Booleanova ideální ideální věta - Boolean prime ideal theorem

V matematice je Booleanova věta ideálu primární, která říká, že ideály v booleovské algebře lze rozšířit na primární ideály . Variace tohoto tvrzení pro filtry na sadách je známá jako ultrafiltrové lemma . Další věty se získají zvážením různých matematických struktur s příslušnými představami ideálů, například prstenů a primárních ideálů (teorie prstenů) nebo distribučních mřížek a maximálních ideálů ( teorie řádu ). Tento článek se zaměřuje na primární ideální věty z teorie řádu.

Ačkoli různé prvotní ideální věty mohou vypadat jednoduše a intuitivně, nelze je obecně odvodit z axiomů teorie množin Zermelo – Fraenkel bez axiomu volby (zkráceně ZF). Místo toho se některá tvrzení ukázala být ekvivalentní axiomu volby (AC), zatímco jiná - například booleovská věta o ideálním ideálu - představují vlastnost, která je přísněji slabší než AC. Díky tomuto přechodnému stavu mezi ZF a ZF + AC (ZFC) je booleovská ideální ideální věta často brána jako axiom teorie množin. K tomuto dodatečnému axiomu se někdy používají zkratky BPI nebo PIT (pro booleovské algebry).

Prvořadé ideální věty

Pořadí Ideální je (neprázdný) směřuje spodní sady . Pokud uvažovaná částečně uspořádaná množina (poset) má binární suprema (aka spojuje ), stejně jako posety v tomto článku, pak je to ekvivalentně charakterizováno jako neprázdná dolní množina I, která je uzavřena pro binární suprema (to znamená, implikuje ) . Ideál I je primární, pokud jeho set-teoretický doplněk v sadě je filtr (tj. Implikuje nebo ). Ideály jsou správné, pokud nejsou stejné jako celá sada.

Historicky první prohlášení týkající se pozdějších primárních ideálních vět se ve skutečnosti týkalo filtrů - podmnožin, které jsou ideály s ohledem na dvojí řád. Lema ultrafiltra uvádí, že každý filtr na sadě je obsažen v nějakém maximálním (správném) filtru - ultrafiltru . Připomeňme si, že filtry na sadách jsou správné filtry booleovské algebry její mocniny . V tomto speciálním případě se shodují maximální filtry (tj. Filtry, které nejsou přísnými podmnožinami žádného správného filtru) a primární filtry (tj. Filtry, které s každým spojením podmnožin X a Y obsahují také X nebo Y ). Duál tohoto tvrzení tedy zajišťuje, že každý ideál sady sil je obsažen v primárním ideálu.

Výše uvedené tvrzení vedlo k různým generalizovaným primárním ideálním větám, z nichž každá existuje ve slabé a silné formě. Slabé věty primárních ideálů uvádějí, že každá netriviální algebra určité třídy má alespoň jeden primární ideál. Naproti tomu silné věty primárního ideálu vyžadují, aby každý ideál, který je od daného filtru disjunktní, mohl být rozšířen na primární ideál, který je od tohoto filtru stále disjunktní. V případě algeber, které nejsou posety, se místo filtrů používá jiná substruktura. Mnoho forem těchto vět je ve skutečnosti známo, že jsou ekvivalentní, takže tvrzení, že platí „PIT“, je obvykle bráno jako tvrzení, že odpovídající tvrzení pro booleovské algebry (BPI) je platné.

Další variace podobných vět je získána tím, že nahradí každý výskyt primárního ideálu o maximální ideální . Odpovídající maximální ideální věty (MIT) jsou často - i když ne vždy - silnější než jejich ekvivalenty PIT.

Booleova primární ideální věta

Booleova primární ideální věta je silná primární ideální věta pro booleovské algebry. Formální prohlášení tedy zní:

Nechť B je booleovská algebra, nechť jsem ideál a F je filtr B , takže I a F jsou disjunktní . Pak jsem je obsažena v nějaké primární ideál B , které je disjunktní od F .

Slabá primární ideální věta pro booleovské algebry jednoduše uvádí:

Každá booleovská algebra obsahuje prvotní ideál.

Tyto výroky označujeme jako slabé a silné BPI . Tyto dva jsou ekvivalentní, protože silný BPI jasně naznačuje slabý BPI a reverzní implikace lze dosáhnout použitím slabého BPI k nalezení primárních ideálů v příslušné kvocientové algebře.

BPI lze vyjádřit různými způsoby. Za tímto účelem si připomeňte následující větu:

Pro jakýkoli ideální I booleovské algebry B jsou následující ekvivalentní:

  • Jsem prvotní ideál.
  • I je maximální ideální, tedy pro jakékoli řádné ideální J , pokud I je obsažena v J pak I = J .
  • Pro každý prvek A části B , I obsahuje přesně jeden z { , ¬ }.

Tato věta je dobře známá skutečnost pro booleovské algebry. Jeho duální zajišťuje rovnocennost primárních filtrů a ultrafiltrů. Všimněte si, že poslední vlastnost je ve skutečnosti duální-pouze předchozí předpoklad, že já jsem ideál, dává plnou charakteristiku. Všechny implikace v rámci této věty lze prokázat v ZF.

Následující (silná) maximální ideální věta (MIT) pro booleovské algebry je tedy ekvivalentní BPI:

Nechť B je booleovská algebra, nechť jsem ideál a F je filtr B , takže I a F jsou disjunktní. Pak jsem je obsažen v určitém maximálním ideálu B , které je disjunktní od F .

Všimněte si, že jeden vyžaduje „globální“ maximality, nikoliv jen maximality ve vztahu k bytí disjoint od F . Přesto tato variace přináší další ekvivalentní charakterizaci BPI:

Nechť B je booleovská algebra, nechť jsem ideál a F je filtr B , takže I a F jsou disjunktní. Pak jsem je obsažen v nějakém ideálu B , která je maximální mezi všemi Ideály disjunktních z F .

Skutečnost, že toto tvrzení je ekvivalentní BPI, lze snadno zjistit pomocí následující věty: Pokud je pro jakoukoli distribuční mřížku L ideál I maximální mezi všemi ideály L, které jsou disjunktní k danému filtru F , pak I je primární ideál . Důkaz pro toto tvrzení (který lze opět provést v teorii množin ZF) je obsažen v článku o ideálech. Protože jakákoli booleovská algebra je distribuční mřížkou, ukazuje to požadovanou implikaci.

Všechna výše uvedená tvrzení jsou nyní snadno viditelná jako ekvivalentní. Když půjdeme ještě dále, lze využít fakt, že duální řády booleovských algeber jsou přesně booleovské algebry samy. Když tedy vezmeme ekvivalentní duály všech dřívějších výroků, jeden skončí s řadou vět, které stejně platí pro booleovské algebry, ale kde každý výskyt ideálu je nahrazen filtrem . Stojí za zmínku, že ve zvláštním případě, kde je uvažovaná booleovská algebra mocninnou sadou s uspořádáním podmnožiny , se „maximální filtrační věta“ nazývá ultrafiltrové lemma.

Když to shrneme, pro booleovské algebry jsou slabý a silný MIT, slabý a silný PIT a tato prohlášení s filtry místo ideálů ekvivalentní. Je známo, že všechna tato tvrzení jsou důsledky Axiom of Choice , AC , (snadný důkaz využívá Zornovo lemma ), ale nelze je dokázat v ZF (teorie množin Zermelo-Fraenkel bez AC ), pokud je ZF konzistentní . Přesto je BPI přísně slabší než zvolený axiom, ačkoli důkaz tohoto tvrzení je kvůli JD Halpernovi a Azrielovi Lévyovi spíše netriviální.

Další prvotní ideální věty

Prototypové vlastnosti, které byly diskutovány pro booleovské algebry ve výše uvedené části, lze snadno upravit tak, aby zahrnovaly obecnější mřížky , jako jsou distribuční mřížky nebo Heytingovy algebry . V těchto případech se však maximální ideály liší od hlavních ideálů a vztah mezi PIT a MIT není zřejmý.

Skutečně se ukazuje, že MIT pro distribuční mřížky a dokonce i pro Heytingovy algebry jsou ekvivalentní axiomu volby. Na druhé straně je známo, že silný PIT pro distribuční mřížky je ekvivalentní BPI (tj. MIT a PIT pro booleovské algebry). Toto tvrzení je tedy přísněji slabší než axiom volby. Dále si všimněte, že Heytingovy algebry nejsou duální, a proto použití filtrů místo ideálů přináší v tomto nastavení různé věty. Možná překvapivě, MIT pro duály Heytingových algeber není silnější než BPI, což je v ostrém kontrastu k výše uvedenému MIT pro Heyting algebry.

Nakonec, ideální ideální věty existují i ​​pro jiné (nikoli řádově teoretické) abstraktní algebry. Například MIT pro prsteny implikuje axiom volby. Tato situace vyžaduje nahradit teoreticko-poradový termín „filtr“ jinými pojmy-pro prsteny je vhodná „multiplikačně uzavřená podmnožina“.

Ultrafiltrové lemma

Filtr na sadě X je neprázdná kolekce neprázdných podmnožin X, která je uzavřena pod konečným průsečíkem a pod nadmnožinou. Ultrafiltr je maximální filtr. Tyto ultrafilter lemma uvádí, že každý filtr na scéně X je podmnožina nějakého ultrafiltrem na X . Ultrafiltr, který neobsahuje konečné množiny, se nazývá „non-principal“. Ultrafiltrové lemma, a zejména existence nepodstatných ultrafiltrů (zvažte filtr všech sad s konečnými doplňky), lze prokázat pomocí Zornova lemmatu .

Ultrafiltrové lemma je ekvivalentní Booleově primární ideální větě, přičemž ekvivalence je prokazatelná v teorii množin ZF bez zvoleného axiomu. Myšlenkou důkazu je, že podmnožiny jakékoli množiny tvoří booleovskou algebru částečně seřazenou zařazením a jakoukoli booleovskou algebru lze reprezentovat jako algebru množin Stoneovou reprezentační větou .

Pokud je množina X konečná, pak ultrafiltrační lemma lze prokázat z axiomů ZF. To již neplatí pro nekonečné množiny; je třeba předpokládat další axiom . K prokázání ultrafiltrového lemmatu lze použít Zornovo lemma , zvolený axiom a Tychonoffovu větu . Lem ultrafiltra je přísně slabší než zvolený axiom.

Ultrafiltrové lemma má mnoho aplikací v topologii . Ultrafiltrové lemma lze použít k prokázání Hahn-Banachovy věty a Alexandrovy věty o základně .

Aplikace

Booleanova věta ideálu primární idey intuitivně uvádí, že v booleovské algebře existuje „dost“ prvotních ideálů v tom smyslu, že každý ideál můžeme rozšířit na maximální. To má praktický význam pro prokázání Stoneovy reprezentační věty pro booleovské algebry , což je zvláštní případ kamenné duality , ve kterém je sada všech hlavních ideálů vybavena určitou topologií a lze z ní skutečně získat původní booleovskou algebru ( až do izomorfismu ) data. Kromě toho se ukazuje, že v aplikacích se člověk může svobodně rozhodnout, zda bude pracovat s primárními ideály nebo s primárními filtry, protože každý ideál jedinečně určuje filtr: soubor všech booleovských doplňků jeho prvků. Oba přístupy se nacházejí v literatuře.

Mnoho dalších teorémů obecné topologie, o nichž se často říká, že spoléhají na axiom výběru, je ve skutečnosti ekvivalentní BPI. Například věta, že produkt kompaktních Hausdorffových prostorů je kompaktní, je jí ekvivalentní. Pokud pomineme „Hausdorff“, dostaneme větu ekvivalentní plnému axiomu volby.

V teorii grafů je de Bruijn – Erdősova věta dalším ekvivalentem BPI. Uvádí, že pokud daný nekonečný graf vyžaduje alespoň nějaké konečné číslo k v jakémkoli zbarvení grafu , pak má konečný podgraf, který také vyžaduje k .

Nepříliš známou aplikací booleovské primární ideální věty je existence neměřitelné množiny (obvykle uváděný příklad je Vitaliho množina , která vyžaduje zvolený axiom). Z toho a ze skutečnosti, že BPI je přísně slabší než zvolený axiom, vyplývá, že existence neměřitelných množin je přísně slabší než axiom výběru.

V lineární algebře lze pomocí Booleovy primární ideální věty dokázat, že jakékoli dvě báze v daném vektorovém prostoru mají stejnou mohutnost .

Viz také

Poznámky

Reference

Snadno čitelný úvod ukazující ekvivalenci PIT pro booleovské algebry a distribuční mřížky.
Teorie v této knize často vyžaduje zásady výběru. Poznámky k různým kapitolám pojednávají o obecném vztahu vět k PIT a MIT pro různé struktury (i když většinou mříže) a naznačují další literaturu.
Diskutuje o stavu ultrafiltrového lemmatu.
Poskytuje mnoho ekvivalentních příkazů pro BPI, včetně primárních ideálních vět pro jiné algebraické struktury. PIT jsou považovány za zvláštní případy separačních lemmat.