Blochovy rovnice - Bloch equations

Ve fyzice a chemii, konkrétně v nukleární magnetické rezonanci (NMR), magnetické rezonanci (MRI) a elektronové spinové rezonanci (ESR), jsou Blochovy rovnice souborem makroskopických rovnic, které se používají k výpočtu nukleární magnetizace M = ( M _x , M _y , M _z ) jako funkce času, když jsou přítomny relaxační časy T ₁ a T ₂ . Jedná se o fenomenologické rovnice, které zavedl Felix Bloch v roce 1946. Někdy se jim říká pohybové rovnice nukleární magnetizace. Jsou analogické s Maxwellovými-Blochovými rovnicemi .

V laboratorním (stacionárním) referenčním rámci

Pod účinkem vnějšího pole B se magnetizační vektor M uvolní do své rovnovážné konfigurace předcházejícím kolem magnetického pole.

Nechť M ( t ) = ( M _x ( t ), M _y ( t ), M _z ( t )) je nukleární magnetizace. Potom Blochovy rovnice četly:

${\ displaystyle {\ frac {dM_ {x} (t)} {dt}} = \ gamma (\ mathbf {M} (t) \ times \ mathbf {B} (t)) _ {x} - {\ frac {M_ {x} (t)} {T_ {2}}}}$

${\ displaystyle {\ frac {dM_ {y} (t)} {dt}} = \ gamma (\ mathbf {M} (t) \ times \ mathbf {B} (t)) _ {y} - {\ frac {M_ {y} (t)} {T_ {2}}}}$

${\ displaystyle {\ frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = \ gamma (\ mathbf {M} (t) \ times \ mathbf {B} (t)) _ {z} - {\ frac {M_ {z} (t) -M_ {0}} {T_ {1}}}}$

kde γ je gyromagnetický poměr a B ( t ) = ( B _x ( t ), B _y ( t ), B ₀ + Δ B _z (t)) je magnetické pole prožívané jádry. Složka z magnetického pole B se někdy skládá ze dvou členů:

• jedna, B ₀ , je konstantní v čase,
• druhý, Δ B _z (t), mohou být závislé na čase. Je přítomen v zobrazování magnetickou rezonancí a pomáhá s prostorovým dekódováním signálu NMR.

M ( t ) × B ( t ) je součin těchto dvou vektorů. M ₀ je nukleární magnetizace v ustáleném stavu (tj. Například když t → ∞); je ve směru z .

Fyzické pozadí

Bez relaxace (tj. T ₁ i T ₂ → ∞) se výše uvedené rovnice zjednodušují na:

${\ displaystyle {\ frac {dM_ {x} (t)} {dt}} = \ gamma (\ mathbf {M} (t) \ times \ mathbf {B} (t)) _ {x}}$

${\ displaystyle {\ frac {dM_ {y} (t)} {dt}} = \ gamma (\ mathbf {M} (t) \ times \ mathbf {B} (t)) _ {y}}$

${\ displaystyle {\ frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = \ gamma (\ mathbf {M} (t) \ times \ mathbf {B} (t)) _ {z}}$

nebo ve vektorové notaci:

${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {M} (t)} {dt}} = \ gamma \ mathbf {M} (t) \ krát \ mathbf {B} (t)}$

To je rovnice pro Larmor precese jaderné magnetizace M do vnějšího magnetického pole B .

Relaxační podmínky,

${\ displaystyle \ left (- {\ frac {M_ {x}} {T_ {2}}}, - {\ frac {M_ {y}} {T_ {2}}}, - {\ frac {M_ {z } -M_ {0}} {T_ {1}}} \ vpravo)}$

představují zavedenou fyzikální proces příčné a podélné relaxace jaderné magnetizace M .

Jako makroskopické rovnice

Tyto rovnice nejsou mikroskopické : nepopisují pohybovou rovnici jednotlivých nukleárních magnetických momentů. Ty jsou řízeny a popsány zákony kvantové mechaniky .

Blochovy rovnice jsou makroskopické : popisují pohybové rovnice makroskopické nukleární magnetizace, které lze získat sečtením veškerého nukleárního magnetického momentu ve vzorku.

Alternativní formy

Otevření závorek vektorových produktů v Blochových rovnicích vede k:

${\ displaystyle {\ frac {dM_ {x} (t)} {dt}} = \ gamma \ vlevo (M_ {y} (t) B_ {z} (t) -M_ {z} (t) B_ {y } (t) \ right) - {\ frac {M_ {x} (t)} {T_ {2}}}}$

${\ displaystyle {\ frac {dM_ {y} (t)} {dt}} = \ gamma \ vlevo (M_ {z} (t) B_ {x} (t) -M_ {x} (t) B_ {z } (t) \ right) - {\ frac {M_ {y} (t)} {T_ {2}}}}$

${\ displaystyle {\ frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = \ gamma \ vlevo (M_ {x} (t) B_ {y} (t) -M_ {y} (t) B_ {x } (t) \ right) - {\ frac {M_ {z} (t) -M_ {0}} {T_ {1}}}}$

Výše uvedená forma je dále zjednodušena za předpokladu

${\ displaystyle M_ {xy} = M_ {x} + iM_ {y} {\ text {a}} B_ {xy} = B_ {x} + iB_ {y} \,}$

kde i = √ -1 . Po nějaké algebře jeden získá:

${\ displaystyle {\ frac {dM_ {xy} (t)} {dt}} = - i \ gamma \ vlevo (M_ {xy} (t) B_ {z} (t) -M_ {z} (t) B_ {xy} (t) \ right) - {\ frac {M_ {xy} (t)} {T_ {2}}}}$ .

${\ displaystyle {\ frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = i {\ frac {\ gamma} {2}} \ vlevo (M_ {xy} (t) {\ overline {B_ {xy} (t)}} - {\ overline {M_ {xy}}} (t) B_ {xy} (t) \ right) - {\ frac {M_ {z} (t) -M_ {0}} {T_ { 1}}}}$

kde

${\ displaystyle {\ overline {M_ {xy}}} = M_ {x} -iM_ {y}}$ .

je komplexní konjugát M _xy . Skutečná a imaginární část M _xy odpovídá M _x a M _y . M _xy se někdy nazývá příčná nukleární magnetizace .

Maticová forma

Blochovy rovnice lze přepracovat pomocí zápisu matice-vektor:

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ vlevo ({\ begin {pole} {c} M_ {x} \\ M_ {y} \\ M_ {z} \ end {pole}} \ vpravo) = \ left ({\ begin {array} {ccc} - {\ frac {1} {T_ {2}}} & \ gamma B_ {z} & - \ gamma B_ {y} \\ - \ gamma B_ {z } & - {\ frac {1} {T_ {2}}} & \ gamma B_ {x} \\\ gamma B_ {y} & - \ gamma B_ {x} & - {\ frac {1} {T_ { 1}}} \ end {array}} \ right) \ left ({\ begin {array} {c} M_ {x} \\ M_ {y} \\ M_ {z} \ end {array}} \ right) + \ left ({\ begin {array} {c} 0 \\ 0 \\ {\ frac {M_ {0}} {T_ {1}}} \ end {array}} \ right)}$

V otočném referenčním rámci

V rotující referenční rámec, je snazší pochopit chování jaderné magnetizace M . To je motivace:

Řešení Blochových rovnic s T ₁ , T ₂ → ∞

Předpokládat, že:

• při t = 0 prochází příčná nukleární magnetizace M _xy (0) konstantním magnetickým polem B ( t ) = (0, 0, B ₀ );
• B ₀ je kladné;
• neexistují žádné podélné a příčné relaxace (tj. T ₁ a T ₂ → ∞).

Pak jsou Blochovy rovnice zjednodušeny na:

${\ displaystyle {\ frac {dM_ {xy} (t)} {dt}} = - i \ gamma M_ {xy} (t) B_ {0}}$ ,

${\ displaystyle {\ frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = 0}$ .

Jedná se o dvě (nespojené) lineární diferenciální rovnice . Jejich řešení je:

${\ displaystyle M_ {xy} (t) = M_ {xy} (0) e ^ {- i \ gamma B_ {0} t}}$ ,

${\ displaystyle M_ {z} (t) = M_ {0} = {\ text {const}} \,}$ .

Příčná magnetizace M _xy se tedy otáčí kolem osy z s úhlovou frekvencí ω ₀ = γ B ₀ ve směru hodinových ručiček (je to kvůli zápornému znaménku v exponentu). Podélná magnetizace, M _z zůstává časově konstantní. Takto se příčná magnetizace jeví jako pozorovatel v laboratorním referenčním rámci (tj. Se stacionárním pozorovatelem ).

M _xy ( t ) se převádí následujícím způsobem na pozorovatelná množství M _x ( t ) a M _y ( t ):

${\ displaystyle M_ {xy} (t) = M_ {xy} (0) e ^ {- i \ gamma B_ {z0} t} = M_ {xy} (0) \ left [\ cos (\ omega _ {0 } t) -i \ sin (\ omega _ {0} t) \ vpravo]}$

pak

${\ displaystyle M_ {x} (t) = {\ text {Re}} \ vlevo (M_ {xy} (t) \ vpravo) = M_ {xy} (0) \ cos (\ omega _ {0} t) }$ ,

${\ displaystyle M_ {y} (t) = {\ text {Im}} \ vlevo (M_ {xy} (t) \ vpravo) = - M_ {xy} (0) \ sin (\ omega _ {0} t )}$ ,

kde Re ( z ) a Im ( z ) jsou funkce, které vracejí skutečnou a imaginární část komplexního čísla z . V tomto výpočtu se předpokládalo, že M _xy (0) je reálné číslo.

Transformace na rotující referenční rámec

Toto je závěr předchozí části: v konstantním magnetickém poli B ₀ podél osy z se příčná magnetizace M _xy otáčí kolem této osy ve směru hodinových ručiček s úhlovou frekvencí ω ₀ . Pokud by se pozorovatel otáčel kolem stejné osy ve směru hodinových ručiček s úhlovou frekvencí Ω, M _xy, zdálo by se jí, že se otáčí s úhlovou frekvencí ω ₀ - Ω. Konkrétně, pokud by se pozorovatel otáčel kolem stejné osy ve směru hodinových ručiček s úhlovou frekvencí ω ₀ , příčná magnetizace M _xy by se jí jevila nehybná.

To lze vyjádřit matematicky následujícím způsobem:

• Nechť ( x , y , z ) kartézský souřadnicový systém laboratorního (nebo stacionárního ) referenčního rámce a
• ( X ', y ', z ') = ( x ', y ', z ) je kartézský souřadnicový systém, který je otočný kolem na Z osu laboratorní referenčního rámce s úhlovou frekvencí co. Tomu se říká otočný referenční rámec . Fyzické proměnné v tomto referenčním rámci budou označeny prvočíslem.

Očividně:

${\ displaystyle M_ {z} '(t) = M_ {z} (t) \,}$ .

Co je M _xy ′ ( t )? Vyjádření argumentu na začátku této části matematickým způsobem:

${\ displaystyle M_ {xy} '(t) = e ^ {+ i \ Omega t} M_ {xy} (t) \,}$ .

Pohybová rovnice příčné magnetizace v rotujícím referenčním rámci

Jaká je pohybová rovnice M _xy ′ ( t )?

${\ displaystyle {\ frac {dM_ {xy} '(t)} {dt}} = {\ frac {d \ left (M_ {xy} (t) e ^ {+ i \ Omega t} \ right)} { dt}} = e ^ {+ i \ Omega t} {\ frac {dM_ {xy} (t)} {dt}} + i \ Omega e ^ {+ i \ Omega t} M_ {xy} (t) = e ^ {+ i \ Omega t} {\ frac {dM_ {xy} (t)} {dt}} + i \ Omega M_ {xy} '(t)}$

Náhrada z Blochovy rovnice v laboratorním referenčním rámci:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ frac {dM_ {xy} '(t)} {dt}} & = e ^ {+ i \ Omega t} \ left [-i \ gamma \ left (M_ {xy } (t) B_ {z} (t) -M_ {z} (t) B_ {xy} (t) \ right) - {\ frac {M_ {xy} (t)} {T_ {2}}} \ right] + i \ Omega M_ {xy} '(t) \\ & = \ left [-i \ gamma \ left (M_ {xy} (t) e ^ {+ i \ Omega t} B_ {z} (t ) -M_ {z} (t) B_ {xy} (t) e ^ {+ i \ Omega t} \ vpravo) - {\ frac {M_ {xy} (t) e ^ {+ i \ Omega t}} {T_ {2}}} \ vpravo] + i \ Omega M_ {xy} '(t) \\ & = - i \ gamma \ left (M_ {xy}' (t) B_ {z} (t) -M_ {z} (t) B_ {xy} '(t) \ right) + i \ Omega M_ {xy}' (t) - {\ frac {M_ {xy} '(t)} {T_ {2}}} \\\ end {zarovnáno}}}$

Ale za předpokladu v předchozí části: B _z ′ ( t ) = B _z ( t ) = B ₀ + Δ B _z ( t ) a M _z ( t ) = M _z ′ ( t ). Dosazení do výše uvedené rovnice:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ frac {dM_ {xy} '(t)} {dt}} & = - i \ gamma \ left (M_ {xy}' (t) (B_ {0} + \ Delta B_ {z} (t)) - M_ {z} '(t) B_ {xy}' (t) \ right) + i \ Omega M_ {xy} '(t) - {\ frac {M_ {xy} '(t)} {T_ {2}}} \\ & = - i \ gamma B_ {0} M_ {xy}' (t) -i \ gamma \ Delta B_ {z} (t) M_ {xy} ' (t) + i \ gamma B_ {xy} '(t) M_ {z}' (t) + i \ Omega M_ {xy} '(t) - {\ frac {M_ {xy}' (t)} { T_ {2}}} \\ & = i (\ Omega - \ omega _ {0}) M_ {xy} '(t) -i \ gamma \ Delta B_ {z} (t) M_ {xy}' (t ) + i \ gamma B_ {xy} '(t) M_ {z}' (t) - {\ frac {M_ {xy} '(t)} {T_ {2}}} \\\ end {zarovnáno}} }$

To je význam termínů na pravé straně této rovnice:

• i (Ω - ω ₀ ) M _xy ′ ( t ) je Larmorův člen v referenčním rámci rotující s úhlovou frekvencí Ω. Všimněte si, že se stane nulou, když Ω = ω ₀ .
• Termín - i γ Δ B _z ( t ) M _xy ′ ( t ) popisuje účinek nehomogenity magnetického pole (vyjádřený Δ B _z ( t )) na příčnou nukleární magnetizaci; používá se k vysvětlení T ₂ ^* . Je to také pojem, který stojí za MRI : je generován systémem gradientních cívek.
• I γ B _xy '( t ) M _z ( t ) popisuje účinek RF pole (v B _xy ' ( t ) faktor) v oblasti jaderné magnetizace. Příklad viz níže.
• - M _xy ′ ( t ) / T ₂ popisuje ztrátu koherence příčné magnetizace.

Podobně je pohybová rovnice M _z v rotujícím referenčním rámci:

${\ displaystyle {\ frac {dM_ {z} '(t)} {dt}} = i {\ frac {\ gamma} {2}} \ left (M' _ {xy} (t) {\ overline {B '_ {xy} (t)}} - {\ overline {M' _ {xy}}} (t) B '_ {xy} (t) \ right) - {\ frac {M_ {z} -M_ { 0}} {T_ {1}}}}$

Časově nezávislá forma rovnic v rotujícím referenčním rámci

Pokud má externí pole tvar:

${\ displaystyle B_ {x} (t) = B_ {1} \ cos \ omega t}$

${\ displaystyle B_ {y} (t) = - B_ {1} \ sin \ omega t}$

${\ displaystyle B_ {z} (t) = B_ {0}}$ ,

Definujeme:

${\ displaystyle \ epsilon = \ gamma B_ {1}}$ a: , ${\ displaystyle \ Delta = \ gamma B_ {0} - \ omega}$

a get (v notaci matice-vektor):

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ vlevo ({\ begin {pole} {c} M '_ {x} \\ M' _ {y} \\ M '_ {z} \ end { array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {ccc} - {\ frac {1} {T_ {2}}} & \ Delta & 0 \\ - \ Delta & - {\ frac {1} {T_ {2}}} & \ epsilon \\ 0 & - \ epsilon & - {\ frac {1} {T_ {1}}} \ end {array}} \ right) \ left ({\ begin {array} { c} M '_ {x} \\ M' _ {y} \\ M '_ {z} \ end {pole}} \ doprava) + \ doleva ({\ start {pole} {c} 0 \\ 0 \\ {\ frac {M_ {0}} {T_ {1}}} \ end {pole}} \ vpravo)}$

Jednoduchá řešení

Uvolnění příčné nukleární magnetizace M _xy

Předpokládat, že:

• Jaderný magnetizace je vystavena konstantním vnějším magnetickým polem v z směru B _Z '( t ) = B _z ( t ) = B ₀ . Tudíž ω ₀ = γ B ₀ a Δ B _z ( t ) = 0.
• Neexistuje žádný RF, to je B _xy '= 0.
• Rotující referenční rámec se otáčí s úhlovou frekvencí Ω = ω ₀ .

Potom v rotačním referenčním rámci se pohybová rovnice pro příčnou nukleární magnetizaci M _xy '( t ) zjednoduší na:

${\ displaystyle {\ frac {dM_ {xy} '(t)} {dt}} = - {\ frac {M_ {xy}'} {T_ {2}}}}$

Toto je lineární obyčejná diferenciální rovnice a její řešení je

${\ displaystyle M_ {xy} '(t) = M_ {xy}' (0) e ^ {- t / T_ {2}}}$ .

kde M _xy '(0) je příčná nukleární magnetizace v rotujícím rámu v čase t = 0. Toto je počáteční podmínka pro diferenciální rovnici.

Všimněte si, že když se rotující referenční rámec otáčí přesně na Larmorově frekvenci (to je fyzikální význam výše uvedeného předpokladu Ω = ω ₀ ), vektor příčné nukleární magnetizace, M _xy ( t ) se jeví jako stacionární.

Uvolnění podélné nukleární magnetizace M _z

Předpokládat, že:

• Jaderný magnetizace je vystavena konstantním vnějším magnetickým polem v z směru B _Z '( t ) = B _z ( t ) = B ₀ . Tudíž ω ₀ = γ B ₀ a Δ B _z ( t ) = 0.
• Neexistuje žádný RF, to je B _xy '= 0.
• Rotující referenční rámec se otáčí s úhlovou frekvencí Ω = ω ₀ .

Pak v rotačním referenčním rámci, pohybová rovnice pro podélnou nukleární magnetizaci, M _z ( t ) zjednodušuje:

${\ displaystyle {\ frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = - {\ frac {M_ {z} (t) -M_ {z, \ mathrm {eq}}} {T_ {1}} }}$

Toto je lineární obyčejná diferenciální rovnice a její řešení je

${\ displaystyle M_ {z} (t) = M_ {z, \ mathrm {eq}} - [M_ {z, \ mathrm {eq}} -M_ {z} (0)] e ^ {- t / T_ { 1}}}$

kde M _z (0) je podélná nukleární magnetizace v rotujícím rámu v čase t = 0. Toto je počáteční podmínka pro diferenciální rovnici.

90 a 180 ° RF pulsy

Předpokládat, že:

• Jaderná magnetizace je vystavena stálému vnějšímu magnetickému poli ve směru z B _z ′ ( t ) = B _z ( t ) = B ₀ . Tudíž ω ₀ = γ B ₀ a Δ B _z ( t ) = 0.
• Při t = ₀ se aplikuje RF puls konstantní amplitudy a frekvence ω ₀ . To je B ' _xy ( t ) = B' _xy je konstantní. Doba trvání tohoto pulzu je τ.
• Rotující referenční rámec se otáčí s úhlovou frekvencí Ω = ω ₀ .
• T ₁ a T ₂ → ∞. Prakticky to znamená, že τ ≪ T ₁ a T ₂ .

Pak pro 0 ≤ t ≤ τ:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ frac {dM_ {xy} '(t)} {dt}} = i \ gamma B_ {xy}' M_ {z} (t) \ end {aligned}}}$

${\ displaystyle {\ frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = i {\ frac {\ gamma} {2}} \ left (M '_ {xy} (t) {\ overline {B' _ {xy}}} - {\ overline {M '_ {xy}}} (t) B' _ {xy} \ right)}$

Viz také

• Bloch-Torrey rovnice je zobecněním rovnic Bloch, který zahrnuje přidány podmínky v důsledku převodu magnetizace difúzí.

Reference

Další čtení

• Charles Kittel , Úvod do fyziky pevných látek , John Wiley & Sons, 8. vydání (2004), ISBN   978-0-471-41526-8 . Kapitola 13 je věnována magnetické rezonanci.