Binární operace -Binary operation

Nezaměňujte s bitovou operací .
Binární operace je pravidlo pro vytvoření kombinace argumentů x a y

V matematice je binární operace nebo dyadická operace pravidlem pro kombinování dvou prvků (nazývaných operandy ) za účelem vytvoření dalšího prvku. Formálněji je binární operace operací arity dva .

Přesněji řečeno, binární operace na množině je operace, jejíž dvě domény a kodoména jsou stejnou množinou. Příklady zahrnují známé aritmetické operace sčítání , odčítání a násobení . Další příklady lze snadno nalézt v různých oblastech matematiky, jako je sčítání vektorů , násobení matice a konjugace ve skupinách .

Operace arity dva, která zahrnuje několik množin, se někdy také nazývá binární operace . Například skalární násobení vektorových prostorů vyžaduje skalár a vektor k vytvoření vektoru a skalární součin potřebuje dva vektory k vytvoření skaláru. Takové binární operace mohou být nazývány jednoduše binárními funkcemi .

Binární operace jsou základním kamenem většiny algebraických struktur , které jsou studovány v algebře , zejména v pologrupách , monoidech , skupinách , prstencích , polích a vektorových prostorech .

Terminologie

Přesněji řečeno, binární operace na množině S je zobrazení prvků kartézského součinu S × S na S :

Protože výsledkem provedení operace na dvojici prvků S je opět prvek S , nazývá se operace uzavřená (nebo vnitřní ) binární operace na S (nebo někdy vyjádřená jako mající vlastnost closure ).

Jestliže f není funkce , ale částečná funkce , pak f se nazývá částečná binární operace . Například dělení reálných čísel je částečná binární operace, protože nelze dělit nulou : a /0 je nedefinováno pro každé reálné číslo a . V jak univerzální algebře tak teorii modelu , binární operace jsou vyžadovány být definován na všech prvcích S × S.

Někdy, zejména v informatice , se termín binární operace používá pro jakoukoli binární funkci .

Vlastnosti a příklady

Typickými příklady binárních operací jsou sčítání (+) a násobení (×) čísel a matic a také skládání funkcí na jedné množině. Například,

  • Na množině reálných čísel R , f ( a , b ) = a + b je binární operace, protože součet dvou reálných čísel je reálné číslo.
  • Na množině přirozených čísel N , f ( a , b ) = a + b je binární operace, protože součet dvou přirozených čísel je přirozené číslo. Toto je odlišná binární operace než předchozí, protože množiny jsou odlišné.
  • Na množině M(2, R ) 2 × 2 matic s reálnými položkami je f ( A , B ) = A + B binární operace, protože součet dvou takových matic je matice 2 × 2 .
  • Na množině M(2, R ) 2 × 2 matic s reálnými vstupy je f ( A , B ) = AB binární operace, protože součin dvou takových matic je matice 2 × 2 .
  • Pro danou množinu C nechť S je množina všech funkcí h  : C → C. Definujte f  : S × S → S by f ( h 1 , h 2 ) ( c ) = ( h 1 ∘ h 2 ) ( c ) = h 1 ( h 2 ( c )) pro všechna c ∈ C , složení dvě funkce h 1 a h 2 v S . Potom f je binární operace, protože složením dvou funkcí je opět funkce na množině C (tj. člen S ).

Mnoho binárních operací, které jsou zajímavé jak v algebře, tak ve formální logice, je komutativních , splňujících f ( a , b )= f ( b , a ) pro všechny prvky aab v S , nebo asociativních , splňujících f ( f ( a , b ) , c ) = f ( a , f ( b , c )) pro všechna a , b a c v S . Mnohé mají také prvky identity a inverzní prvky .

První tři výše uvedené příklady jsou komutativní a všechny výše uvedené příklady jsou asociativní.

Na množině reálných čísel R je odčítání , tedy f ( a , b ) = a − b , binární operace, která není komutativní, protože obecně platí a − b ≠ b − a . Není také asociativní, protože obecně platí, že a − ( b − c ) ≠ ( a − b ) − c ; například 1 − (2 − 3) = 2 , ale (1 − 2) − 3 = −4 .

Na množině přirozených čísel N není binární operace umocňování , f ( a , b ) = a b , komutativní, protože a b ≠ b a (srov . rovnice x y = y x ), a také není asociativní, protože f ( f ( a , b ), c ​​) ≠ f ( a , f ( b , c )) . Například s a = 2 , b = 3 a c = 2 , f (2 3 ,2) = f (8,2) = 8 2 = 64 , ale f (2,3 2 ) = f (2, 9) = 29 = 512 . Změnou množiny N na množinu celých čísel Z se tato binární operace stane částečnou binární operací, protože nyní není definována, když a = 0 ab je libovolné záporné celé číslo . Pro každou množinu má tato operace správnou identitu (která je 1), protože f ( a , 1) = a pro všechna a v množině, což není identita (oboustranná identita), protože f (1, b ) ≠ b obecně.

Dělení (/), částečná binární operace na množině reálných nebo racionálních čísel, není komutativní ani asociativní. Tetrace (↑↑), jako binární operace na přirozených číslech, není komutativní ani asociativní a nemá žádný prvek identity.

Notový zápis

Binární operace se často zapisují pomocí infixové notace , jako je a ∗ b , a + b , a · b nebo (pomocí juxtapozice bez symbolu) ab spíše než funkčním zápisem tvaru f ( a , b ) . Mocniny se obvykle také zapisují bez operátoru, ale s druhým argumentem jako horní index .

Binární operace se někdy zapisují pomocí předponového nebo (častěji) příponového zápisu, přičemž oba se obejdou bez závorek. Říká se jim také polská notace a reverzní polská notace .

Pár a n-tice

Binární operace, ab , závisí na uspořádaném páru ( a, b ) a tak ( ab ) c (kde závorky zde znamenají nejprve pracovat s uspořádaným párem ( a , b ) a poté pracovat s výsledkem toho pomocí uspořádaného pár (( ab ), c ​​)) závisí obecně na uspořádaném páru ( ( a , b ), c ​​). V obecném, neasociativním případě lze tedy binární operace reprezentovat binárními stromy .

Nicméně:

  • Pokud je operace asociativní, ( ab ) c = a ( bc ), pak hodnota ( ab ) c závisí pouze na n-tici ( a , b , c ).
  • Pokud je operace komutativní, ab = ba , pak hodnota ( ab ) c závisí pouze na { { a , b }, c }, kde složené závorky označují multimnožiny .
  • Pokud je operace asociativní i komutativní, pak hodnota ( ab ) c závisí pouze na multimnožině { a , b , c }.
  • Pokud je operace asociativní, komutativní a idempotentní , aa = a , pak hodnota ( ab ) c závisí pouze na množině { a , b , c }.

Binární operace jako ternární relace

Na binární operaci f na množině S lze nahlížet jako na ternární relaci na S , tedy množinu trojic ( a , b , f ( a, b )) v S × S × S pro všechna a a b v S .

Externí binární operace

Externí binární operace je binární funkce od K × S do S . To se liší od binární operace na množině v tom smyslu, že K nemusí být S ; jeho prvky pocházejí zvenčí .

Příkladem externí binární operace je skalární násobení v lineární algebře . Zde K je pole a S je vektorový prostor nad tímto polem.

Na některé externí binární operace lze alternativně pohlížet jako na akci K na S . To vyžaduje existenci asociativního násobení v K a pravidlo kompatibility tvaru kde a (zde se vnější operace i násobení v K označují juxtapozicí).

Bodový součin dvou vektorů mapuje S × S na K , kde K je pole a S je vektorový prostor nad K . Záleží na autorech, zda to bude považováno za binární operaci.

Viz také

Poznámky

Reference

  • Fraleigh, John B. (1976), První kurz abstraktní algebry (2. vyd.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
  • Hall Jr., Marshall (1959), The Theory of Groups , New York: Macmillan
  • Hardy, Darel W.; Walker, Carol L. (2002), Aplikovaná algebra: Kódy, šifry a diskrétní algoritmy , Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, ISBN 0-13-067464-8
  • Rotman, Joseph J. (1973), The Theory of Groups: An Introduction (2nd ed.), Boston: Allyn and Bacon

externí odkazy