Zrušení nemovitosti - Cancellation property
V matematice , pojem cancellative je zobecněním pojmu nezvratné .
Prvek v magma ( M *), má tu vlastnost vlevo zrušení (nebo levé cancellative ), jestliže pro všechny b a c v M , a * b = a * c vždy znamená, že b = c .
Prvek v magma ( M *), má tu správnou vlastnictví zrušení (nebo je pravým cancellative ), jestliže pro všechny b a c v M , b * = c * vždy znamená, že b = c .
Prvek a v magmatu ( M , ∗) má vlastnost oboustranného zrušení (nebo je zrušující ), pokud je zrušeno vlevo i vpravo.
Magma ( M *), má levou vlastnost zrušení (nebo je vlevo cancellative), jestliže všechny v magma jsou vlevo cancellative a podobné definice platí pro pravou cancellative nebo oboustranné cancellative vlastnosti.
Levý invertibilní prvek je levý rušivý a analogicky pro pravý a oboustranný.
Například každá kvazoskupina , a tedy každá skupina , je zrušující.
Výklad
Chcete-li říci, že prvek a v magmatu ( M , left ) je levý rušivý, znamená to, že funkce g : x ↦ a ∗ x je injektivní . To, že funkce g je injektivní, znamená, že vzhledem k určité rovnosti tvaru a ∗ x = b , kde jedinou neznámou je x , existuje pouze jedna možná hodnota x splňující rovnost. Přesněji jsme schopni definovat nějakou funkci f , inverzní k g , takže pro všechna x f ( g ( x )) = f ( a ∗ x ) = x . Jinými slovy, pro všechny x a y v M , pokud je * x = a * y , pak x = y .
Příklady zrušovacích monoidů a poloskupin
Kladná (stejně nezáporná) celá čísla tvoří po přidání zrušující semigroup . Nezáporná celá čísla tvoří po přidání zrušující monoid .
Ve skutečnosti se jakákoli volná poloskupina nebo monoid řídí zrušovacím zákonem a obecně se jakákoli poloskupina nebo monoid, které jsou začleněny do skupiny (jak jasně dělají výše uvedené příklady), bude řídit zrušovacím zákonem.
V jiném duchu (podskupina) multiplikativní poloskupina prvků kruhu, které nejsou nulovými děliteli (což je jen sada všech nenulových prvků, pokud je dotyčný kruh doménou , jako celá čísla) má vlastnost zrušení . Toto zůstává v platnosti, i když je dotyčný prsten nekomutativní a / nebo nejednotný.
Nerelativní algebraické struktury
Ačkoli zákon o zrušení platí pro sčítání, odčítání, násobení a dělení reálných a komplexních čísel (s jedinou výjimkou násobení nulou a dělení nuly jiným číslem), existuje celá řada algebraických struktur, kde zákon o zrušení neplatí .
Součin dvou vektorů neřídí zrušení zákona. Pokud a × b = a × c , potom to b = c nenásleduje, i když a ≠ 0 .
Maticové násobení také nemusí nutně dodržovat zákon o zrušení. Pokud AB = AC a A ? 0 , pak je třeba prokázat, že matice je invertible (tedy má det ( ) ≠ 0 ) předtím, než je možné konstatovat, že B = C . Pokud det ( ) = 0 , pak B může nerovná C , protože matice rovnice AX = B nebude mít jedinečné řešení pro non-regulární matice A .
Všimněte si také, že v případě, AB = CA a ≠ 0 a matice je invertible (tedy má det ( ) ≠ 0 ), to není nutně pravda, že B = C . Zrušení funguje pouze pro AB = AC a BA = CA (za předpokladu, že matice A je invertovatelná ), nikoli pro AB = CA a BA = AC .