Model Black -Scholes - Black–Scholes model

Black-Scholes / ˌ b l æ k ʃ oʊ l z / nebo Black-Scholes-Merton Model je matematický model pro dynamikou finančního trhu , které obsahují derivátových investičních nástrojů. Z parciální diferenciální rovnice v modelu, známé jako Black-Scholesova rovnice , lze odvodit Black-Scholesův vzorec , který poskytuje teoretický odhad ceny opcí v evropském stylu a ukazuje, že opce má jedinečnou cenu danou riziko cenného papíru a jeho očekávaný výnos (místo toho je očekávaný výnos cenného papíru nahrazen mírou neutrální vůči riziku ). Rovnice a model jsou pojmenovány podle ekonomů Fischera Blacka a Myrona Scholese ; Robert C. Merton , který nejprve napsal akademickou práci na toto téma, je někdy také připočítán.

Klíčovou myšlenkou modelu je zajistit opci nákupem a prodejem podkladového aktiva správným způsobem a v důsledku toho eliminovat riziko. Tento typ zajištění se nazývá „průběžně revidované zajištění delta “ a je základem komplikovanějších zajišťovacích strategií, jako jsou ty, které provádějí investiční banky a zajišťovací fondy .

Tento model je široce používán účastníky trhu s opcemi, i když často s určitými úpravami. Předpoklady modelu byly uvolněny a zobecněny v mnoha směrech, což vedlo k nepřebernému množství modelů, které se v současné době používají při oceňování derivátů a řízení rizik. Na rozdíl od skutečných cen jsou účastníky trhu často využívány postřehy modelu, jak je uvedeno ve vzorci Black -Scholes . Tyto poznatky zahrnují hranice bez arbitráže a cenově neutrální ceny (díky průběžné revizi). Rovnice Black – Scholes, parciální diferenciální rovnice, která řídí cenu opce, dále umožňuje stanovení cen pomocí numerických metod, pokud není možný explicitní vzorec.

Black -Scholesův vzorec má pouze jeden parametr, který nelze na trhu přímo sledovat: průměrnou budoucí volatilitu podkladového aktiva, i když jej lze zjistit z ceny jiných opcí. Protože se hodnota opce (ať už put nebo call) v tomto parametru zvyšuje, lze ji invertovat a vytvořit „ povrch volatility “, který se poté použije ke kalibraci jiných modelů, např. Pro OTC deriváty .

Dějiny

Ekonomové Fischer Black a Myron Scholes v roce 1968 demonstrovali, že dynamická revize portfolia odstraňuje očekávanou návratnost cenného papíru, a tak vymýšlí rizikově neutrální argument . Své myšlení založili na práci, kterou dříve provedli výzkumníci trhu a praktici včetně Louisa Bacheliera , Sheena Kassoufa a Edwarda O. Thorpa . Black a Scholes se poté pokusili aplikovat vzorec na trhy, ale způsobili mu finanční ztráty kvůli nedostatku řízení rizik v jejich obchodech. V roce 1970 se rozhodli vrátit do akademického prostředí. Po třech letech úsilí byl vzorec - pojmenovaný na počest jejich zveřejnění - konečně publikován v roce 1973 v článku s názvem „Ceny opcí a podnikových závazků“ ve Věstníku politické ekonomie . Robert C. Merton jako první publikoval článek rozšiřující matematické porozumění modelu oceňování opcí a vytvořil termín „ model oceňování opcí Black – Scholes “.

Vzorec vedl k rozmachu obchodování s opcemi a poskytl matematickou legitimitu aktivitám Chicago Board Options Exchange a dalších opčních trhů po celém světě.

Merton a Scholes obdrželi za svou práci Nobelovu pamětní cenu za ekonomické vědy v roce 1997 , výbor cituje jejich objevení rizikově neutrální dynamické revize jako průlom, který odděluje možnost od rizika podkladového cenného papíru. Přestože kvůli své smrti v roce 1995 neměl na cenu nárok, Black byl švédskou akademií zmíněn jako přispěvatel.

Základní hypotézy

Black -Scholesův model předpokládá, že trh se skládá alespoň z jednoho rizikového aktiva, obvykle nazývaného akcie, a jednoho bezrizikového aktiva, obvykle nazývaného peněžní trh, hotovost nebo dluhopis.

Nyní u majetku děláme předpoklady (které vysvětlují jejich názvy):

• (Bezriziková míra) Míra návratnosti bezrizikového aktiva je konstantní, a proto se nazývá bezriziková úroková sazba .
• (Náhodná procházka) Okamžitá logová návratnost ceny akcií je nekonečně malá náhodná procházka s posunem; přesněji, cena akcie sleduje geometrický Brownův pohyb a budeme předpokládat, že její drift a volatilita jsou konstantní (pokud se mění v čase, můžeme jednoduše odvodit vhodně upravený Black-Scholesův vzorec, pokud volatilita není náhodný).
• Akcie nevyplácí dividendu .

Předpoklady na trhu jsou:

• Žádná možnost arbitráže (tj. Neexistuje způsob, jak dosáhnout bezrizikového zisku).
• Schopnost půjčit si a půjčit jakoukoli částku, i zlomkovou, v hotovosti za bezrizikovou sazbu.
• Schopnost nakupovat a prodávat jakékoli množství, byť jen zlomkové, akcií (to zahrnuje prodej nakrátko ).
• Výše uvedeným transakcím nevznikají žádné poplatky ani náklady (tj. Trh bez tření ).

S těmito předpoklady předpokládejme, že na tomto trhu také obchoduje derivátový cenný papír. Specifikujeme, že toto zabezpečení bude mít určitou výplatu k určitému datu v budoucnosti, v závislosti na hodnotách, které akcie do tohoto data získaly. Je překvapivým faktem, že cena derivátu je v současné době zcela určena, i když nevíme, jakou cestou se cena akcií v budoucnu bude ubírat. Ve zvláštním případě evropské call nebo put opce Black a Scholes ukázali, že „je možné vytvořit zajišťovanou pozici , skládající se z dlouhé pozice v akci a krátké pozice v opci, jejíž hodnota nebude záviset na cena akcií “. Jejich dynamická zajišťovací strategie vedla k částečné diferenciální rovnici, která určovala cenu opce. Jeho řešení je dáno Black -Scholesovým vzorcem.

Několik těchto předpokladů původního modelu bylo odstraněno v následných rozšířeních modelu. Moderní verze zohledňují dynamické úrokové sazby (Merton, 1976), transakční náklady a daně (Ingersoll, 1976) a výplatu dividend.

Zápis

Zápis použitý na této stránce bude definován následovně, seskupený podle předmětu:

Obecné a související s trhem:

${\ displaystyle t}$, čas v letech; obecně používáme jako nyní;${\ displaystyle t = 0}$

${\ displaystyle r}$„anualizovaná bezriziková úroková sazba , průběžně se sčítá, také známá jako síla zájmu ;

Související s aktivem:

${\ Displaystyle S (t)}$, cena podkladového aktiva v čase t , také označovaná jako ;${\ displaystyle S_ {t}}$

${\ Displaystyle \ mu}$Je drift rychlost o , průměrná roční;${\ displaystyle S}$

${\ Displaystyle \ sigma}$, standardní odchylka výnosů akcií; toto je druhá odmocnina kvadratické variace procesu log cen akcií, míra její volatility ;

Související s možností:

${\ Displaystyle V (S, t)}$, cena opce jako funkce podkladového aktiva S , v čase t ; zejména

${\ Displaystyle C (S, t)}$ je cena evropské call opce a

${\ displaystyle P (S, t)}$ cena evropské prodejní opce;

${\ displaystyle T}$, doba vypršení opce, což je doba do splatnosti;${\ displaystyle \ tau = Tt}$

${\ displaystyle K}$, realizační cena opce, známá také jako realizační cena.

Použijeme k označení standardní normální kumulativní distribuční funkce , ${\ displaystyle N (x)}$

${\ Displaystyle N (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {-\ infty}^{x} e^{-z^{2}/2} \, dz.}$

poznámka . ${\ Displaystyle N (-x) = 1-N (x)}$

${\ Displaystyle N '(x)}$bude označovat standardní normální hustotu pravděpodobnosti ,

${\ Displaystyle N '(x) = {\ frac {dN (x)} {dx}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} e^{-x^{2}/2 }.}$

Black – Scholesova rovnice

Jak je uvedeno výše, rovnice Black – Scholes je parciální diferenciální rovnice , která popisuje cenu opce v čase. Rovnice je:

${\ Displaystyle {\ frac {\ částečný V} {\ částečný t}}+{\ frac {1} {2}} \ sigma ^{2} S ^{2} {\ frac {\ částečný ^{2} V } {\ částečné S^{2}}}+rS {\ frac {\ částečné V} {\ částečné S}}-rV = 0}$

Klíčovým finančním vhledem za rovnicí je, že možnost lze dokonale zajistit zajištěním nákupu a prodeje podkladového aktiva a aktiva bankovního účtu (hotovosti) správným způsobem a následně „eliminovat riziko“. Toto zajištění zase znamená, že pro opci existuje pouze jedna správná cena, jak ji vrací vzorec Black – Scholes (viz další část ).

Black – Scholesův vzorec

Vzorec Black – Scholes vypočítává cenu evropských prodejních a prodejních opcí . Tato cena je v souladu s výše uvedenou rovnicí Black – Scholes ; to vyplývá z toho, že vzorec lze získat řešením rovnice pro odpovídající koncové a okrajové podmínky:

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} & C (0, t) = 0 {\ text {for all}} t \\ & C (S, t) \ rightarrow S {\ text {as}} S \ rightarrow \ infty \ \ & C (S, T) = \ max \ {SK, 0 \} \ end {zarovnáno}}}$

Hodnota call opce pro podkladovou akcii nevyplácející dividendy z hlediska parametrů Black – Scholes je:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} C (S_ {t}, t) & = N (d_ {1}) S_ {t} -N (d_ {2}) Ke^{-r (Tt)} \\ d_ {1} & = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {Tt}}}} \ left [\ ln \ left ({\ frac {S_ {t}} {K}} \ right)+\ vlevo (r+{\ frac {\ sigma ^{2}} {2}} \ right) (Tt) \ right] \\ d_ {2} & = d_ {1}-\ sigma {\ sqrt {Tt}} \ \\ end {aligned}}}$

Cena odpovídající prodejní opce na základě parity put -call s diskontním faktorem je: ${\ displaystyle e^{-r (Tt)}}$

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} P (S_ {t}, t) & = Ke^{-r (Tt)}-S_ {t}+C (S_ {t}, t) \\ & = N ( -d_ {2}) Ke^{-r (Tt)}-N (-d_ {1}) S_ {t} \ end {zarovnáno}} \,}$

Alternativní formulace

Zavedení některých pomocných proměnných umožňuje zjednodušení vzorce a jeho přeformulování ve formě, která je často pohodlnější (toto je speciální případ vzorce Black '76 ):

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} C (F, \ tau) & = D \ left [N (d _ {+}) FN (d _ {-}) K \ right] \\ d _ {+} & = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {\ tau}}}} \ left [\ ln \ left ({\ frac {F} {K}} \ right)+{\ frac {1} {2}} \ sigma ^{2} \ tau \ right] \\ d _ {-} & = d _ {+}-\ sigma {\ sqrt {\ tau}} \ end {zarovnáno}}}$

Pomocné proměnné jsou:

• ${\ Displaystyle D = e^{-r \ tau}}$je diskontní faktor
• ${\ Displaystyle F = e^{r \ tau} S = {\ frac {S} {D}}}$je forwardová cena podkladového aktiva a${\ displaystyle S = DF}$

s d ₊ = d ₁ a d _- = d ₂ pro upřesnění zápisu.

Vzhledem k paritě put -call, která je v těchto pojmech vyjádřena jako:

${\ displaystyle CP = D (FK) = S-DK}$

cena put opce je:

${\ Displaystyle P (F, \ tau) = D \ left [N (-d _ {-}) KN (-d _ {+}) F \ right]}$

Výklad

Black -Scholesův vzorec lze interpretovat poměrně snadno, přičemž hlavní jemností je interpretace (a a fortiori ) termínů, zejména a proč existují dva různé termíny. ${\ Displaystyle N (d _ {\ pm})}$ ${\ displaystyle d _ {\ pm}}$${\ displaystyle d _ {+}}$

Vzorec lze interpretovat tak, že nejprve rozložíte call opci na rozdíl dvou binárních opcí : volání aktivum nebo nic minus volání hotovost nebo nic (dlouhé volání aktiva nebo nic, krátké hotovost nebo peníze) nic volat). Volba opce směňuje hotovost za aktivum při vypršení platnosti, zatímco volání typu aktivum nebo nic pouze přinese aktivum (bez směny hotovosti) a volání typu hotovost nebo nic přináší pouze hotovost (bez výměny aktiva). Vzorec Black – Scholes je rozdílem dvou výrazů a tyto dva výrazy se rovnají hodnotám binárních voleb volání. Tyto binární opce jsou obchodovány mnohem méně často než vanilkové opce, ale je snazší je analyzovat.

Vzorec tedy:

${\ Displaystyle C = D \ left [N (d _ {+}) FN (d _ {-}) K \ right]}$

rozpadá se jako:

${\ Displaystyle C = DN (d _ {+}) F-DN (d _ {-}) K,}$

kde je současná hodnota volání aktivum nebo nic a současná hodnota volání hotovost nebo nic. D faktor pro diskontování, protože datum vypršení platnosti je v budoucnu, a jeho odstranění, změní současnou hodnotu budoucí hodnota (hodnota při vypršení). Taková je budoucí hodnota volání aktiva nebo ničeho a budoucí hodnota volání typu peníze nebo nic. Z hlediska rizika neutrálního se jedná o očekávanou hodnotu aktiva a očekávanou hodnotu hotovosti v měně rizika neutrální. ${\ displaystyle DN (d _ {+}) F}$${\ displaystyle DN (d _ {-}) K}$${\ Displaystyle N (d _ {+}) ~ F}$${\ Displaystyle N (d _ {-}) ~ K}$

Naivní a ne zcela správná interpretace těchto pojmů je, že to je pravděpodobnost, že opce vyprší v penězích , krát hodnota podkladového aktiva při vypršení platnosti F, zatímco je pravděpodobnost, že opce vyprší v penězích, krát hodnota hotovost při vypršení platnosti K. To je zjevně nesprávné, protože buď binární soubory skončí v penězích, nebo oba skončí z peněz (buď se peníze směňují za aktiva, nebo ne), ale pravděpodobnosti a nejsou stejné. Ve skutečnosti je lze interpretovat jako měřítko peněžnosti (ve standardních odchylkách) a jako pravděpodobnosti vypršení platnosti ITM ( procentní peněžnost ) v příslušném numéraire , jak je uvedeno níže. Jednoduše řečeno, interpretace opce na hotovost,, je správná, protože hodnota hotovosti je nezávislá na pohybech podkladového aktiva, a proto ji lze interpretovat jako jednoduchý součin „hodnoty pravděpodobnosti a hodnoty“, zatímco složitější je , protože pravděpodobnost expirace v penězích a hodnota aktiva při vypršení platnosti nejsou nezávislé. Přesněji řečeno, hodnota aktiva při vypršení platnosti je proměnlivá, pokud jde o hotovost, ale je konstantní, pokud jde o samotné aktivum (pevné množství aktiva), a proto jsou tato množství nezávislá, pokud člověk změní číslo aktiva spíše než hotovost. ${\ displaystyle N (d _ {+}) F}$${\ displaystyle N (d _ {+})}$${\ displaystyle N (d _ {-}) K}$${\ displaystyle N (d _ {-}),}$${\ displaystyle N (d _ {+})}$${\ displaystyle N (d _ {-})}$${\ displaystyle d _ {\ pm}}$${\ Displaystyle N (d _ {\ pm})}$${\ displaystyle N (d _ {-}) K}$${\ displaystyle N (d _ {+}) F}$

Použije-li na místě S místo vpřed F, na místo termínu je což lze interpretovat jako posunu, (v míře rizika neutrální pro příslušnou numeraire). Použití d _- pro peněžnost spíše než pro standardizovanou peněžnost  -jinými slovy důvod pro tento faktor-je způsobeno rozdílem mezi mediánem a průměrem log-normální distribuce ; je to stejný faktor jako v Itóově lemmatu aplikovaném na geometrický Brownův pohyb . Kromě toho, dalším způsobem, jak vidět, že naivní výklad je nesprávný, je, že nahrazení od ve vzorci dává zápornou hodnotu opcí out-of-the-peněz. ${\ displaystyle d _ {\ pm}}$${\ textstyle {\ frac {1} {2}} \ sigma ^{2}}$${\ textstyle \ left (r \ pm {\ frac {1} {2}} \ sigma ^{2} \ right) \ tau,}$${\ textstyle m = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {\ tau}}}} \ ln \ left ({\ frac {F} {K}} \ right)}$${\ textstyle {\ frac {1} {2}} \ sigma ^{2}}$${\ displaystyle N (d _ {+})}$${\ displaystyle N (d _ {-})}$

V detailu, termíny jsou pravděpodobnosti volby skončí in-the-money za ekvivalentní exponenciální martingale pravděpodobnostní míry (numeraire = populace) a odpovídající opatření martingale pravděpodobnosti (numeraire = bez rizika aktiv), v uvedeném pořadí. Rizikově neutrální hustota pravděpodobnosti pro cenu akcií je ${\ Displaystyle N (d_ {1}), N (d_ {2})}$${\ displaystyle S_ {T} \ in (0, \ infty)}$

${\ Displaystyle p (S, T) = {\ frac {N^{\ prime} [d_ {2} (S_ {T})]} {S_ {T} \ sigma {\ sqrt {T}}}}}$

kde je definováno výše. ${\ displaystyle d_ {2} = d_ {2} (K)}$

Konkrétně je to pravděpodobnost, že hovor bude uplatněn za předpokladu, že se předpokládá, že drift aktiv je bezriziková sazba. se však nehodí k jednoduché interpretaci pravděpodobnosti. je správně interpretován jako současná hodnota, s použitím bezrizikové úrokové sazby, očekávané ceny aktiv při vypršení platnosti, vzhledem k tomu, že cena aktiv při vypršení platnosti je vyšší než realizační cena. Související diskusi - a grafické znázornění - najdete v metodě Datar – Mathews pro ocenění reálných opcí . ${\ displaystyle N (d_ {2})}$${\ displaystyle N (d_ {1})}$${\ displaystyle SN (d_ {1})}$

Ekvivalentní měřítko pravděpodobnosti martingale se také nazývá rizikově neutrální měřítko pravděpodobnosti . Všimněte si, že obě tyto jsou pravděpodobnosti v teoretickém smyslu míry a ani jedna z nich není skutečnou pravděpodobností expirace peněz v rámci skutečné míry pravděpodobnosti . K výpočtu pravděpodobnosti podle skutečné („fyzické“) míry pravděpodobnosti jsou zapotřebí další informace - driftový termín ve fyzickém měřítku nebo ekvivalentně tržní cena rizika .

Odvození

Standardní derivace pro řešení Black – Scholesovy PDE je uvedena v článku Black – Scholesova rovnice .

Feynman-Kac vzorec říká, že řešením tohoto typu PDE, kdy zlevněné přiměřeně, je vlastně martingal . Cena opce je tedy očekávanou hodnotou diskontovaného výplaty opce. Výpočet ceny opce prostřednictvím tohoto očekávání je přístupem neutrality rizika a lze jej provést bez znalosti PDE. Všimněte si, že očekávání opce na opci se neprovádí podle měřítka pravděpodobnosti reálného světa , ale umělé míry rizika neutrálního , která se liší od míry reálného světa. Základní logiku najdete v části „Rizikově neutrální oceňování“ v části Racionální tvorba cen a v části „Stanovení cen derivátů: svět Q “ v části Matematické finance ; podrobnosti ještě jednou viz Hull .

Řekové

„ Řekové “ měří citlivost hodnoty derivátu nebo portfolia na změny hodnot parametrů, zatímco ostatní parametry drží pevně dané. Jsou to dílčí deriváty ceny s ohledem na hodnoty parametrů. Jeden Řek, „gama“ (stejně jako ostatní, kteří zde nejsou uvedeni), je v tomto případě částečným derivátem jiného Řecka, „delta“.

Řekové jsou důležití nejen v matematické teorii financí, ale také pro ty, kteří aktivně obchodují. Finanční instituce obvykle stanoví (riskují) mezní hodnoty pro každého z Řeků, které jejich obchodníci nesmí překročit. Delta je nejdůležitějším Řekem, protože to obvykle představuje největší riziko. Mnoho obchodníků vynuluje svou deltu na konci dne, pokud nespekulují o směru trhu a dodržují delta-neutrální zajišťovací přístup definovaný společností Black – Scholes.

Řekové pro Black -Scholes jsou uvedeni v uzavřené podobě níže. Lze je získat diferenciací Black -Scholesova vzorce.

		Hovory	Dává
Delta	${\ displaystyle {\ frac {\ částečný V} {\ částečný S}}}$	${\ displaystyle N (d_ {1}) \,}$	${\ displaystyle -N (-d_ {1}) = N (d_ {1})-1 \,}$
Gama	${\ displaystyle {\ frac {\ částečná ^{2} V} {\ částečná S ^{2}}}}$	${\ Displaystyle {\ frac {N '(d_ {1})} {S \ sigma {\ sqrt {Tt}}}} \,}$
Vega	${\ displaystyle {\ frac {\ částečný V} {\ částečný \ sigma}}}$	${\ Displaystyle SN '(d_ {1}) {\ sqrt {Tt}} \,}$
Theta	${\ displaystyle {\ frac {\ částečný V} {\ částečný t}}}$	${\ Displaystyle-{\ frac {SN '(d_ {1}) \ sigma} {2 {\ sqrt {Tt}}}}-rKe^{-r (Tt)} N (d_ {2}) \,}$	${\ Displaystyle-{\ frac {SN '(d_ {1}) \ sigma} {2 {\ sqrt {Tt}}}}+rKe^{-r (Tt)} N (-d_ {2}) \, }$
Rho	${\ displaystyle {\ frac {\ částečný V} {\ částečný r}}}$	${\ Displaystyle K (Tt) e^{-r (Tt)} N (d_ {2}) \,}$	${\ displaystyle -K (Tt) e^{-r (Tt)} N (-d_ {2}) \,}$

Všimněte si, že ze vzorců je zřejmé, že gama má stejnou hodnotu pro hovory a put a stejně tak je pro vega stejná hodnota pro volání a put opce. To lze vidět přímo z parity put -call , protože rozdíl put a call je forward, který je lineární v S a nezávislý na σ (takže forward má nulové gama a nulové vega). N 'je standardní normální hustotou pravděpodobnosti.

V praxi jsou některé citlivosti obvykle uváděny ve zmenšených termínech, aby odpovídaly škále pravděpodobných změn v parametrech. Například rho je často hlášeno děleno 10 000 (1 změna základní sazby), vega 100 (změna 1 vol bodu) a theta 365 nebo 252 (1denní úpadek buď na základě kalendářních dnů, nebo obchodních dnů v roce).

Všimněte si, že „vega“ není písmeno v řecké abecedě; název pochází z nesprávného chápání řeckého písmene nu (různě překládáno jako , ν a ν) jako V. ${\ displaystyle \ nu}$

Rozšíření modelu

Výše uvedený model lze rozšířit o variabilní (ale deterministické) sazby a volatility. Tento model lze také použít k ocenění evropských opcí u nástrojů vyplácejících dividendy. V tomto případě jsou k dispozici řešení v uzavřené formě, pokud je dividenda známým podílem na ceně akcie. Americké opce a opce na akcie vyplácející známou hotovostní dividendu (v krátkodobém horizontu realističtější než proporcionální dividenda) se obtížněji oceňují a je k dispozici výběr technik řešení (například mříže a mřížky ).

Nástroje vyplácející dividendy s nepřetržitým výnosem

U opcí na indexy je rozumné učinit zjednodušující předpoklad, že dividendy jsou vypláceny průběžně a že výše dividendy je úměrná úrovni indexu.

Výplata dividendy vyplacená za časové období je pak modelována jako ${\ displaystyle [t, t+dt]}$

${\ displaystyle qS_ {t} \, dt}$

pro nějakou konstantu ( dividendový výnos ). ${\ displaystyle q}$

Podle této formulace lze ukázat, že cena bez arbitráží implikovaná modelem Black-Scholes je

${\ Displaystyle C (S_ {t}, t) = e^{-r (Tt)} [FN (d_ {1})-KN (d_ {2})] \,}$

a

${\ Displaystyle P (S_ {t}, t) = e^{-r (Tt)} [KN (-d_ {2})-FN (-d_ {1})] \,}$

kam teď

${\ Displaystyle F = S_ {t} e^{(rq) (Tt)} \,}$

je upravená forwardová cena, která se vyskytuje v podmínkách : ${\ displaystyle d_ {1}, d_ {2}}$

${\ Displaystyle d_ {1} = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {Tt}}}} \ left [\ ln \ left ({\ frac {S_ {t}} {K}} \ right) +\ left (r-q+{\ frac {1} {2}} \ sigma ^{2} \ right) (Tt) \ right]}$

a

${\ Displaystyle d_ {2} = d_ {1}-\ sigma {\ sqrt {Tt}} = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {Tt}}}} \ left [\ ln \ left ({ \ frac {S_ {t}} {K}} \ right)+\ left (rq-{\ frac {1} {2}} \ sigma ^{2} \ right) (Tt) \ right]}$.

Nástroje vyplácející diskrétní poměrné dividendy

Je také možné rozšířit rámec Black -Scholes na opce na nástroje vyplácející diskrétní poměrné dividendy. To je užitečné, když je možnost zasažena na jednu akcii.

Typickým modelem je předpokládat, že část ceny akcií je vyplacena v předem určených časech . Cena akcií se pak modeluje jako ${\ Displaystyle \ delta}$${\ displaystyle t_ {1}, t_ {2}, \ ldots}$

${\ Displaystyle S_ {t} = S_ {0} (1- \ delta)^{n (t)} e^{ut+\ sigma W_ {t}}}$

kde je počet dividend, které byly včas vyplaceny . ${\ displaystyle n (t)}$${\ displaystyle t}$

Cena call opce na takové akci je opět

${\ Displaystyle C (S_ {0}, T) = e^{-rT} [FN (d_ {1})-KN (d_ {2})] \,}$

kam teď

${\ Displaystyle F = S_ {0} (1- \ delta)^{n (T)} e^{rT} \,}$

je forwardová cena akcií vyplácejících dividendy.

Americké možnosti

Problém nalezení ceny americké opce souvisí s optimálním zastavovacím problémem nalezením času na realizaci opce. Vzhledem k tomu, že americkou opci lze uplatnit kdykoli před datem expirace, stává se Black -Scholesova rovnice variační nerovností formy

${\ Displaystyle {\ frac {\ částečný V} {\ částečný t}}+{\ frac {1} {2}} \ sigma ^{2} S ^{2} {\ frac {\ částečný ^{2} V } {\ částečné S^{2}}}+rS {\ frac {\ částečné V} {\ částečné S}}-rV \ leq 0}$

spolu s kde označuje přínos v ceně akcie a terminál podmínku: . ${\ Displaystyle V (S, t) \ geq H (S)}$${\ Displaystyle H (S)}$${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle V (S, T) = H (S)}$

Obecně tato nerovnost nemá řešení v uzavřené formě, ačkoli americký hovor bez dividend se rovná evropskému hovoru a metoda Roll – Geske – Whaley poskytuje řešení pro americký hovor s jednou dividendou; viz také Blackova aproximace .

Barone-Adesi a Whaley je další aproximační vzorec. Zde je stochastická diferenciální rovnice (která platí pro hodnotu jakéhokoli derivátu) rozdělena na dvě složky: hodnotu evropské opce a prémii za včasné uplatnění. S některými předpoklady se pak získá kvadratická rovnice, která aproximuje řešení pro druhou z nich. Toto řešení zahrnuje nalezení kritické hodnoty , která je lhostejná mezi raným cvičením a držením do splatnosti. ${\ displaystyle s*}$

Bjerksund a Stensland poskytují aproximaci na základě cvičební strategie odpovídající spouštěcí ceně. Pokud je cena podkladového aktiva vyšší nebo rovná spouštěcí ceně, je optimální ji uplatnit a hodnota se musí rovnat , jinak se opce „scvrkne na: (i) evropskou up-and-out call opci… a ii) sleva obdržená k datu vyřazení, pokud je opce vyřazena před datem splatnosti “. Vzorec lze snadno upravit pro ocenění opce s prodejem pomocí parity put -call . Tato aproximace je výpočetně levná a metoda je rychlá, přičemž důkazy naznačují, že aproximace může být při oceňování opcí s dlouhým datem přesnější než Barone-Adesi a Whaley. ${\ displaystyle SX}$

Věčný klad

Navzdory nedostatku obecného analytického řešení pro americké prodejní opce je možné takový vzorec odvodit pro případ věčné opce - což znamená, že opce nikdy nevyprší (tj. ). V tomto případě je časový rozpad opce roven nule, což vede k tomu, že se PDE Black – Scholes stane ODE:${\ Displaystyle T \ rightarrow \ infty}$

Dovolit značí nižší výkon hranici, pod kterou je optimální pro uplatnění opce. Okrajové podmínky jsou:${\ displaystyle S _ {-}}$Řešení ODE jsou lineární kombinací jakýchkoli dvou lineárně nezávislých řešení:K , substituce tohoto roztoku do ODE pro výnosů:${\ displaystyle S _ {-} \ leq S}$${\ displaystyle i = {1,2}}$Přeuspořádání podmínek v:Pomocí kvadratického vzorce jsou řešení pro :${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$Abychom měli konečné řešení pro věčný put, protože okrajové podmínky znamenají horní a dolní konečné limity hodnoty putu, je nutné nastavit , vedoucí k řešení . Z první okrajové podmínky je známo, že:${\ displaystyle A_ {1} = 0}$${\ Displaystyle V (S) = A_ {2} S^{\ lambda _ {2}}}$Proto se hodnota věčného putu stane:Druhá okrajová podmínka určuje umístění dolní hranice cvičení:Na závěr, pro , věčná americká prodejní opce stojí za to:${\ textstyle S \ geq S _ {-} = {\ lambda _ {2} K \ over {\ lambda _ {2} -1}}}$

Binární opce

Řešením diferenciální rovnice Black – Scholes s tím, že pro okrajovou podmínku je funkce Heaviside , skončíme s oceňováním opcí, které platí jednu jednotku nad nějakou předdefinovanou realizační cenou a nic níže.

Ve skutečnosti lze Black-Scholesův vzorec pro cenu vanilkové kupní opce (nebo prodejní opce) interpretovat tak, že se call opce rozloží na call opci aktivum nebo nic minus call opce cash-or-nothing a podobně zjednodušeně řečeno - binární opce se snadněji analyzují a odpovídají dvěma výrazům ve vzorci Black -Scholes.

Volání v hotovosti nebo nic

Pokud je spot nad splatností při splatnosti, vyplatí se jedna jednotka hotovosti. Jeho hodnota je dána pomocí

${\ Displaystyle C = e^{-r (Tt)} N (d_ {2}). \,}$

Vloženo v hotovosti nebo nic

To vyplácí jednu jednotku hotovosti, pokud je spot pod splatností při splatnosti. Jeho hodnota je dána pomocí

${\ Displaystyle P = e^{-r (Tt)} N (-d_ {2}). \,}$

Volání aktiva nebo nic

To vyplácí jednu jednotku aktiv, pokud je spot nad splatností při splatnosti. Jeho hodnota je dána znakem

${\ Displaystyle C = Se^{-q (Tt)} N (d_ {1}). \,}$

Vloženo aktivum nebo nic

To vyplácí jednu jednotku aktiv, pokud je spot pod splatností při splatnosti. Jeho hodnota je dána pomocí

${\ displaystyle P = Se^{-q (Tt)} N (-d_ {1}),}$

Deviza

Označíme -li pomocí S směnný kurz FOR/DOM (tj. 1 jednotka cizí měny má hodnotu S jednotek domácí měny), můžeme pozorovat, že vyplácení 1 jednotky domácí měny, pokud je spot při splatnosti nad nebo pod strike je přesně jako volání v hotovosti nebo nic a vložte. Podobně platí, že vyplácení 1 jednotky cizí měny, pokud je spot při splatnosti nad nebo pod stávkou, je přesně jako volání aktiva nebo nic a vložení. Pokud tedy nyní vezmeme zahraniční úrokovou sazbu, domácí úrokovou sazbu a zbytek, jak je uvedeno výše, získáme následující výsledky. ${\ displaystyle r_ {FOR}}$${\ displaystyle r_ {DOM}}$

V případě digitálního hovoru (jedná se o volání FOR/put DOM) s výplatou jedné jednotky domácí měny získáme současnou hodnotu,

${\ Displaystyle C = e^{-r_ {DOM} T} N (d_ {2}) \,}$

V případě digitálního putu (to je put FOR/call DOM) vyplácení jedné jednotky domácí měny získáme jako současnou hodnotu,

${\ displaystyle P = e^{-r_ {DOM} T} N (-d_ {2}) \,}$

Zatímco v případě digitálního hovoru (toto je volání FOR/put DOM) vyplácení jedné jednotky cizí měny dostaneme jako současnou hodnotu,

${\ displaystyle C = Se^{-r_ {FOR} T} N (d_ {1}) \,}$

a v případě digitálního putu (to je put FOR/call DOM) vyplácení jedné jednotky cizí měny získáme jako současnou hodnotu,

${\ displaystyle P = Se^{-r_ {FOR} T} N (-d_ {1}) \,}$

Překroutit

Ve standardním modelu Black – Scholes lze interpretovat prémii binární opce ve světě neutrálním z hlediska rizika jako očekávanou hodnotu = pravděpodobnost, že bude jednotkou v penězích *, diskontovanou na současnou hodnotu. Black -Scholesův model spoléhá na symetrii distribuce a ignoruje šikmost rozdělení aktiva. Tvůrci trhu se přizpůsobují takovéto šikmosti tím, že místo použití jediné standardní odchylky pro podkladové aktivum napříč všemi stávkami začlení proměnnou, kde volatilita závisí na realizační ceně, čímž zohlední kolísání volatility . Na vychýlení záleží, protože ovlivňuje binární podstatně více než běžné možnosti. ${\ Displaystyle \ sigma}$${\ Displaystyle \ sigma (K)}$

Možnost binárního volání je při dlouhých vypršení platnosti podobná těsnému rozpětí hovorů pomocí dvou možností vanilky. Lze modelovat hodnotu možnosti binární hotovost nebo nic, C , při úderu K , jako nekonečně malé rozpětí, kde je vanilkové evropské volání: ${\ displaystyle C_ {v}}$

${\ Displaystyle C = \ lim _ {\ epsilon \ to 0} {\ frac {C_ {v} (K- \ epsilon) -C_ {v} (K)} {\ epsilon}}}$

Hodnota binárního volání je tedy záporným derivátem ceny vanilkového volání vzhledem k realizační ceně:

${\ displaystyle C =-{\ frac {dC_ {v}} {dK}}}$

Když člověk vezme v úvahu volatilitu, je funkcí : ${\ Displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle K}$

${\ Displaystyle C =-{\ frac {dC_ {v} (K, \ sigma (K))} {dK}} =-{\ frac {\ částečný C_ {v}} {\ částečný K}}-{\ frac {\ částečný C_ {v}} {\ částečný \ sigma}} {\ frac {\ částečný \ sigma} {\ částečný K}}}$

První termín se rovná prémii binární opce ignorující zkosení:

${\ Displaystyle-{\ frac {\ částečný C_ {v}} {\ částečný K}} =-{\ frac {\ částečný (SN (d_ {1})-Ke^{-r (Tt)} N (d_ {2}))} {\ partial K}} = e^{-r (Tt)} N (d_ {2}) = C _ {\ text {no skew}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ částečný C_ {v}} {\ částečný \ sigma}}}$je Vega vanilkového volání; někdy se mu říká „šikmý svah“ nebo jen „zkosení“. Pokud je zkosení obvykle záporné, bude hodnota binárního volání při zohlednění zkosení vyšší. ${\ displaystyle {\ frac {\ částečné \ sigma} {\ částečné K}}}$

${\ displaystyle C = C _ {\ text {no skew}}-{\ text {Vega}} _ {v} \ cdot {\ text {Skew}}}$

Vztah k Řekům vanilkových opcí

Protože binární volání je matematický derivát vanilkového volání s ohledem na úder, cena binárního volání má stejný tvar jako delta vanilkového volání a delta binárního volání má stejný tvar jako gama vanilkový hovor.

Black – Scholes v praxi

Předpoklady modelu Black -Scholes nejsou všechny empiricky platné. Model je široce používán jako užitečné přiblížení realitě, ale správná aplikace vyžaduje pochopení jeho omezení - slepé sledování modelu vystavuje uživatele neočekávanému riziku. Mezi nejvýznamnější omezení patří:

• podceňování extrémních tahů, které přináší riziko ocasu , které lze zajistit opcemi out of the-money ;
• předpoklad okamžitého obchodování bez nákladů s výnosem rizika likvidity , které je obtížné zajistit;
• předpoklad stacionárního procesu, který přináší riziko volatility , které lze zajistit zajištěním volatility;
• předpoklad nepřetržitého času a nepřetržitého obchodování, které přináší riziko mezery, které lze zajistit gama zajištěním.

Stručně řečeno, zatímco v modelu Black -Scholes lze dokonale zajistit možnosti pouhým zajištěním Delta , v praxi existuje mnoho dalších zdrojů rizika.

Výsledky využívající model Black -Scholes se liší od cen v reálném světě kvůli zjednodušení předpokladů modelu. Jedním významným omezením je, že ve skutečnosti ceny cenného papíru nedodržují přísný stacionární log-normální proces, ani není ve skutečnosti znám bezrizikový úrok (a není konstantní v průběhu času). Bylo pozorováno, že rozptyl je nekonstantní, což vede k modelům, jako je GARCH, k modelování změn volatility. Cenové nesrovnalosti mezi empirickým a Black-Scholesovým modelem jsou již dlouho pozorovány u opcí, které jsou daleko od peněz , což odpovídá extrémním změnám cen; takové události by byly velmi vzácné, kdyby byly výnosy lognormálně distribuovány, ale v praxi jsou pozorovány mnohem častěji.

Ceny Black -Scholes jsou nicméně v praxi široce používány, protože jsou:

• snadno vypočítat
• užitečné přiblížení, zejména při analýze směru, kterým se ceny pohybují při překročení kritických bodů
• robustní základna pro rafinovanější modely
• reverzibilní, protože původní výstup modelu, cenu, lze použít jako vstup a jednu z dalších proměnných vyřešenou pro; takto vypočítaná implikovaná volatilita se často používá k kótování cen opcí (tj. jako konvence kótování ).

První bod je evidentně užitečný. O ostatních lze dále diskutovat:

Užitečná aproximace: i když volatilita není konstantní, výsledky z modelu jsou často užitečné při nastavování zajištění ve správném poměru k minimalizaci rizika. I když výsledky nejsou zcela přesné, slouží jako první přiblížení, ke kterému je možné provést úpravy.

Základ pro propracovanější modely: Model Black -Scholes je robustní v tom, že jej lze upravit tak, aby se vypořádal s některými svými poruchami. Spíše než považovat některé parametry (jako je volatilita nebo úrokové sazby) za konstantní, je člověk považuje za proměnné, a tedy přidané zdroje rizika. To se odráží u Řeků (změna hodnoty opce pro změnu těchto parametrů nebo ekvivalentně částečných derivátů s ohledem na tyto proměnné) a zajištění těchto Řeků zmírňuje riziko způsobené nestálou povahou těchto parametrů. Úpravou modelu však nelze zmírnit další vady, zejména riziko ocasu a riziko likvidity, a ty se místo toho řídí mimo model, a to především minimalizací těchto rizik a stresovým testováním .

Explicitní modelování: tato funkce znamená, že namísto předpokládání volatility a priori a výpočetní ceny z ní lze model použít k řešení volatility, což dává implikovanou volatilitu opce za dané ceny, doby trvání a realizační ceny. Při řešení volatility v průběhu daného souboru dob trvání a realizačních cen lze sestrojit implikovaný povrch volatility . V této aplikaci modelu Black – Scholes je získána transformace souřadnic z cenové domény do oblasti volatility . Ceny opcí, místo aby se kótovaly ceny opcí v dolarech za jednotku (které je těžké srovnávat napříč stávky, doby trvání a četnosti kupónů), je možné citovat z hlediska implikované volatility, což vede k obchodování s volatilitou na opčních trzích.

Těkavý úsměv

Jednou z atraktivních vlastností modelu Black – Scholes je, že parametry v modelu kromě volatility (doba do splatnosti, strike, bezriziková úroková sazba a aktuální podkladová cena) jsou jednoznačně pozorovatelné. Pokud jsou všechny věci stejné, teoretická hodnota opce je monotónní rostoucí funkcí implikované volatility.

Výpočtem implikované volatility pro obchodované opce s různými stávky a splatností lze testovat model Black -Scholes. Pokud by držel model Black -Scholes, pak by implikovaná volatilita pro konkrétní akcii byla stejná pro všechny stávky a splatnosti. V praxi povrch volatility (3D graf implikované volatility proti úderu a splatnosti) není plochý.

Typický tvar implikované křivky volatility pro danou splatnost závisí na podkladovém nástroji. Akcie mívají šikmé křivky: ve srovnání s penězi je implikovaná volatilita podstatně vyšší u nízkých úderů a mírně nižší u vysokých úderů. Měny mívají symetrickější křivky s implikovanou volatilitou nejnižší za peníze a vyšší volatilitou v obou křídlech. Komodity mají často opačné chování než akcie, s vyšší implikovanou volatilitou pro vyšší stávky.

Navzdory existenci úsměvu volatility (a porušení všech ostatních předpokladů modelu Black – Scholes) se v praxi stále hojně používají vzorce Black – Scholes PDE a Black – Scholes. Typickým přístupem je považovat povrch volatility za fakt o trhu a použít implikovanou volatilitu z něj v oceňovacím modelu Black -Scholes. Toto bylo popsáno jako použití „nesprávného čísla ve špatném vzorci k získání správné ceny“. Tento přístup také poskytuje použitelné hodnoty pro zajišťovací poměry (Řekové). I když se používají pokročilejší modely, obchodníci dávají přednost myšlence implikované volatility Black -Scholes, protože jim umožňuje vyhodnotit a porovnat možnosti různých splatností, stávek atd. Diskuse o různých alternativních přístupech, které se zde vyvinuly, viz Finanční ekonomika § Výzvy a kritika .

Ocenění možností dluhopisů

Black – Scholes nelze aplikovat přímo na dluhopisové cenné papíry, protože je možné je vyrovnat . Jakmile dluhopis dosáhne data splatnosti, stanou se známy všechny ceny spojené s dluhopisem, čímž se sníží jeho volatilita, a jednoduchý model Black -Scholes tento proces nereflektuje. K řešení tohoto jevu bylo použito velké množství rozšíření Black – Scholes, počínaje modelem Black . Viz možnost Bond § Ocenění .

Úroková křivka

V praxi nejsou úrokové sazby konstantní - liší se podle tenoru (frekvence kupónů), což dává křivku úrokových sazeb, která může být interpolována za účelem výběru vhodné sazby pro použití ve vzorci Black -Scholes. Další úvahou je, že úrokové sazby se v průběhu času mění. Tato volatilita může významně přispět k ceně, zejména u dlouhodobých opcí. To je prostě jako vztah úrokové sazby a ceny dluhopisů, který je nepřímo úměrný.

Krátká skladová sazba

Převzetí krátké pozice na akci, jak je odvozeno z derivace, není obvykle bezplatné; ekvivalentně je možné za malý poplatek půjčit dlouhou skladovou pozici . V obou případech to může být považováno za kontinuální dividendu pro účely ocenění Black -Scholes, za předpokladu, že neexistuje do očí bijící asymetrie mezi krátkými náklady na půjčení akcií a dlouhými příjmy z půjčování akcií.

Kritika a komentáře

Espen Gaarder Haug a Nassim Nicholas Taleb tvrdí, že model Black -Scholes pouze přepracovává stávající široce používané modely z hlediska prakticky nemožného „dynamického zajišťování“ spíše než „rizika“, aby byly více kompatibilní s mainstreamovou neoklasickou ekonomickou teorií. Rovněž tvrdí, že Boness v roce 1964 již publikoval vzorec, který je „ve skutečnosti identický“ s rovnicí oceňování opčních cen Black -Scholes. Edward Thorp také tvrdí, že v roce 1967 uhádl vzorec Black -Scholes, ale nechal si to pro sebe, aby vydělal peníze pro své investory. Emanuel Derman a Nassim Taleb také kritizovali dynamické zajišťování a uvádějí, že řada výzkumníků předložila podobné modely před Blackem a Scholesem. V reakci na to Paul Wilmott hájil model.

V jeho 2008 dopise akcionářům Berkshire Hathaway , Warren Buffett napsal: „Věřím, že vzorec Black-Scholes, přestože se jedná o standard pro stanovení odpovědnosti dolaru za možnostmi, vytváří podivné výsledky, když jsou dlouhodobé odrůda má být hodnoceno ... Black -Scholesův vzorec se přiblížil stavu svatého zápisu ve financích ... Pokud se však vzorec aplikuje na delší časová období, může přinést absurdní výsledky. Pro spravedlnost, Black a Scholes téměř jistě dobře rozuměli tomuto bodu "Ale jejich oddaní následovníci možná ignorují všechny námitky, které oba muži připojili, když poprvé představili vzorec."

Britský matematik Ian Stewart - autor knihy z roku 2012 s názvem V honbě za neznámým: 17 rovnic, které změnily svět - řekl, že Black -Scholes „podpořil masivní ekonomický růst“ a „mezinárodní finanční systém obchodoval s deriváty v hodnotě jednoho bilionu dolarů za rok “do roku 2007. Řekl, že Black – Scholesova rovnice je„ matematickým ospravedlněním obchodování “ - a proto -„ jednou z ingrediencí bohatého guláše finanční nezodpovědnosti, politické neschopnosti, zvrácených pobídek a laxní regulace “, které přispěly k finanční krize 2007-08 . Upřesnil, že „samotná rovnice nebyla skutečným problémem“, ale jejím zneužíváním ve finančním průmyslu.

Viz také

• Model binomických opcí , diskrétní numerická metoda pro výpočet cen opcí
• Černý model , varianta modelu oceňování opcí Black – Scholes
• Black Shoals , finanční umělecké dílo
• Brownův model finančních trhů
• Finanční matematika (obsahuje seznam souvisejících článků)
• Fuzzy metoda výplaty pro skutečné ocenění opcí
• Tepelná rovnice , na kterou lze transformovat Black – Scholes PDE
• Difúze skoků
• Volitelný model Monte Carlo využívající simulaci při oceňování opcí s komplikovanými funkcemi
• Analýza reálných možností
• Stochastická volatilita

Poznámky

Reference

Primární reference

• Černý, Fischer; Myron Scholes (1973). „Ceny opcí a podnikových závazků“. Journal of Political Economy . 81 (3): 637–654. doi : 10,1086/260062 . S2CID  154552078 . [2] (Černý a Scholesův originální papír.)
• Merton, Robert C. (1973). „Teorie racionálního oceňování opcí“. Bell Journal of Economics and Management Science . RAND Corporation. 4 (1): 141–183. doi : 10,2307/3003143 . hdl : 10338.dmlcz/135817 . JSTOR  3003143 . [3]
• Hull, John C. (1997). Opce, futures a další deriváty . Sál Prentice. ISBN 0-13-601589-1.

Historické a sociologické aspekty

• Bernstein, Peter (1992). Capital Ideas: The Improbable Origins of Modern Wall Street . Volný tisk. ISBN 0-02-903012-9.
• Derman, Emanuel. „Můj život jako kvant “ John Wiley & Sons, Inc. 2004. ISBN  0471394203
• MacKenzie, Donald (2003). „Rovnice a její světy: Bricolage, Exempláře, nejednotnost a performativita ve finanční ekonomii“ (PDF) . Sociální vědy . 33 (6): 831–868. doi : 10,1177/0306312703336002 . hdl : 20.500.11820/835ab5da-2504-4152-ae5b-139da39595b8 . S2CID  15524084 . [4]
• MacKenzie, Donald; Yuval Millo (2003). „Konstrukce trhu, teorie výkonu: Historická sociologie burzy finančních derivátů“. American Journal of Sociology . 109 (1): 107–145. CiteSeerX  10.1.1.461.4099 . doi : 10,1086/374404 . S2CID  145805302 . [5]
• MacKenzie, Donald (2006). Motor, ne kamera: Jak finanční modely formují trhy . Stiskněte MIT. ISBN 0-262-13460-8.
• Mandelbrot & Hudson, „Základní knihy (ne) chování trhů“, 2006. ISBN  9780465043552
• Szpiro, George G. , Pricing the Future: Finance, Physics, and the 300-Year Journey to the Black – Scholes Equation; Příběh génia a objevu (New York: Basic, 2011) 298 s.
• Talebe, Nassime. „Dynamické zajišťování“ John Wiley & Sons, Inc. 1997. ISBN  0471152803
• Thorp, Ed. „Muž pro všechny trhy“ Random House, 2017. ISBN  9781400067961

Další čtení

• Haug, E. G (2007). „Stanovení cen opcí a zajištění od teorie k praxi“. Deriváty: Modely na modelech . Wiley. ISBN 978-0-470-01322-9. Kniha přináší řadu historických odkazů podporujících teorii, že obchodníci s opcemi používají mnohem robustnější principy zajišťování a oceňování než model Black, Scholes a Merton.
• Triana, Pablo (2009). Přednášení ptáků o létání: Mohou matematické teorie zničit finanční trhy? . Wiley. ISBN 978-0-470-40675-5. Kniha kriticky pohlíží na model Blacka, Scholese a Mertona.

externí odkazy

Diskuse o modelu

• Ajay Shah. Black, Merton a Scholes: Jejich práce a její důsledky. Ekonomický a politický týdeník, XXXII (52): 3337–3342, prosinec 1997
• Matematické rovnice, která způsobila banky zhroucení by Ian Stewart v The Observer , 12.02.2012
• Když se nemůžete nepřetržitě zajišťovat: Opravy Black -Scholese , Emanuel Derman
• The Skinny On Options TastyTrade Show (archivy)

Odvození a řešení

• Odvození Black -Scholesovy rovnice pro hodnotu opce , prof. Thayer Watkins
• Řešení Black – Scholesovy rovnice pomocí Greenovy funkce , prof. Dennis Silverman
• Řešení pomocí rizikově neutrálních cen nebo prostřednictvím přístupu PDE pomocí Fourierových transformací (zahrnuje diskusi o dalších typech opcí), Simon Leger
• Krok za krokem řešení Black – Scholes PDE , planetmath.org.
• Článek o Black -Scholesově rovnici od matematika Terence Tao .

Počítačové implementace

• Black -Scholes ve více jazycích
• Black – Scholes v Javě -přesun na odkaz níže -
• Black – Scholes v Javě
• Chicagský model oceňování opcí (grafická verze)
• Black -Scholes – Merton Implied Volatility Surface Model (Java)
• Online kalkulačka Black -Scholes

Historický

• Sázka na bilion dolarů - web doprovázející epizodu Nova původně vysílanou 8. února 2000. „Film vypráví fascinující příběh vynálezu Black -Scholesovy formule, matematického svatého grálu, který navždy změnil svět financí a získal tvůrci Nobelovy ceny za ekonomii z roku 1997 “.
• BBC Horizon Televizní program o takzvané Midasově formuli a bankrotu správy dlouhodobého kapitálu (LTCM)
• BBC News Magazine Black – Scholes: Matematický vzorec spojený s finančním krachem (článek z 27. dubna 2012)