Ohraničená sada - Bounded set
- „Ohraničené“ a „hranice“ jsou odlišné pojmy; pro druhé viz hranice (topologie) . Kruh v izolaci je boundaryless omezená sada, zatímco polovina rovina je neomezená, ale má hranici.
V matematické analýze a souvisejících oblastech matematiky se množina nazývá ohraničená, pokud má v určitém smyslu konečnou velikost. Naopak neomezená množina se nazývá neomezená . Slovo „ohraničený“ nemá smysl v obecném topologickém prostoru bez odpovídající metriky .
Definice v reálných číslech
Sada S z reálných čísel se nazývá omezená shora , jestliže existuje nějaké reálné číslo k, (ne nutně v S ) tak, že k ≥ je pro všechny s v S . Číslo k se nazývá horní hranici ze S . Termíny ohraničené zespodu a spodní hranice jsou definovány podobně.
Sada S je ohraničená, pokud má horní i dolní mez. Proto je množina reálných čísel omezena, pokud je obsažena v konečném intervalu .
Definice v metrickém prostoru
Podmnožina S z metrického prostoru ( M , d ), je ohraničen v případě, že existuje r > 0 tak, že pro všechny s a t v S , máme d ( y , t ) < r . ( M , d ) je ohraničený metrický prostor (nebo d je ohraničená metrika), pokud je M ohraničeno jako podmnožina sebe sama.
- Celková omezenost znamená omezenost. Pro podmnožiny R n jsou dva ekvivalentní.
- Metrický prostor je kompaktní, právě když je úplný a zcela ohraničený.
- Podmnožina euklidovského prostoru R n je kompaktní právě tehdy, když je uzavřená a ohraničená.
Ohraničenost v topologických vektorových prostorech
V topologických vektorových prostorech existuje odlišná definice ohraničených množin, která se někdy nazývá von Neumannova ohraničenost . V případě, že topologie topologického vektorového prostoru je indukována metrika , která je homogenní , jak v případě, že metrika indukovaná normou z normovaných vektorových prostorů , pak dvě definice se shodují.
Omezenost v teorii řádu
Sada reálných čísel je omezena právě tehdy, má-li horní a dolní hranici. Tuto definici lze rozšířit na podmnožiny jakékoli částečně uspořádané množiny . Všimněte si, že tento obecnější koncept omezenosti neodpovídá pojmu „velikost“.
Podmnožina S z uspořádaná množina P se nazývá omezená shora v případě, že je prvek k oblasti P tak, že k ≥ je pro všechny s v S . Prvek k se nazývá horní hranici ze S . Pojmy omezené níže a dolní hranice jsou definovány podobně. (Viz také horní a dolní mez .)
Podmnožina S částečně uspořádané množiny P se nazývá omezená, pokud má horní i dolní hranici, nebo ekvivalentně, pokud je obsažena v intervalu . Všimněte si, že to není jen vlastnost množiny S , ale také jedním z množiny S jako podmnožina P .
Ohraničené poset P (který je sám o sobě, a ne jako podmnožina), je ten, který má nejméně elementu a největší element . Všimněte si, že tento koncept ohraničenosti nemá nic společného s konečnou velikostí a že podmnožina S ohraničené posety P, která jako objednávka omezení řádu na P není nutně ohraničenou posetou.
Podmnožina S z R n je ohraničena vzhledem k euklidovské vzdálenosti právě tehdy, je-li omezena jako podmnožina R n s objednávkou produktu . Nicméně, S může být ohraničena jako podmnožina R n s lexikografické uspořádání , ale nikoli s ohledem na euklidovské vzdálenosti.
O třídě pořadových čísel se říká, že jsou neomezené, nebo o kofinále , když je dán jakýkoli pořadové číslo, vždy je nějaký prvek třídy větší než on. V tomto případě tedy „neomezený“ neznamená neomezený sám o sobě, ale neomezený jako podtřída třídy všech řadových čísel.
Viz také
Reference
- Bartle, Robert G .; Sherbert, Donald R. (1982). Úvod do reálné analýzy . New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-05944-7 .
- Richtmyer, Robert D. (1978). Principy pokročilé matematické fyziky . New York: Springer. ISBN 0-387-08873-3 .