o cenách bavlny z roku 1900, dlouho předtím, než zavedl slovo „fraktál“. V pozdějších letech, poté, co koncept fraktálů dospěl, bylo studium finančních trhů v kontextu fraktálů možné až po dostupnosti vysokofrekvenčních dat ve financích. Na konci 80. let použil Mandelbrot intraindikální data klíšťat dodaná společností Olsen & Associates v Curychu k aplikaci fraktální teorie na tržní mikrostrukturu. Tato spolupráce vedla k vydání prvních komplexních článků o škálovacím právu ve financích, které demonstrují podobné vlastnosti v různých časových měřítcích, což potvrzuje Mandelbrotův pohled na fraktální povahu tržní mikrostruktury. Mandelbrotův vlastní výzkum v této oblasti je uveden v jeho knihách „Fraktály a škálování ve financích“ a „(Ne) chování trhů“.

Rozvoj „fraktální geometrie“ a Mandelbrotovy sady

Jako hostující profesor na Harvardské univerzitě začal Mandelbrot studovat fraktály zvané Julia sady, které byly při určitých transformacích složité roviny neměnné . V návaznosti na předchozí práci Gastona Julia a Pierra Fatoua použil Mandelbrot počítač k vykreslení obrazů sad Julia. Při zkoumání topologie těchto Juliových sad studoval Mandelbrotovu sadu, kterou představil v roce 1979. V roce 1982 Mandelbrot rozšířil a aktualizoval své myšlenky ve fraktální geometrii přírody . Tato vlivná práce přinesla fraktály do hlavního proudu profesionální a populární matematiky a také umlčování kritiků, kteří fraktály odmítli jako „ programové artefakty “.

V roce 1975 vytvořil Mandelbrot termín fraktál k popisu těchto struktur a nejprve publikoval své myšlenky a později přeložil Fraktály: forma, šance a dimenze . Podle počítačového vědce a fyzika Stephena Wolframa byla kniha „průlomem“ pro Mandelbrota, který do té doby obvykle „aplikoval poměrně přímočarou matematiku ... na oblasti, které dříve sotva spatřily světlo vážné matematiky“. Wolfram dodává, že v důsledku tohoto nového výzkumu již nebyl „potulným vědcem“ a později jej nazval „otcem fraktálů“:

Mandelbrot nakonec udělal velký kus vědy a identifikoval mnohem silnější a zásadnější myšlenku - zjednodušeně řečeno, že existují geometrické tvary, které nazýval „fraktály“, které jsou ve všech měřítcích stejně „drsné“. Bez ohledu na to, jak blízko vypadáte, nikdy to nebude jednodušší, stejně jako část skalnatého pobřeží, kterou můžete vidět u svých nohou, vypadá stejně zubatě jako úsek, který můžete vidět z vesmíru.

Wolfram stručně popisuje fraktály jako formu geometrického opakování, „ve které jsou do sebe postupně vnořovány menší a menší kopie vzoru, takže se objevují stejné složité tvary bez ohledu na to, jak moc k celku přiblížíte. Fern listy a románský brokolice jsou dva příklady z přírody. " Poukazuje na nečekaný závěr:

Někdo by si mohl myslet, že tak jednoduchá a základní forma pravidelnosti by byla studována stovky, ne -li tisíce let. Ale nebylo. Ve skutečnosti se dostal na výsluní až za posledních zhruba 30 let - téměř výhradně díky úsilí jednoho muže, matematika Benoita Mandelbrota.

Mandelbrot používal termín „fraktál“, jak pochází z latinského slova „fractus“, definovaného jako rozbité nebo rozbité sklo. S využitím nově vyvinutých počítačů IBM, které měl k dispozici, byl Mandelbrot schopen vytvářet fraktální obrazy pomocí grafického počítačového kódu, obrázky, které tazatel popsal jako „blouznivou bujnost psychedelického umění 60. let s formami, které strašidelně připomínají přírodu a lidské tělo“ . Viděl se také jako „rádoby Kepler“, podle vědce 17. století Johannesa Keplera , který vypočítal a popsal oběžné dráhy planet.

Mandelbrot však nikdy neměl pocit, že by vymýšlel nový nápad. Své pocity popisuje v dokumentu se spisovatelem vědy Arthurem C. Clarkem:

Při zkoumání této sady jsem rozhodně nikdy neměl pocit invence. Nikdy jsem neměl pocit, že moje představivost je dostatečně bohatá na to, aby při jejich objevování vymyslela všechny ty mimořádné věci. Byli tam, i když je nikdo předtím neviděl. Je to úžasné, velmi jednoduchý vzorec vysvětluje všechny tyto velmi komplikované věci. Cíl vědy tedy začíná nepořádkem a vysvětluje jej jednoduchým vzorcem, jakýmsi vědeckým snem.

Podle Clarka „ Mandelbrotova množina je skutečně jedním z nejúžasnějších objevů v celé historii matematiky. Kdo mohl snít, že tak neuvěřitelně jednoduchá rovnice mohla generovat obrazy doslova nekonečné složitosti?“ Clarke také zaznamenává „zvláštní náhodu

jméno Mandelbrot a slovo „ mandala “ - pro náboženský symbol - což je určitě čistá náhoda, ale ve skutečnosti Mandelbrotova sada obsahuje obrovský počet mandal.

Mandelbrot opustil IBM v roce 1987, po 35 letech a 12 dnech, kdy se IBM rozhodla ukončit čistý výzkum ve své divizi. Nastoupil na katedru matematiky na Yale a své první funkční místo získal v roce 1999, ve věku 75 let. V době svého odchodu do důchodu v roce 2005 byl Sterling profesorem matematických věd.

Fraktály a „teorie drsnosti“

Mandelbrot vytvořil vůbec první „teorii drsnosti“ a „drsnost“ viděl ve tvarech hor, pobřeží a povodí ; struktury rostlin, cév a plic ; shlukování galaxií . Jeho osobní snahou bylo vytvořit nějaký matematický vzorec pro měření celkové „drsnosti“ takovýchto objektů v přírodě. Začal tím, že si pokládal různé druhy otázek souvisejících s přírodou:

Dokáže geometrie splnit to, co řecký kořen jejího jména [geo] sliboval-pravdivé měření nejen obdělávaných polí podél řeky Nil, ale také nezkrocené Země?

Ve svém příspěvku s názvem Jak dlouhé je pobřeží Británie? Statistická podobnost a frakční dimenze publikovaná v časopise Science v roce 1967 Mandelbrot pojednává o křivkách podobných sobě, které mají Hausdorffovu dimenzi, což jsou příklady fraktálů , přestože Mandelbrot tento termín v příspěvku nepoužívá, protože jej nekopíroval až do roku 1975. Papír je jednou z prvních Mandelbrotových publikací na téma fraktálů.

Mandelbrot zdůraznil použití fraktálů jako realistických a užitečných modelů pro popis mnoha „drsných“ jevů v reálném světě. Došel k závěru, že „skutečná drsnost je často fraktální a dá se změřit“. Ačkoli Mandelbrot razil termín „fraktál“, některé matematické objekty, které představil ve Fraktální geometrii přírody , již dříve popsali jiní matematici. Před Mandelbrotem však byli považováni za izolované kuriozity s nepřirozenými a neintuitivními vlastnostmi. Mandelbrot poprvé spojil tyto objekty dohromady a proměnil je v základní nástroje dlouhodobého úsilí rozšířit rozsah vědy na vysvětlování hladkých „drsných“ objektů v reálném světě. Jeho metody výzkumu byly staré i nové:

Forma geometrie, kterou jsem stále více upřednostňoval, je nejstarší, nejkonkrétnější a nejvíce inkluzivní, konkrétně zmocněná okem a pomáhaná rukou a dnes také počítačem ... přinášející prvek jednoty do světů poznání a pocit ... a nevědomky jako bonus za účelem vytvoření krásy.

Fraktály se nacházejí také v lidských aktivitách, jako je hudba, malba, architektura a ceny na akciovém trhu . Mandelbrot věřil, že fraktály, zdaleka nepřirozené, jsou v mnoha ohledech intuitivnější a přirozenější než uměle hladké objekty tradiční euklidovské geometrie :

Mraky nejsou koule, hory nejsou kužely, pobřeží nejsou kruhy a kůra není hladká, ani blesky se nepohybují po přímce.
  —Mandelbrot ve svém úvodu k fraktální geometrii přírody

Mandelbrot byl nazýván umělcem a vizionářem a maverickem. Jeho neformální a vášnivý styl psaní a jeho důraz na vizuální a geometrickou intuici (podporovaný zahrnutím mnoha ilustrací) zpřístupnil Fraktální geometrii přírody laikům. Kniha vyvolala všeobecný zájem veřejnosti o fraktály a přispěla k teorii chaosu a dalších vědních oborů a matematiky.

Mandelbrot také uplatnil své nápady v kosmologii. V roce 1974 nabídl nové vysvětlení Olbersova paradoxu (hádanka „temné noční oblohy“), který demonstroval důsledky fraktální teorie jako dostatečné, ale ne nutné řešení paradoxu. Postuloval, že pokud by hvězdy ve vesmíru byly rozděleny fraktálně (například jako kantorský prach ), nebylo by nutné spoléhat se na teorii velkého třesku, aby paradox vysvětlil. Jeho model by nevyloučil Velký třesk, ale umožnil by temnou oblohu, i kdyby k Velkému třesku nedošlo.

Ceny a vyznamenání

Mandelbrot Ocenění zahrnují cenu Wolfa za fyziku v roce 1993, Lewis Fry Richardson Cenu Evropské geofyzikální společnosti v roce 2000, cenu Japonska v roce 2003, a Einstein docentura na Americké matematické společnosti v roce 2006.

Na jeho počest byl pojmenován malý asteroid 27500 Mandelbrot . V listopadu 1990 byl jmenován Chevalierem ve francouzské Čestné legii . V prosinci 2005 byl Mandelbrot jmenován do funkce Battelle Fellow v Pacific Northwest National Laboratory . Mandelbrot byl v lednu 2006 povýšen na důstojníka Čestné legie. Mandelbrotovi byl v počátečních cvičeních v květnu 2010 udělen čestný titul z Univerzity Johna Hopkinse .

Částečný seznam cen, které obdržel Mandelbrot:

Smrt a dědictví

Mandelbrot zemřel na rakovinu slinivky ve věku 85 let v hospici v Cambridgi v Massachusetts dne 14. října 2010. Na zprávu o jeho smrti matematik Heinz-Otto Peitgen řekl: „Mluvíme o dopadu matematiky a aplikací ve vědách je jednou z nejdůležitějších postav posledních padesáti let. “

Chris Anderson , kurátor konference TED , popsal Mandelbrota jako „ikonu, která změnila náš pohled na svět“. Nicolas Sarkozy , prezident Francie v době Mandelbrotovy smrti, uvedl, že Mandelbrot měl „mocnou, originální mysl, která se nikdy nevyhýbala inovacím a rozbíjení předpojatých představ [... h] je práce, vyvinutá zcela mimo hlavní výzkum, vedená k moderním informační teorie. " Mandelbrotův nekrolog v The Economist zdůrazňuje jeho slávu jako „celebrity mimo akademii“ a chválí jej jako „otce fraktální geometrie“.

Nejprodávanější esejista a autor Nassim Nicholas Taleb poznamenal, že Mandelbrotova kniha The (Mis) Behavior of Markets je podle jeho názoru „Nejhlubší a nejrealističtější finanční kniha, která kdy byla vydána“.

Bibliografie

v angličtině

• Fraktály: Forma, šance a dimenze, 1977, 2020
• Fraktální geometrie přírody , 1982
• Fraktály a škálování ve financích: diskontinuita, koncentrace, riziko. Selecta Volume E, 1997 od Benoita B. Mandelbrota a RE Gomoryho
• Fractales, hasard et finance, 1959–1997, 1. listopadu 1998
• Multifractals and 1/ƒ Noise: Wild Self-Affinity in Physics (1963–1976) (Selecta; VN) 18. ledna 1999 od JM Bergera a Benoita B. Mandelbrota
• Gaussova sebeobrana a fraktály: Globalita, Země, 1/f Noise a R/S (Vybraná díla Benoita B. Mandelbrota) 14. prosince 2001 od Benoita Mandelbrota a FJ Dameraua
• Fraktály a chaos: The Mandelbrot Set and Beyond, 9. ledna 2004
• Nesprávné chování trhů: Fraktální pohled na finanční turbulence, 2006 Benoit Mandelbrot a Richard L. Hudson
• The Fractalist: Memoir of a Scientific Maverick, 2014

Francouzsky

• La forma d'une vie. Mémoires (1924–2010) od Benoîta Mandelbrota (autor), Johan-Frédérik Hel Guedj (překladatel)

Reference v populární kultuře

• V knize The Ghost from the Grand Banks od Arthura C. Clarka z roku 1990 patroni pomocí sady testují teorii, jak zvednout Titanic .
• V roce 1992 napsal autor Piers Anthony Fraktální režim, kde jsou myšlenky více vesmírů propojených pomocí fraktálů hlavním bodem budování světa v příběhu.
• Mandelbrot a fraktální geometrie jsou zmíněny ve filmu Banka z roku 2001 a slouží jako model pro hlavního hrdinu k vytvoření jeho programu BTSE
• V roce 2004 napsal americký písničkář Jonathan Coulton „Mandelbrot Set“. Dříve obsahoval řádky „Mandelbrot je v nebi / alespoň bude, až bude mrtvý / právě teď je stále naživu a učí matematiku na Yale“. Živá vystoupení po Mandelbrotově odchodu v roce 2010 obsahují pouze první linii a krátký rockový instrumentál.
• V roce 2007 autorka Laura Ruby publikovala „The Chaos King“, která zahrnuje postavu jménem Mandelbrot a diskusi o teorii chaosu.
• V roce 2017 vylíčil Mandelbrot webcomic Zach Weinersmith , Saturday Morning Breakfast Cereal .
• V roce 2017 vydala Liz Ziemska novelu Mandelbrot The Magnificent , smyšlený popis toho, jak Mandelbrot během 2. světové války zachránil svoji rodinu.

Hold

Dne 20. listopadu 2020 oslavil Google Mandelbrot Google Doodle .

Viz také

Poznámky

Reference

Bibliografie

• Hudson, Richard L .; Mandelbrot, Benoît B. (2004). (Ne) chování trhů: Fraktální pohled na riziko, zkázu a odměnu . New York: Základní knihy. ISBN 978-0-465-04355-2.

Další čtení

• Mandelbrot, Benoit B. (2010). Fraktalista, Monografie vědeckého Mavericka. New York: Vintage Books , Division of Random House. ISBN  978-0-307-38991-6
• Mandelbrot, Benoît B. (1983). Fraktální geometrie přírody . San Francisco: WH Freeman. ISBN 978-0-7167-1186-5.
• Heinz-Otto Peitgen , Hartmut Jürgens , Dietmar Saupe a Cornelia Zahlten : Fractals: An Animated Discussion (63 min video film, interviews Benoît Mandelbrot and Edward Lorenz, computer animations), WH Freeman and Company, 1990. ISBN  0-7167-2213 -5 (re-publikoval Films pro humanitní vědy a vědy, ISBN  978-0-7365-0520-8 )
• Mandelbrot, Benoit B. (1997) Fraktály a škálování ve financích: diskontinuita, koncentrace, riziko , Springer.
• Mandelbrot, Benoît (únor 1999). „Multifrakční procházka po Wall Street“. Scientific American . 280 (2): 70. Bibcode : 1999SciAm.280b..70M . doi : 10,1038/scientificamerican0299-70 .
• Mandelbrot, Benoit B., Gaussova sebeobrana a fraktály , Springer: 2002.
• Mandelbrot, Benoît; Taleb, Nassim (23. března 2006). „Zaměření na výjimky, které potvrzují pravidlo“ . Financial Times . Archivovány od originálu dne 23. října 2010 . Citováno 17. října 2010 .
• „Lov skryté dimenze: tajemně krásné fraktály otřásají světem matematiky a prohlubují naše chápání přírody“ , NOVA , WGBH Educational Foundation, Boston pro PBS, poprvé vysíláno 28. října 2008.
• Rám, Michael; Cohen, Nathan (2015). Benoit Mandelbrot: Život v mnoha dimenzích . Singapur: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4366-06-9.
• Mandelbrot, B. (1959) Variables et processus stochastiques de Pareto-Levy, et la repartition des incomeus. Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 249, 613–615.
• Mandelbrot, B. (1960) Pareto-Levyho zákon a rozdělení příjmů. International Economic Review, 1, 79–106.
• Mandelbrot, B. (1961) Stabilní paretianské náhodné funkce a multiplikativní variace příjmu. Econometrica, 29, 517–543.
• Mandelbrot, B. (1964) Náhodné procházky, množství poškození ohněm a další paretovské rizikové jevy. Operační výzkum, 12, 582–585.

externí odkazy

• Benoit Mandelbrot na projektu Mathematics Genealogy Project
• Stránka Mandelbrota na Yale
• „Benoît Mandelbrot: Fraktály a umění drsnosti“ (adresa TED).
• Fraktály ve vědě, technice a financích (přednáška).
• Rozhovor FT.com na téma finančních trhů, který zahrnuje jeho kritiku hypotézy „efektivního trhu“.
• Taylor, Richard (2011). „Nekrology: Benoit Mandelbrot“ . Fyzika dnes . 64 (6): 63. Bibcode : 2011PhT .... 64f..63T . doi : 10,1063/1,3603925 .
• Mandelbrot líčí svůj životní příběh ( Web of Stories ).
• Rozhovor (1. ledna 1981, Ithaca, NY) pořádaný Eugene Dynkin Collection of Mathematics Interviews, Cornell University Library .
• Video animace sady Mandelbrot , faktor zoomu 10 ³⁴² .
• Video animace Mandelbulb na YouTube , trojrozměrná projekce Mandelbrotovy sady.
• Projděte video animovaným světem Mandelbulb na YouTube
• Benoit Mandelbrot na IMDb
• Benoit Mandelbrot na TED