Brownův pohyb - Brownian motion

2-rozměrná náhodná procházka stříbrného adatomu po povrchu Ag (111)
Toto je simulace Brownova pohybu 5 částic (žlutých), které kolidují s velkou sadou 800 částic. Žluté částice zanechávají 5 modrých stop (pseudo) náhodného pohybu a jedna z nich má červený vektor rychlosti.
Toto je simulace Brownova pohybu velké částice (prachové částice), která koliduje s velkou sadou menších částic (molekul plynu), které se pohybují různými rychlostmi v různých náhodných směrech.

Brownův pohyb , neboli pedesis (ze starořečtiny : πήδησις / pɛ̌ːdɛːsis / „skákající“), je náhodný pohyb částic suspendovaných v médiu ( kapalině nebo plynu ).

Tento vzor pohybu obvykle sestává z náhodných výkyvů v poloze částice uvnitř tekuté subdomény, následované přemístěním do jiné subdomény. Po každém přemístění následují další výkyvy v rámci nového uzavřeného svazku. Tento vzor popisuje tekutinu v tepelné rovnováze , definované danou teplotou . V takové tekutině neexistuje žádný preferenční směr toku (jako u transportních jevů ). Přesněji řečeno, celkové lineární a úhlové momenty tekutiny zůstávají v průběhu času nulové. Tyto kinetické energie molekulových Brownian pohybů, společně s těmi, molekulární rotace a vibrace, shrnout do kalorické složky tekutiny, je vnitřní energie (dále jen Ekvipartiční teorém ).

Tento pohyb je pojmenován po botanikovi Robertu Brownovi , který tento jev poprvé popsal v roce 1827 při pohledu mikroskopem na pyl rostliny Clarkia pulchella ponořené do vody. V roce 1905, téměř o osmdesát let později, teoretický fyzik Albert Einstein publikoval článek, kde modeloval pohyb částic pylu, jak se pohybují jednotlivými molekulami vody , což je jeden z jeho prvních velkých vědeckých příspěvků. Směr síly atomového bombardování se neustále mění a v různých časech je částice zasažena více na jedné straně než na druhé, což vede ke zdánlivě náhodné povaze pohybu. Toto vysvětlení Brownova pohybu sloužilo jako přesvědčivý důkaz, že atomy a molekuly existují, a bylo dále experimentálně ověřeno Jeanem Perrinem v roce 1908. Perrin získal v roce 1926 Nobelovu cenu za fyziku „za práci na nesouvislé struktuře hmoty“.

V mnoha těles interakce , které poskytují Brownova vzoru nelze vyřešit pomocí modelu účtování pro každou zúčastněné molekuly. V důsledku toho lze k jeho popisu použít pouze pravděpodobnostní modely aplikované na molekulární populace . Dva takové modely statistické mechaniky , díky Einsteinovi a Smoluchowskému, jsou uvedeny níže. Další, čistě pravděpodobnostní třídou modelů je třída stochastických procesních modelů. Existují sekvence jednodušších i komplikovanějších stochastických procesů, které konvergují (v mezích ) k Brownovu pohybu (viz náhodná procházka a Donskerova věta ).

Dějiny

Z knihy Jeana Baptiste Perrina , Les Atomes , jsou zobrazeny tři trasování pohybu koloidních částic o poloměru 0,53 µm, jak je vidět pod mikroskopem. Po sobě jdoucí polohy každých 30 sekund jsou spojeny segmenty přímky (velikost ok je 3,2 µm).

Vědecká báseň římského filozofa a básníka LucretiaO povaze věcí “ (asi 60 př. N. L. ) Má pozoruhodný popis pohybu prachových částic ve verších 113–140 z knihy II. Používá to jako důkaz existence atomů:

Sledujte, co se stane, když jsou sluneční paprsky vpuštěny do budovy a osvětlují její stinná místa. Uvidíte množství drobných částic, které se mísí mnoha způsoby ... jejich tanec je skutečnou indikací základních pohybů hmoty, které jsou našemu zraku skryty ... Původ má z atomů, které se samy pohybují [tj. Spontánně ]. Pak se ta malá složená těla, která jsou nejméně odstraněna z impulsů atomů, uvedou do pohybu nárazem jejich neviditelných úderů a následně děla proti trochu větším tělesům. Pohyb se tedy zvedá z atomů a postupně vystupuje na úroveň našich smyslů, takže ta těla jsou v pohybu, který vidíme ve slunečních paprscích, pohnuti údery, které zůstávají neviditelné.

Ačkoli mísící se pohyb prachových částic je do značné míry způsoben vzdušnými proudy, třpytivý, převracející se pohyb malých prachových částic je způsoben především skutečnou Brownovou dynamikou; Lucretius „dokonale popisuje a vysvětluje špatný příklad Brownovo hnutí“.

Zatímco Jan Ingenhousz popsal nepravidelný pohyb částic uhelného prachu na povrchu alkoholu v roce 1785, objev tohoto jevu je často připisován botanikovi Robertu Brownovi v roce 1827. Brown studoval pylová zrna rostliny Clarkia pulchella suspendovaná ve vodě pod mikroskop, když pozoroval nepatrné částice, vyvržené pylovými zrny, vykonávající nervózní pohyb. Opakováním experimentu s částicemi anorganické hmoty dokázal vyloučit, že pohyb souvisel se životem, i když jeho původ byl teprve vysvětlen.

První, kdo popsal matematiku za Brownovým pohybem, byl Thorvald N. Thiele v příspěvku o metodě nejmenších čtverců publikovaném v roce 1880. Na to nezávisle navázal Louis Bachelier v roce 1900 ve své disertační práci „Teorie spekulace“, ve které představil stochastickou analýzu akciových a opčních trhů. Často je citován Brownův pohybový model akciového trhu , ale Benoit Mandelbrot odmítl jeho použitelnost na pohyby cen akcií částečně, protože jsou nesouvislé.

Albert Einstein (v jednom ze svých příspěvků z roku 1905 ) a Marian Smoluchowski (1906) upozornili fyziky na řešení problému a představili jej jako způsob nepřímého potvrzení existence atomů a molekul. Jejich rovnice popisující Brownův pohyb byly následně ověřeny experimentální prací Jeana Baptiste Perrina v roce 1908.

Teorie statistické mechaniky

Einsteinova teorie

Einsteinova teorie má dvě části: první část spočívá ve formulaci difúzní rovnice pro Brownovy částice, ve které je difúzní koeficient vztažen ke střednímu čtvercovému posunu Brownovy částice, zatímco druhá část spočívá v porovnání difúzního koeficientu na měřitelné fyzikální veličiny. Tímto způsobem byl Einstein schopen určit velikost atomů a počet atomů v molu nebo molekulovou hmotnost v gramech plynu. V souladu s Avogadrovým zákonem je tento objem stejný pro všechny ideální plyny, což je při standardní teplotě a tlaku 22,414 litru. Počet atomů obsažených v tomto objemu je označován jako Avogadrovo číslo a určení tohoto čísla se rovná znalosti hmotnosti atomu, protože ten se získá vydělením hmotnosti molu plynu konstantní Avogadrova .

Charakteristické zvonkovité křivky difúze Brownových částic. Distribuce začíná jako Diracova delta funkce , což naznačuje, že všechny částice jsou umístěny na počátku v čase t = 0. Jak t roste, distribuce se zplošťuje (i když zůstává ve tvaru zvonu) a nakonec se stává jednotným v mezích, které čas plyne do nekonečna.

První částí Einsteinova argumentu bylo zjistit, jak daleko se Brownova částice pohybuje v daném časovém intervalu. Klasická mechanika není schopna určit tuto vzdálenost kvůli obrovskému počtu bombardování, které Brownova částice podstoupí, zhruba v řádu 10 14 srážek za sekundu.

Považoval přírůstek poloh částic v čase v jednorozměrném ( x ) prostoru (se souřadnicemi zvolenými tak, že původ leží v počáteční poloze částice) jako náhodnou proměnnou ( ) s nějakou funkcí hustoty pravděpodobnosti (tj. je hustota pravděpodobnosti pro skok o velikosti , tj. hustota pravděpodobnosti částice zvyšující její polohu od do v časovém intervalu ). Dále, za předpokladu zachování počtu částic, rozšířil hustotu (počet částic na jednotku objemu) v čase v Taylorově sérii ,

kde druhá rovnost v prvním řádku je podle definice . Integrál během prvního funkčního roven jedné definice pravděpodobnosti, a druhý a další i podmínky (tj první a dalších lichých momenty ) zmizí, protože prostor symetrie. To, co zbylo, vede k následujícímu vztahu:

Kde je koeficient po Laplaciánovi , druhém momentu pravděpodobnosti posunutí , interpretován jako hmotnostní difuzivita D :

Potom hustota Brownových částic ρ v bodě x v čase t splňuje difúzní rovnici :

Za předpokladu, že N částic začíná od počátku v počátečním čase t = 0, má difúzní rovnice řešení

Tento výraz (což je normální rozdělení s průměrem a rozptylem obvykle nazývaným Brownův pohyb ) umožnil Einsteinovi vypočítat momenty přímo. První okamžik zmizí, což znamená, že Brownova částice se pravděpodobně pohne doleva i doprava. Druhý okamžik je však nemizející, daný

Tato rovnice vyjadřuje střední kvadratický posun z hlediska uplynulého času a difuzivity. Z tohoto výrazu Einstein tvrdil, že posunutí Brownovy částice není úměrné uplynulému času, ale spíše její odmocnině. Jeho argument je založen na koncepčním přechodu z „souboru“ Brownových částic na „jedinou“ Brownovu částici: můžeme mluvit o relativním počtu částic v jednom okamžiku stejně dobře jako o době, za kterou Brownian částic potřebuje dosáhnout daného bodu.

Druhá část Einsteinovy ​​teorie uvádí difúzní konstantu do fyzikálně měřitelných veličin, jako je střední kvadratický posun částice v daném časovém intervalu. Tento výsledek umožňuje experimentální stanovení Avogadrova čísla a tím i velikosti molekul. Einstein analyzoval dynamickou rovnováhu mezi protilehlými silami. Krása jeho argumentu spočívá v tom, že konečný výsledek nezávisí na tom, jaké síly se podílejí na nastavení dynamické rovnováhy.

Ve své původní léčbě uvažoval Einstein o experimentu s osmotickým tlakem , ale ke stejnému závěru lze dojít i jinými způsoby.

Uvažujme například částice suspendované ve viskózní tekutině v gravitačním poli. Gravitace má tendenci usazovat částice, zatímco difúze je homogenizuje a přivádí je do oblastí s menší koncentrací. Působením gravitace získá částice sestupnou rychlost v = μmg , kde m je hmotnost částice, g je gravitační zrychlení a μ je pohyblivost částice v tekutině. George Stokes ukázal, že pohyblivost sférické částice o poloměru r je , kde η je dynamická viskozita tekutiny. Ve stavu dynamické rovnováhy a za hypotézy izotermické tekutiny jsou částice rozděleny podle barometrického rozdělení

kde ρ - ρ o je rozdíl v hustotě částic odděleny rozdílem výšky, z , k B je Boltzmannova konstanta (poměr univerzální plynová konstanta , R , k Avogadrovy konstanty N A ), a T je absolutní teplota .

Rovnovážná distribuce částic gamboge ukazuje tendenci granulí pohybovat se do oblastí s nižší koncentrací, pokud jsou ovlivněny gravitací.

Dynamická rovnováha je stanovena, protože čím více jsou částice gravitací staženy , tím větší je tendence částic migrovat do oblastí s nižší koncentrací. Tok je dán Fickovým zákonem ,

kde J = ρv . Když představíme vzorec pro ρ , zjistíme, že

Ve stavu dynamické rovnováhy musí být tato rychlost rovna také v = μmg . Oba výrazy pro v jsou úměrné mg , což odráží, že odvození je nezávislé na uvažovaném typu sil. Podobně lze odvodit ekvivalentní vzorec pro identické nabité částice náboje q v rovnoměrném elektrickém poli o velikosti E , kde mg je nahrazeno elektrostatickou silou qE . Srovnáním těchto dvou výrazů se získá vzorec pro difuzivitu, nezávislý na mg nebo qE nebo jiných takových silách:

Zde první rovnost vyplývá z první části Einsteinovy ​​teorie, třetí rovnost vyplývá z definice Boltzmannovy konstanty jako k B = R / N A a čtvrtá rovnost vyplývá ze Stokesova vzorce pro mobilitu. Měřením průměrného čtvercového posunutí v časovém intervalu spolu s univerzální plynovou konstantou R , teplotou T , viskozitou η a poloměrem částic r lze určit Avogadrovu konstantu N A.

Typ dynamické rovnováhy navržený Einsteinem nebyl nový. Již dříve poukázal JJ Thomson ve své sérii přednášek na univerzitě v Yale v květnu 1903, že dynamická rovnováha mezi rychlostí generovanou koncentračním gradientem daným Fickovým zákonem a rychlostí v důsledku změny parciálního tlaku způsobeného ionty se dávají do pohybu „dává nám metodu určování Avogadrovy konstanty, která je nezávislá na jakékoli hypotéze, pokud jde o tvar nebo velikost molekul nebo způsob, jakým na sebe navzájem působí“.

Stejný výraz jako Einsteinův vzorec pro difúzní koeficient našel také Walther Nernst v roce 1888, ve kterém vyjádřil difúzní koeficient jako poměr osmotického tlaku k poměru třecí síly a rychlosti, se kterou vzniká. První z nich byl přirovnáván k zákonu van 't Hoffa, zatímco druhý byl dán Stokesovým zákonem . Píše pro difúzní koeficient k ' , kde je osmotický tlak a k je poměr třecí síly k molekulární viskozitě, který předpokládá, že je dán Stokesovým vzorcem pro viskozitu. Zavedením zákona ideálního plynu na jednotku objemu osmotického tlaku se vzorec stává totožným s Einsteinovým. Použití Stokesova zákona v Nernstově případě, stejně jako v Einsteinovi a Smoluchowském, není přísně použitelné, protože se nevztahuje na případ, kdy je poloměr koule malý ve srovnání se střední volnou cestou .

Zpočátku byly předpovědi Einsteinova vzorce zdánlivě vyvráceny sérií experimentů od Svedberga v letech 1906 a 1907, které poskytlo posunutí částic jako 4 až 6násobek předpokládané hodnoty, a podle Henriho v roce 1908, který našel výtlaky 3krát větší než Předpověděl Einsteinův vzorec. Ale Einsteinovy ​​předpovědi byly nakonec potvrzeny v sérii experimentů provedených Chaudesaiguesem v roce 1908 a Perrinem v roce 1909. Potvrzení Einsteinovy ​​teorie představovalo empirický pokrok pro kinetickou teorii tepla . Einstein v podstatě ukázal, že pohyb lze předpovědět přímo z kinetického modelu tepelné rovnováhy . Důležitost teorie spočívala ve skutečnosti, že potvrdila úvahu kinetické teorie o druhém zákonu termodynamiky jako o v podstatě statistickém zákonu.

Brownův pohybový model trajektorie částice barviva ve vodě.

Smoluchowského model

Smoluchowského teorie Brownova pohybu vychází ze stejného předpokladu jako Einsteinův a odvozuje stejné rozdělení pravděpodobnosti ρ ( x , t ) pro posunutí Brownovy částice podél x v čase t . Dostane tedy stejný výraz pro střední kvadratické posunutí: . Když to však vztáhne na částici o hmotnosti m pohybující se rychlostí, která je výsledkem třecí síly, která se řídí Stokesovým zákonem, zjistí,

kde μ je koeficient viskozity a poloměr částice. Při spojení kinetické energie s tepelnou energií RT / N je výraz pro průměrný kvadratický posun 64/27krát větší než u Einsteina. Zlomek 27/64 komentoval Arnold Sommerfeld ve své nekrologii na Smoluchowski: „Einsteinův číselný koeficient, který se liší od Smoluchowského 27/64, lze jen zpochybnit.“

Smoluchowski se pokouší odpovědět na otázku, proč by měla být Brownova částice vytlačena bombardováním menších částic, když jsou pravděpodobnosti jejího zasažení v dopředném i zadním směru stejné. Pokud pravděpodobnost m zisků a n  -  m ztrát sleduje binomické rozdělení ,

při stejné apriorní pravděpodobnosti 1/2 je průměrný celkový zisk

Pokud je n dostatečně velké, takže ve formuláři lze použít Stirlingovu aproximaci

pak bude očekávaný celkový zisk

což ukazuje, že se zvyšuje jako odmocnina z celkové populace.

Předpokládejme, že je Brownova částice o hmotnosti M obklopena lehčími částicemi o hmotnosti m, které se pohybují rychlostí u . Potom důvody Smoluchowski, v jakékoli kolize mezi okolní a Brownian částic, rychlost přenesen do posledně uvedeného bude mu / M . Tento poměr je řádově 10–7  cm/s. Musíme však také vzít v úvahu, že v plynu dojde k více než 10 16 srážkám za sekundu a ještě větší v kapalině, kde očekáváme, že během jedné sekundy dojde ke srážce 10 20 . Některé z těchto kolizí budou mít tendenci urychlovat Brownovu částici; ostatní to budou mít tendenci zpomalovat. Pokud dojde k průměrnému přebytku jednoho nebo druhého srážky v řádu 108 až 10 10 srážek za jednu sekundu, pak může být rychlost Brownovy částice kdekoli mezi 10 a 1 000 cm/s. I když tedy existují stejné pravděpodobnosti pro srážky vpřed a vzad, bude existovat čistá tendence udržovat Brownovu částici v pohybu, přesně jak předpovídá věta o hlasování.

Tyto řády nejsou přesné, protože neberou v úvahu rychlost Brownovy částice U , která závisí na srážkách, které ji mají tendenci zrychlovat a zpomalovat. Čím větší je U , tím větší budou kolize, které ji zpomalí, takže rychlost Brownovy částice se nikdy nemůže bez omezení zvýšit. Pokud by k takovému procesu došlo, bylo by to stejné jako věčný pohyb druhého typu. A protože platí equipartition energie, kinetická energie Brownova částice , se bude rovnat, v průměru, na kinetickou energii okolní částice tekutiny .

V roce 1906 vydal Smoluchowski jednorozměrný model k popisu částice procházející Brownovým pohybem. Model předpokládá kolize s M  ≫  m, kde M je hmotnost testované částice a m hmotnost jedné z jednotlivých částic tvořících tekutinu. Předpokládá se, že srážky částic jsou omezeny na jednu dimenzi a že je stejně pravděpodobné, že testovaná částice bude zasažena zleva i zprava. Předpokládá se rovněž, že každá srážka vždy udílí stejnou velikost delta V. . Jestliže N R je počet srážek zprava a N L počet srážek zleva, pak po N srážkách se rychlost částice změní o Δ V (2 N R  -  N ). Mnohost se pak jednoduše dána vztahem:

a celkový počet možných stavů je dána 2 N . Proto je pravděpodobnost zasažení částice z pravého N R krát:

Smoluchowského 1D model může díky své jednoduchosti pouze kvalitativně popsat Brownův pohyb. Pro realistickou částici procházející Brownovým pohybem v tekutině mnoho předpokladů neplatí. Například předpoklad, že v průměru dojde ke stejnému počtu srážek zprava i zleva, se rozpadne, jakmile je částice v pohybu. Rovněž by existovalo rozdělení různých možných Δ V s namísto vždy jen jednoho v realistické situaci.

Jiné modely fyziky využívající parciální diferenciální rovnice

Difuzní rovnice poskytuje aproximaci časového vývoje funkce hustoty pravděpodobnosti spojené do polohy částice jít pod Brownova pohybu pod fyzickým definice. Sbližování je platné v krátkých časových intervalech.

Časový vývoj polohy samotné Brownovy částice je nejlépe popsán pomocí Langevinovy ​​rovnice , rovnice, která zahrnuje náhodné silové pole představující účinek tepelných fluktuací rozpouštědla na částici.

Vytěsnění částice procházející Brownovým pohybem se získá řešením difúzní rovnice za příslušných okrajových podmínek a nalezením efektivní hodnoty roztoku. To ukazuje, že výtlak se mění jako odmocnina času (ne lineárně), což vysvětluje, proč předchozí experimentální výsledky týkající se rychlosti Brownových částic dávaly nesmyslné výsledky. Byla nesprávně předpokládána lineární časová závislost.

Ve velmi krátkých časových měřítcích však pohybu částice dominuje její setrvačnost a její posunutí bude lineárně závislé na čase: Δ x = v Δ t . Okamžitou rychlost Brownova pohybu lze tedy změřit jako v = Δ xt , když Δ t << τ , kde τ je hybná doba relaxace. V roce 2010 byla úspěšně změřena okamžitá rychlost Brownovy částice (skleněná mikrosféra zachycená ve vzduchu pomocí optické pinzety ). Data o rychlosti ověřila rozdělení rychlosti Maxwell – Boltzmann a větu o ekvipartici pro Brownovu částici.

Astrofyzika: pohyb hvězd v galaxiích

Ve hvězdné dynamice může masivní těleso (hvězda, černá díra atd.) Zažít Brownův pohyb, který reaguje na gravitační síly z okolních hvězd. Efektivní rychlost V hmotného objektu o hmotnosti M souvisí s efektivní rychlostí hvězd na pozadí podle

kde je hmotnost hvězd na pozadí. Gravitační síla z masivního objektu způsobí blízké hvězdy se pohybují rychleji, než by jinak, zvyšuje jak a V. . Brownova rychlost Sgr A* , supermasivní černé díry ve středu galaxie Mléčné dráhy , se z tohoto vzorce předpovídá na méně než 1 km s −1 .

Matematika

Animovaný příklad náhodné procházky připomínající pohyb Brownů po torusu . V limitu škálování se náhodná procházka blíží Wienerovu procesu podle Donskerovy věty .

V matematice je Brownův pohyb popsán Wienerovým procesem , kontinuálním stochastickým procesem pojmenovaným na počest Norberta Wienera . Jedná se o jeden z nejlepších známých postupů Lévy ( càdlàg náhodných procesů s pevnými nezávislých krocích ), a často dochází v čistou a aplikovanou matematiku, ekonomii a fyziky .

Jedna realizace trojrozměrného Brownova pohybu pro časy 0 ≤  t  ≤ 2

Wienerův proces W t charakterizují čtyři skutečnosti:

  1. W 0 = 0
  2. W t je téměř jistě spojité
  3. W t má nezávislé přírůstky
  4. (pro ).

označuje normální rozdělení s očekávanou hodnotou μ a rozptylem σ 2 . Podmínka, že má nezávislými přírůstky, znamená, že pokud pak a jsou nezávislé náhodné veličiny.

Alternativní charakterizací Wienerova procesu je takzvaná Lévyho charakterizace, která říká, že Wienerův proces je téměř jistě kontinuální martingale s W 0 = 0 a kvadratickou variací .

Třetí charakteristikou je, že Wienerův proces má spektrální reprezentaci jako sinusovou řadu, jejíž koeficienty jsou nezávislé náhodné veličiny. Tuto reprezentaci lze získat pomocí Karhunen – Loèveovy věty .

Wienerův proces může být konstruován jako limit škálování při náhodné chůzi nebo jiné stochastické procesy s diskrétním časem se stacionárními nezávislými přírůstky. Toto je známé jako Donskerova věta . Stejně jako náhodná procházka je Wienerův proces opakující se v jedné nebo dvou dimenzích (což znamená, že se téměř jistě vrací do jakéhokoli pevného sousedství původu nekonečně často), zatímco v dimenzích tři a výše se neopakuje. Na rozdíl od náhodné procházky je měřítko invariantní .

Časový vývoj polohy samotné Brownovy částice lze popsat přibližně Langevinovou rovnicí , rovnicí, která zahrnuje náhodné silové pole představující účinek tepelných fluktuací rozpouštědla na Brownovu částici. Na dlouhých časových intervalech je matematický Brownův pohyb dobře popsán Langevinovou rovnicí. V malých časových intervalech převládají v Langevinově rovnici setrvačné efekty. Matematický Brownův pohyb je však od takových setrvačných účinků osvobozen. V Langevinově rovnici je třeba vzít v úvahu inerciální efekty, jinak se rovnice stane singulární. takže pouhé odstranění pojmu setrvačnosti z této rovnice by nepřineslo přesný popis, ale spíše singulární chování, při kterém se částice vůbec nepohybuje.

Statistika

Brownův pohyb lze modelovat náhodnou procházkou. Náhodné procházky v porézních médiích nebo fraktálech jsou anomální.

V obecném případě je Brownův pohyb nemarkovským náhodným procesem a je popsán stochastickými integrálními rovnicemi .

Lévyho charakterizace

Francouzský matematik Paul Lévy ukázalo následující větu, která dává nutnou a postačující podmínkou pro kontinuální R n cenil Náhodný proces X , aby skutečně být n rozměrné Brownův pohyb. Lévyho stav lze tedy ve skutečnosti použít jako alternativní definici Brownova pohybu.

Nechť X  = ( X 1 , ...,  X n ) je spojitý stochastický proces na pravděpodobnostním prostoru (Ω, Σ,  P ) nabývající hodnoty v R n . Pak jsou následující ekvivalentní:

  1. X je Brownův pohyb vzhledem k P , tj. Zákon X vzhledem k P je stejný jako zákon n -rozměrného Brownova pohybu, tj. Míra posunu vpřed X ( P ) je klasická Wienerova míra na C 0 ([0, +∞); R n ).
  2. oba
    1. X je martingale s ohledem na P (a jeho vlastní přirozenou filtraci ); a
    2. pro všechny 1 ≤  ij  ≤  n , X i ( t ) X j ( t ) - δ ij t je martingale s ohledem na P (a jeho vlastní přirozenou filtraci ), kde δ ij označuje Kroneckerovu deltu .

Spektrální obsah

Spektrální obsah stochastického procesu lze zjistit z výkonové spektrální hustoty , formálně definované jako

,

kde znamená očekávanou hodnotu . Bylo zjištěno, že spektrální hustota Brownova pohybu je

.

kde je difúzní koeficient of . U přirozeně se vyskytujících signálů lze spektrální obsah zjistit z výkonové spektrální hustoty jedné realizace s konečným dostupným časem, tj.

,

což pro individuální realizaci Brownovy trajektorie pohybu zjistilo, že má očekávanou hodnotu

a rozptyl

.

Pro dostatečně dlouhé doby realizace konverguje očekávaná hodnota výkonového spektra jedné trajektorie k formálně definované spektrální hustotě výkonu , ale její variační koeficient má tendenci . To znamená, že distribuce je široká i v nekonečném časovém limitu.

Riemannian potrubí

Brownův pohyb na kouli

Nekonečně generátor (a tedy charakteristika operátor) z Brownova pohybu na R n je snadno vypočítat, že ½Δ, kde Δ označuje Laplaceův operátor . Při zpracování obrazu a počítačového vidění byl Laplaciánský operátor použit pro různé úkoly, jako je detekce blobů a hran . Toto pozorování je užitečné při definování Brownova pohybu na m -dimenzionálním riemannianském rozdělovači ( Mg ): Brownův pohyb na M je definován jako difúze na M, jehož charakteristický operátor v místních souřadnicích x i , 1 ≤  i  ≤  m , je dané ½Δ LB , kde Δ LB je operátor Laplace – Beltrami daný v místních souřadnicích od

kde [ g ij ] = [ g ij ] −1 ve smyslu inverze čtvercové matice .

Úzký útěk

Problém úzkého úniku je všudypřítomný problém v biologii, biofyzice a buněčné biologii, který má následující formulaci: Brownova částice ( iont , molekula nebo protein ) je omezena na ohraničenou doménu (oddíl nebo buňku) odrazivou hranicí, až na malé okno, kterým může uniknout. Úzký únikový problém spočívá ve výpočtu střední doby úniku. Tentokrát se liší, jak se okno zmenšuje, a tím se výpočet stává problémem singulární poruchy .

Viz také

Reference

Další čtení

externí odkazy