Braggův zákon - Bragg's law

Ve fyzice , Braggův zákon , Wulff stav -Bragg je nebo interference Laue-Bragg , zvláštní případ Laue difrakce dává úhly pro koherentní rozptyl vln z krystalové mřížky. Zahrnuje superpozici vlnových front rozptýlených mřížkovými rovinami, což vede k přísnému vztahu mezi vlnovou délkou a rozptylovým úhlem, nebo jinak k přenosu vlnovodu s ohledem na krystalovou mřížku. Takový zákon byl původně formulován pro rentgenové paprsky na krystalech, ale je navíc relevantní pro všechny druhy kvantových paprsků, jako jsou neutronové a elektronové vlny na rozestupu atomů, a také pro vizuální světlo na umělých periodických mřížkách v měřítku.

Dějiny

Rentgenové paprsky interagují s atomy v krystalu .

Braggova difrakce (také označovaná jako Braggova formulace rentgenové difrakce ) byla poprvé navržena Lawrencem Braggem a jeho otcem Williamem Henrym Braggem v roce 1913 v reakci na jejich objev, že krystalické pevné látky vytvářejí překvapivé vzorce odražených rentgenových paprsků (na rozdíl od řekněme kapalina). Zjistili, že tyto krystaly při určitých specifických vlnových délkách a úhlech dopadu vytvářejí intenzivní vrcholy odraženého záření. Odvozený Braggův zákon je speciální interpretací Laueovy difrakce, kde Braggovi interpretovali konstruktivní Laue-Braggovu interferenci geometrickým způsobem odrazem vln z rovin krystalové mřížky, takže rozdíl cest se stává násobkem dopadající vlnové délky.

Podle odchylky 2 θ způsobí fázový posun konstruktivní (levý obrázek) nebo destruktivní (pravý obrázek) interference.

Lawrence Bragg vysvětlil tento výsledek modelováním krystalu jako sady diskrétních paralelních rovin oddělených konstantním parametrem d . Bylo navrženo, aby dopadající rentgenové záření vytvořilo Braggův vrchol, pokud by jejich odrazy od různých rovin konstruktivně interferovaly. Rušení je konstruktivní, když je fázový posun násobkem 2 $π$ ; tato podmínka může být vyjádřena Braggovým zákonem (viz část Braggova podmínka níže) a byla poprvé představena Lawrencem Braggem 11. listopadu 1912 Cambridgské filozofické společnosti . Ačkoli je to jednoduché, Braggův zákon potvrdil existenci skutečných částic v atomovém měřítku a také poskytl nový účinný nástroj pro studium krystalů ve formě rentgenové a neutronové difrakce. Lawrence Bragg a jeho otec William Henry Bragg získali v roce 1915 Nobelovu cenu za fyziku za práci při určování krystalových struktur počínaje NaCl , ZnS a diamantem . Jsou jediným týmem otce a syna, který společně vyhrál. Lawrenceovi Braggovi bylo 25 let a stal se tak nejmladším laureátem Nobelovy ceny za fyziku.

Koncept Braggovy difrakce platí stejně pro procesy neutronové difrakce a elektronové difrakce . Obě neutrony a rentgenové vlnové délky jsou srovnatelné s inter-atomové vzdálenosti (~ 150 pm), a tak jsou vynikající sonda pro tuto délku měřítku .

Vzhledem k jeho intuitivnímu zobrazení v přímém, nikoli recipročním prostoru je dnes Braggův zákon široce vyučován, pracuje v inverzních a polárních souřadnicových systémech (vlnová délka a úhel) bez ohledu na elegantní Laueův popis v lineárním recipročním prostoru, což vede k omezenému porozumění a složité formulaci vztahů odvozených teorií (tj. Williamson-Hallův děj).

Braggova podmínka

Braggova difrakce Dva paprsky se stejnou vlnovou délkou a fází se přibližují ke krystalické pevné látce a jsou v ní rozptýleny ze dvou různých atomů. Spodní paprsek prochází zvláštní délkou 2 d sin θ . Ke konstruktivní interferenci dochází, když se tato délka rovná celočíselnému násobku vlnové délky záření.

Braggova difrakce nastává, když záření o vlnové délce λ srovnatelné s atomovými rozestupy je rozptýleno zrcadlově (zrcadlově odrazem) atomy krystalického systému a podléhá konstruktivní interferenci. U krystalické pevné látky jsou vlny rozptýleny z mřížkových rovin oddělených vzdáleností d mezi po sobě jdoucími vrstvami atomů. Když rozptýlené vlny konstruktivně interferují , zůstávají ve fázi, odrazí se pouze tehdy, když dopadnou na povrch pod určitým úhlem, úhlem pohledu (optika) „θ“ (viz obrázek vpravo a všimněte si, že se to liší od konvence v Snellově zákon, kde θ se měří od normály povrchu), vlnová délka λ a „mřížková konstanta“ d krystalu spojeného vztahem:

{\ Displaystyle n \ lambda = 2d \ sin \ theta}

${\ displaystyle n}$ je difrakční pořadí ( je prvního řádu, je druhého řádu, je třetího řádu). Účinek konstruktivní nebo destruktivní interference se zesiluje kvůli kumulativnímu účinku odrazu v následných krystalografických rovinách ( h , k , l ) krystalické mřížky (jak popisuje Millerova notace ). To vede k Braggovu zákonu, který popisuje podmínku na θ, aby konstruktivní interference byla nejsilnější: ${\ displaystyle n = 1}$ ${\ displaystyle n = 2}$ ${\ displaystyle n = 3}$

Pohyblivé částice, včetně elektronů , protonů a neutronů , mají přidruženou vlnovou délku nazývanou de Broglieova vlnová délka . Difrakční obrazec se získá měřením intenzity rozptýlených vln jako funkce úhlu rozptylu. Velmi silné intenzity známé jako Braggovy vrcholy jsou získány v difrakčním obrazci v bodech, kde úhly rozptylu splňují Braggovu podmínku. Jak již bylo zmíněno v úvodu, tato podmínka je zvláštním případem obecnějších Laueových rovnic a Laue rovnice mohou být ukázány na redukci na Braggovu podmínku za dalších předpokladů.

Fenomény Braggovy difrakce krystalovou mřížkou sdílejí podobné charakteristiky s interferencí tenkého filmu , která má identické podmínky v mezích, kde jsou indexy lomu okolního média (např. Vzduchu) a interferujícího média (např. Oleje) stejné.

Podpora procesů rozptylu

Když rentgenové paprsky dopadají na atom , způsobí pohyb elektronického mraku , stejně jako jakákoli elektromagnetická vlna . Pohyb těchto poplatků re-vyzařuje vlny se stejnou frekvencí , mírně deformovat v důsledku různých účinků; tento jev je známý jako Rayleighův rozptyl (nebo elastický rozptyl). Rozptýlené vlny mohou být samy rozptýleny, ale tento sekundární rozptyl je považován za zanedbatelný.

K podobnému procesu dochází při rozptylu neutronových vln z jader nebo koherentní spinovou interakcí s nepárovým elektronem . Tato znovu vyzařovaná vlnová pole navzájem interferují buď konstruktivně, nebo destruktivně (překrývající se vlny se buď sčítají a vytvářejí silnější vrcholy, nebo jsou od sebe do určité míry odečteny), což vytváří difrakční obrazec na detektoru nebo filmu. Výsledný interferenční obrazec vlny je základem difrakční analýzy. Tato analýza se nazývá Braggova difrakce .

Heuristická derivace

Předpokládejme, že jedna monochromatická vlna (jakéhokoli typu) dopadá na zarovnané roviny bodů mřížky s oddělením pod úhlem . Body A a C jsou v jedné rovině a B je v rovině níže. Body ABCC ' tvoří čtyřúhelník . ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle \ theta}$

Mezi paprskem, který se odráží podél AC ', a paprskem, který se přenáší podél AB , pak se odráží podél BC, bude dráhový rozdíl . Rozdíl v této cestě je

{\ Displaystyle (AB+BC)-\ left (AC '\ right) \ ,.}

Tyto dvě oddělené vlny dorazí do bodu (nekonečně posunutého z těchto mřížkových rovin) se stejnou fází , a proto procházejí konstruktivní interferencí , právě tehdy, pokud je tento rozdíl dráhy roven jakékoli celočíselné hodnotě vlnové délky , tj.

{\ Displaystyle n \ lambda = (AB+BC)-\ left (AC '\ right)}

kde a jsou celé číslo a vlnová délka dopadající vlny. ${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle \ lambda}$

Proto,

{\ Displaystyle AB = BC = {\ frac {d} {\ sin \ theta}} {\ text {a}} AC = {\ frac {2d} {\ tan \ theta}} \ ,,}

z čehož to vyplývá

{\ Displaystyle AC '= AC \ cdot \ cos \ theta = {\ frac {2d} {\ tan \ theta}} \ cos \ theta = \ left ({\ frac {2d} {\ sin \ theta}} \ cos \ theta \ right) \ cos \ theta = {\ frac {2d} {\ sin \ theta}} \ cos ^{2} \ theta \ ,.}

Dát všechno dohromady,

{\ Displaystyle n \ lambda = {\ frac {2d} {\ sin \ theta}}-{\ frac {2d} {\ sin \ theta}} \ cos ^{2} \ theta = {\ frac {2d} { \ sin \ theta}} \ left (1- \ cos ^{2} \ theta \ right) = {\ frac {2d} {\ sin \ theta}} \ sin ^{2} \ theta}

což zjednodušuje, na což je výše uveden Braggův zákon. ${\ Displaystyle n \ lambda = 2d \ sin \ theta \ ,,}$

Pokud by difrakovaly pouze dvě roviny atomů, jak je znázorněno na obrázcích, pak by přechod od konstruktivního k destruktivnímu rušení byl postupný jako funkce úhlu, s mírnými maximy v Braggových úhlech. Protože se však mnoho atomových letadel účastní interference ve většině skutečných materiálů, vznikají velmi ostré vrcholy obklopené většinou destruktivní interferencí.

K dispozici je přísná derivace z obecnějších Laueových rovnic (viz strana: Laueovy rovnice ).

Braggův rozptyl viditelného světla koloidy

Koloidní krystal je vysoce objednat pole částic, které formy po dlouhou rozmezí (od několika milimetrů na jeden centimetr délky); koloidní krystaly mají vzhled a vlastnosti zhruba analogické s jejich atomovými nebo molekulárními protějšky. Již mnoho let je známo, že v důsledku odpudivých Coulombických interakcí mohou elektricky nabité makromolekuly ve vodném prostředí vykazovat korelace podobné krystalům s dlouhým dosahem , přičemž vzdálenosti mezi částicemi jsou často podstatně větší než průměr jednotlivých částic. Periodická pole sférických částic vedou k intersticiálním dutinám (mezerám mezi částicemi), které fungují jako přirozená difrakční mřížka pro viditelné světelné vlny , když je intersticiální vzdálenost stejného řádu jako dopadající světelná vlna. V těchto případech se v přírodě, brilantní iridescence (nebo hra barev), je přičítán k difrakci a konstruktivní interference viditelného lightwaves podle Braggova zákona, ve věci Analogicky k rozptylu z rentgenových paprsků v krystalické pevné látky. Účinky se vyskytují při viditelných vlnových délkách, protože separační parametr d je mnohem větší než u skutečných krystalů.

Objemové Braggovy rošty

Objemové Braggovy mřížky (VBG) nebo objemové holografické mřížky (VHG) se skládají ze svazku, kde dochází k periodické změně indexu lomu . V závislosti na orientaci modulace indexu lomu lze VBG použít buď k přenosu, nebo k odrazu malé šířky pásma vlnových délek . Braggův zákon (upravený pro objemový hologram) určuje, která vlnová délka bude difraktována:

{\ Displaystyle 2 \ Lambda \ sin (\ theta +\ varphi) = m \ lambda _ {B} \ ,,}

kde m je Braggův řád (kladné celé číslo), λ _B difrakční vlnová délka , Λ rozteč okrajů mřížky, θ úhel mezi dopadajícím paprskem a normálkou ( N ) vstupního povrchu a φ úhel mezi normálou a mřížkový vektor ( K _G ). Záření, které se neshoduje s Braggovým zákonem, projde skrz VBG nerušeně. Výstupní vlnovou délku lze naladit na několik stovek nanometrů změnou úhlu dopadu ( θ ). VBG se používají k výrobě široce laditelného laserového zdroje nebo k provádění globálních hyperspektrálních snímků (viz Foton atd. ).

Pravidla výběru a praktická krystalografie

Braggův zákon, jak je uvedeno výše, lze použít k získání rozteče mřížky konkrétního kubického systému prostřednictvím následujícího vztahu:

{\ Displaystyle d = {\ frac {a} {\ sqrt {h^{2}+k^{2}+\ ell^{2}}}} \ ,,}

kde je rozteč mřížky krychlového krystalu a h , k a ℓ jsou Millerovy indexy Braggovy roviny. Kombinací tohoto vztahu s Braggovým zákonem získáte: ${\ displaystyle a}$

{\ Displaystyle \ left ({\ frac {\ lambda} {2a}} \ right)^{2} = \ left ({\ frac {\ lambda} {2d}} \ right)^{2} {\ frac { 1} {h^{2}+k^{2}+\ ell^{2}}}}

Lze odvodit pravidla výběru pro Millerovy indexy pro různé krychlové mřížky Bravais ; zde budou pravidla výběru pro několik dána tak, jak jsou.

Pravidla výběru pro Millerovy indexy
Mřížky Bravais	Příklady sloučenin	Povolené odrazy	Zakázané odrazy
Jednoduché krychlové	Po	Libovolné h , k , ℓ	Žádný
Krychle zaměřená na tělo	Fe, W, Ta, Cr	h + k + ℓ = sudý	h + k + ℓ = liché
Krychle na střed obličeje (FCC)	Cu, Al, Ni, NaCl, LiH, PbS	h , k , ℓ všechny liché nebo všechny sudé	h , k , ℓ smíšené liché a sudé
Diamond FCC	Si, Ge	Všechny liché nebo všechny sudé s h + k + ℓ = 4 n	h , k , ℓ smíšené liché a sudé, nebo všechny sudé s h + k + ℓ ≠ 4 n
Trojúhelníková mřížka	Ti, Zr, Cd, Be	ℓ sudý, h + 2 k ≠ 3 n	h + 2 k = 3 n pro lichá ℓ

Tato pravidla výběru lze použít pro jakýkoli krystal s danou krystalovou strukturou. KCl má kubickou mřížku Bravais zaměřenou na obličej . K ⁺ a Cl ^- ion však mají stejný počet elektronů a jsou si poměrně blízké, takže difrakční obrazec je v podstatě stejný jako u jednoduché kubické struktury s polovičním parametrem mřížky. Na pravidla výběru pro jiné struktury lze odkazovat jinde nebo je lze odvodit . Rozteče mřížek pro ostatní krystalové systémy najdete zde .

Viz také

Reference

Další čtení

Neil W. Ashcroft a N. David Mermin, fyzika pevných látek (Harcourt: Orlando, 1976).
Bragg W (1913). „Difrakce krátkých elektromagnetických vln krystalem“. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society . 17 : 43–57.

Languages

In other projects