Sada kantorů - Cantor set

V matematice je Cantorova množina bodů ležících na jednom segmentu čáry, který má řadu neintuitivních vlastností. Byl objeven v roce 1874 Henry John Stephen Smith a představen německým matematikem Georgem Cantorem v roce 1883.

Díky zvážení této sady Cantor a další pomohli položit základy moderní topologie bodových sad . Ačkoli sám Cantor definoval sadu obecným, abstraktním způsobem, nejběžnější moderní konstrukcí je ternární množina Cantor , postavená odstraněním střední třetiny úsečky a následným opakováním postupu se zbývajícími kratšími segmenty. Sám Cantor zmínil ternární konstrukci jen mimochodem, jako příklad obecnější představy o dokonalé sadě, která není nikde hustá .

Přiblížit sadu Cantor. Každý bod v sadě je zde znázorněn svislou čarou.

Konstrukce a vzorec ternární množiny

Ternární sada Cantor je vytvořena iteračním odstraněním otevřené střední třetiny ze sady segmentů čar. Jeden začíná odstraněním otevřené prostřední třetinu z intervalu , přičemž dvě úsečky: . Dále otevřené střední třetině každé z těchto zbývajících segmentů je odstraněn, přičemž čtyři úsečky: . Tento proces pokračuje do nekonečna , kde je n -ta množina

Ternární sada Cantor obsahuje všechny body v intervalu, které nejsou odstraněny v žádném kroku v tomto nekonečném procesu:

  pro jakékoli  

Prvních šest kroků tohoto procesu je znázorněno níže.

Ternární sada Cantor, v sedmi iteracích

Pomocí myšlenky vlastních transformací a explicitních uzavřených vzorců pro sadu Cantor jsou

kde je každá střední třetina odstraněna jako otevřený interval z uzavřeného intervalu, který jej obklopuje, nebo

kde střední třetina předchozího uzavřeného intervalu je odstraněna protínáním s

Tento proces odstraňování středních třetin je jednoduchým příkladem pravidla konečného dělení . Ternární sada Cantor je příkladem fraktálního řetězce .

Kantor nastavil binární strom.svg

V aritmetických termínech sestava Cantor sestává ze všech reálných čísel jednotkového intervalu , které nevyžadují číslici 1, aby byla vyjádřena jako ternární (základna 3) zlomek. Jak ukazuje výše uvedený diagram, každý bod v sadě Cantor je jedinečně umístěn cestou přes nekonečně hluboký binární strom, kde se cesta stáčí doleva nebo doprava na každé úrovni podle toho, na které straně odstraněného segmentu bod leží. Reprezentace každé levé zatáčky s 0 a každé pravé zatáčky s 2 poskytne ternární zlomek pro bod.

Složení

Protože je sada Cantor definována jako nevyloučená množina bodů, podíl (tj. Míra ) zbývajícího intervalu jednotky lze zjistit podle celkové odebrané délky. Tento součet je geometrický průběh

Takže zbývající podíl je 1 - 1 = 0.

Tento výpočet naznačuje, že sada Cantor nemůže obsahovat žádný interval nenulové délky. Může se zdát překvapivé, že by mělo něco zůstat - koneckonců součet délek odstraněných intervalů se rovná délce původního intervalu. Bližší pohled na tento proces však ukazuje, že tam musí něco zůstat, protože odstranění „střední třetiny“ každého intervalu zahrnovalo odstranění otevřených sad (množin, které neobsahují jejich koncové body). Odstranění segmentu čáry (1/3, 2/3) z původního intervalu [0, 1] nechává za body 1/3 a 2/3. Následné kroky neodstraňují tyto (nebo jiné) koncové body, protože odstraněné intervaly jsou vždy interní vůči zbývajícím intervalům. Sada Cantor tedy není prázdná a ve skutečnosti obsahuje nepočítaně nekonečný počet bodů (jak vyplývá z výše uvedeného popisu z hlediska cest v nekonečném binárním stromu).

Může se zdát, že zbývají pouze koncové body stavebních segmentů, ale také tomu tak není. Číslo1/4Například, má jedinečnou formě trojice 0.020202 ... = 0. 02 . Je ve spodní třetině a horní třetině této třetiny a spodní třetině této horní třetiny atd. Protože nikdy není v jednom ze středních segmentů, není nikdy odstraněn. Přesto to také není koncový bod žádného středního segmentu, protože to není násobek jakékoli síly 1/3. Všechny koncové body segmentů jsou koncovými ternárními zlomky a jsou obsaženy v sadě

což je počitatelně nekonečná množina. Pokud jde o mohutnost , téměř všechny prvky sady Cantor nejsou koncovými body intervalů ani racionálními body jako 1/4. Celá sada Cantor se ve skutečnosti nedá spočítat.

Vlastnosti

Mohutnost

Je možné ukázat, že v tomto procesu zůstalo tolik bodů, kolik bylo na začátku, a že proto je sada Cantor nepočitatelná . Chcete-li vidět, ukazujeme, že je funkce f z množiny Cantor do uzavřeného intervalu [0,1], které je surjektivní (tj f mapami na [0,1]) tak, aby mohutnost z je nižší než počet z [0,1]. Protože jde o podmnožinu [0,1], její mohutnost také není větší, takže obě věty musí být ve skutečnosti rovné, podle Cantor – Bernstein – Schröderovy věty .

Při konstrukci této funkce zvažte body v intervalu [0, 1] ve smyslu zápisu báze 3 (nebo ternárního ). Připomeňme, že vlastní ternární zlomky, přesněji: prvky , připouštějí v tomto zápisu více než jednu reprezentaci, jako například1/3, které lze zapsat jako 0,1 3 = 0,1 0 3 , ale také jako 0,0222 ... 3 = 0,0 2 3 , a2/3, které lze zapsat jako 0,2 3 = 0,2 0 3, ale také jako 0,1222 ... 3 = 0,1 2 3 . Když odstraníme střední třetinu, bude obsahovat čísla s ternárními číslicemi ve tvaru 0,1xxxxx ... 3, kde xxxxx ... 3 je přísně mezi 00000 ... 3 a 22222 ... 3 . Čísla zbývající po prvním kroku tedy sestávají z

  • Čísla formuláře 0,0xxxxx ... 3 (včetně 0,022222 ... 3 = 1/3)
  • Čísla formuláře 0,2xxxxx ... 3 (včetně 0,222222 ... 3 = 1)

To lze shrnout tak, že ta čísla s ternárním vyjádřením, že první číslice za bodem radixu není 1, jsou ta, která zbývají po prvním kroku.

Druhý krok odstraní čísla ve tvaru 0,01xxxx ... 3 a 0,21xxxx ... 3 a (s náležitou péčí o koncové body) lze dojít k závěru, že zbývající čísla jsou ta s ternární číslicí, kde žádný z prvních dvě číslice je 1.

Pokračujeme -li tímto způsobem, aby číslo v kroku n nebylo vyloučeno , musí mít ternární reprezentaci, jejíž n -ta číslice není 1. Aby bylo číslo v sadě Cantor, nesmí být vyloučeno v žádném kroku, tj. musí připustit číselné vyjádření sestávající výhradně z 0 s a 2 s.

Stojí za to zdůraznit, že čísla jako 1, 1/3= 0,1 3 a7/9= 0,21 3 jsou v sadě Cantor, protože mají ternární číslice skládající se výhradně z 0 s a 2 s: 1 = 0,222 ... 3 = 0, 2 3 ,1/3= 0,0222 ... 3 = 0,0 2 3 a7/9= 0,20222 ... 3 = 0,20 2 3 . Všechny poslední čísla jsou „koncové body“, přičemž tyto příklady jsou pravé koncové body z . Totéž platí pro levé koncové body např2/3= 0,1222 ... 3 = 0,1 2 3 = 0,2 0 3 a8/9= 0,21222 ... 3 = 0,21 2 3 = 0,22 0 3 . Všechny tyto koncové body jsou vlastní ternární zlomky (prvky ) formulářep/q, kde jmenovatel q je mocnina 3, když je zlomek ve své neredukovatelné formě. Ternární reprezentace těchto zlomků končí (tj. Je konečná) nebo - připomeňme si shora, že vlastní ternární zlomky mají každá 2 reprezentace - je nekonečná a „končí“ buď nekonečně mnoha opakujícími se 0 s, nebo nekonečně mnoha opakujícími se 2 s. Tento zlomek je levý bod A meze ze pokud jeho ternární znázornění neobsahuje 1 a „končí“ v nekonečně mnoha opakujících se 0s. Podobně je správná ternární frakce pravým mezním bodem, pokud opět její ternární expanze neobsahuje žádná 1 a „končí“ v nekonečně mnoha opakujících se 2 s.

Tento soubor koncových bodů je hustá v (ale ne hustá v [0, 1]) a tvoří spočetně nekonečné set. Čísla, ve kterých nejsou koncovými body, mají ve své ternární reprezentaci také pouze 0s a 2s, ale nemohou končit nekonečným opakováním číslice 0 ani číslice 2, protože pak by to byl koncový bod.

Funkce od do [0,1] je definována tak, že vezme ternární číslice, které se skládají výhradně z 0 s a 2 s, nahradí všechny 2 s 1 s a interpretuje sekvenci jako binární reprezentaci skutečného čísla. Ve vzorci,

  kde  

Pro libovolné číslo y v [0,1] lze jeho binární reprezentaci přeložit do ternární reprezentace čísla x v nahrazením všech 1 s 2 s. S tím, f ( x ) = y tak, že y je v rozmezí o f . Například pokud y =3/5= ,100110011001 ... 2 = 0. 1001 , píšeme x = 0. 2002 = 0.200220022002 ... 3 =7/10. V důsledku toho je f surjektivní. Nicméně, f je ne injective - hodnoty, pro něž f ( x ), se shoduje jsou na opačných koncích jedné ze střední třetiny odstraněny. Například vzít

1/3= 0,0 2 3 (což je pravý mezní bod a levý koncový bod střední třetiny [1/3, 2/3]) a
2/3= 0,2 0 3 (což je levý koncový bod a pravý mezní bod střední třetiny [1/3, 2/3])

tak

V sadě Cantor je tedy tolik bodů, kolik je v intervalu [0, 1] (který má nespočetnou mohutnost ). Sada koncových bodů odstraněných intervalů je však spočítatelná, takže v sadě Cantor musí být nespočetně mnoho čísel, která nejsou koncovými body intervalů. Jak bylo uvedeno výše, jeden příklad takového čísla je1/4, které lze zapsat jako 0,020202 ... 3 = 0, 02 v ternárním zápisu. Ve skutečnosti, vzhledem k nějakému , existují takové, že . Poprvé to předvedl Steinhaus v roce 1917, který prostřednictvím geometrického argumentu dokázal ekvivalentní tvrzení, že pro každého . Protože tato konstrukce poskytuje injekci od do , máme jako okamžitý důsledek. Za předpokladu, že pro jakoukoli nekonečnou množinu (prohlášení, které je ukázáno jako ekvivalentní axiomu, který Tarski vybral ), to poskytuje další ukázku toho .

Sada Cantor obsahuje tolik bodů jako interval, ze kterého je odebrána, ale sama neobsahuje žádný interval nenulové délky. Iracionální čísla mají stejnou vlastnost, ale sada Cantor má další vlastnost, že je uzavřená, takže není ani hustá v žádném intervalu, na rozdíl od iracionálních čísel, která jsou hustá v každém intervalu.

Předpokládalo se, že všechna algebraická iracionální čísla jsou normální . Protože členové Cantorovy sady nejsou normální, znamenalo by to, že všichni členové Cantorovy sady jsou buď racionální, nebo transcendentální .

Sebe podobnost

Sada Cantor je prototypem fraktálu . Je podobný sobě samému , protože se rovná dvěma kopiím sebe sama, pokud je každá kopie zmenšena o faktor 3 a přeložena. Přesněji řečeno, Cantorova množina se rovná sjednocení dvou funkcí, levé a pravé vlastní podobnosti, a které ponechávají Cantorovu sadu invariantní až k homeomorfismu :

Opakované iterace z a mohou být zobrazeny jako nekonečné binárního stromu . To znamená, že v každém uzlu stromu lze uvažovat o podstromu doleva nebo doprava. Vezmeme -li sadu společně s funkční kompozicí, vytvoří se monoid , dyadický monoid .

K automorfismy binárního stromu jsou jeho hyperbolické rotace, a jsou dány modulární skupiny . Cantorova množina je tedy homogenní prostor v tom smyslu, že pro jakékoli dva body a v Cantorově sadě existuje homeomorfismus s . Explicitní konstrukci lze popsat snadněji, pokud vidíme sadu Cantor jako produktový prostor spočítatelně mnoha kopií diskrétního prostoru . Pak je definována mapa pomocí evolutivního homeomorfismu, který vyměňuje a .

Zákon o ochraně přírody

Bylo zjištěno, že za škálování a vlastní podobnost je vždy zodpovědná nějaká forma zákona o zachování. V případě Cantorovy sady je vidět, že th moment (kde je fraktální rozměr) všech přežívajících intervalů v jakékoli fázi stavebního procesu se rovná konstantě, která se rovná jedné v případě Cantorovy množiny. Víme, že v systému jsou v th kroku jeho konstrukce přítomny intervaly velikosti . Pak, když označíme přežívající intervaly jako, pak je ten okamžik od .

Hausdorff sady Cantor je roven ln (2) / ln (3) ≈ 0,631.

Topologické a analytické vlastnosti

Ačkoli „sada Cantor“ typicky odkazuje na původní Cantor, popsaný výše ve středních třetinách, topologové často hovoří o „Cantorově sadě“, což znamená jakýkoli topologický prostor, který je mu homeomorfní (topologicky ekvivalentní).

Jak vyplývá z výše shrnutí argumentů ukazuje, množina Cantor je nespočetná, ale má Lebesgueovy míry 0. Protože množina Cantor je komplementární k sjednocení všech otevřených souborů , že je sám o sobě uzavřená podmnožina reálných čísel, a proto je úplný metrický prostor . Protože je také zcela ohraničená , Heine -Borelova věta říká, že musí být kompaktní .

Pro jakýkoli bod v sadě Cantor a jakékoli libovolně malé sousedství bodu existuje nějaké jiné číslo s ternární číslicí pouze 0 s a 2 s, stejně jako čísla, jejichž ternární číslice obsahují 1 s. Každý bod v sadě Cantor je tedy akumulačním bodem (také nazývaným klastrový bod nebo mezní bod) sady Cantor, ale žádný není vnitřní bod . Uzavřená množina, ve které je každý bod akumulačním bodem, se v topologii také nazývá dokonalá množina , zatímco uzavřená podmnožina intervalu bez vnitřních bodů není v intervalu nikde hustá .

Každý bod sady Cantor je také akumulačním bodem doplňku sady Cantor.

Pro libovolné dva body v sadě Cantor budou existovat nějaké ternární číslice, kde se liší - jeden bude mít 0 a druhý 2. Rozdělením sady Cantor na „poloviny“ v závislosti na hodnotě této číslice získá oddíl sada Cantor do dvou uzavřených sad, které oddělují původní dva body. V relativní topologii na sadě Cantor byly body odděleny sadou clopen . V důsledku toho je sada Cantor zcela odpojena . Jako kompaktní zcela odpojený Hausdorffův prostor je sada Cantor příkladem kamenného prostoru .

Jako topologického prostoru , sada Cantor je přirozeně homeomorphic k produktu z countably mnoha kopií prostoru , kde každá kopie nese jednotlivou topologii . Toto je prostor všech sekvencí ve dvou číslicích

které lze také identifikovat pomocí sady 2adických celých čísel . Základ pro otevřené sady topologie produktu jsou válcové soupravy ; homeomorfismus je mapuje na subprostorovou topologii , kterou Cantorova sada dědí z přirozené topologie na reálné číselné ose. Tato charakteristika prostoru Cantor jako produktu kompaktních prostor poskytuje druhý důkaz, že prostor Cantor je kompaktní, prostřednictvím Tychonoffovy věty .

Z výše uvedené charakterizace je sada Cantor homeomorfní na celá čísla p-adic , a pokud je z ní odebrán jeden bod, na čísla p-adic .

Cantorova sada je podmnožinou skutečností, které jsou metrickým prostorem vzhledem k běžné metrice vzdálenosti ; proto je samotná sada Cantor metrickým prostorem pomocí stejné metriky. Alternativně lze použít metriku p-adic na : daných dvou sekvencích je vzdálenost mezi nimi , kde je nejmenší index takový, že ; pokud takový index neexistuje, pak jsou tyto dvě sekvence stejné a jedna definuje vzdálenost jako nulovou. Tyto dvě metriky generují stejnou topologii na sadě Cantor.

Výše jsme viděli, že sada Cantor je naprosto odpojený dokonalý kompaktní metrický prostor. V jistém smyslu je to jediný: každý neprázdný zcela odpojený dokonalý kompaktní metrický prostor je homeomorfní pro sadu Cantor. Další informace o prostorech homomorfních k sadě Cantor najdete v prostoru Cantor.

Souprava Cantor je někdy považován za „univerzální“ v kategorii z kompaktních metrických prostorů , protože každá kompaktní metrický prostor je kontinuální obraz sady Cantor; tato konstrukce však není jedinečná, a proto sada Cantor není univerzální v přesném kategorickém smyslu. Vlastnost „univerzální“ má důležité aplikace ve funkční analýze , kde je někdy známá jako reprezentační věta pro kompaktní metrické prostory .

Pro jakékoli celé číslo q ≥ 2 je topologie na skupině G = Z q ω (počitatelný přímý součet) diskrétní. Ačkoli Pontrjaginův duál Γ je také Z q ω , topologie Γ je kompaktní. Je vidět, že Γ je zcela odpojený a dokonalý - je tedy homeomorfní pro sadu Cantor. Nejsnazší je vypsat homeomorfismus výslovně v případě q = 2. (Viz Rudin 1962, s. 40.)

Geometrický průměr sady Cantor je přibližně 0,274974.

Měření a pravděpodobnost

Na sadu Cantor lze pohlížet jako na kompaktní skupinu binárních sekvencí a jako taková je vybavena přirozenou Haarovou mírou . Když je normalizován tak, že míra množiny je 1, je to model nekonečné posloupnosti hodů mincí. Dále je možné ukázat, že obvyklá Lebesgueova míra na intervalu je obrazem Haarovy míry na Cantorově sadě, zatímco přirozená injekce do ternární množiny je kanonickým příkladem singulární míry . Lze také ukázat, že Haarova míra je obrazem jakékoli pravděpodobnosti , díky čemuž Cantor určitým způsobem nastavuje univerzální pravděpodobnostní prostor.

V Lebesgueově teorii míry je Cantorova množina příkladem množiny, která je nepočitatelná a má nulovou míru.

Čísla kantorů

Pokud definujeme číslo Cantor jako člena sady Cantor, pak

  1. Každé skutečné číslo v [0, 2] je součtem dvou Cantorových čísel.
  2. Mezi jakýmikoli dvěma čísly Cantor je číslo, které není Cantorovým číslem.

Popisná teorie množin

Sada Cantor je malá množina (nebo sada první kategorie) jako podmnožina [0,1] (i když ne jako podmnožina sama o sobě, protože se jedná o Bairův prostor ). Sada Cantor tedy ukazuje, že pojmy „velikosti“ z hlediska mohutnosti, míry a kategorie (Baire) se nemusí shodovat. Stejně jako množina je i sada Cantor „malá“ v tom smyslu, že se jedná o nulovou množinu (sada nulové míry) a je to skrovná podmnožina [0,1]. Na rozdíl od toho , který je spočitatelný a má „malou“ mohutnost, je mohutnost stejná jako u [0,1], kontinua , a je „velká“ ve smyslu mohutnosti. Ve skutečnosti je také možné sestrojit podmnožinu [0,1], která je malá, ale kladná, a podmnožinu, která není malá, ale má nulovou míru: Použitím spočítatelného spojení „tučných“ Cantorových množin opatření (pro konstrukci viz níže sada Smith – Volterra – Cantor) získáme množinu, která má kladnou míru (rovná se 1), ale je malá v [0,1], protože každá není nikde hustá. Pak zvažte sadu . Protože , nemůže být hubené, ale protože , musí mít nulu.

Varianty

Sada Smith – Volterra – Cantor

Místo toho, abychom opakovaně odstraňovali prostřední třetinu každého kusu jako v sadě Cantor, mohli bychom také ze středu stále odstraňovat jakékoli jiné pevné procento (jiné než 0% a 100%). V případě, že uprostřed8/10intervalu je odstraněn, získáme pozoruhodně přístupný případ - množina se skládá ze všech čísel v [0,1], která lze zapsat jako desetinné číslo sestávající výhradně z 0 s a 9 s. Je-li pevné procento odstraněna v každém stupni, pak se omezující souprava bude mít nulové míry, protože délka zbývající jako pro všechny f takové, že .

Na druhou stranu „tukové Cantorovy sady“ pozitivní míry lze generovat odstraněním menších frakcí středu segmentu v každé iteraci. Lze tedy sestrojit sady homeomorfní k sadě Cantor, které mají pozitivní Lebesgueovu míru, a přitom nejsou nikde husté. Je-li interval o délce ( je) odstraněn od středu každého segmentu v n -té iteraci, pak celková délka je odstraněna , a omezující sada bude mít Lebesgueovy míry o . V určitém smyslu je tedy sada Cantor pro střední třetiny omezujícím případem s . Pokud , pak zbytek bude mít kladnou míru s . Případ je známý jako sada Smith – Volterra – Cantor , která má Lebesgueovu míru .

Sada Stochastic Cantor

Konstrukci sady Cantor lze upravit dělením náhodně místo rovnoměrně. Kromě toho, abychom začlenili čas, můžeme rozdělit pouze jeden z dostupných intervalů v každém kroku namísto rozdělení všech dostupných intervalů. V případě stochastické triadické sady Cantor lze výsledný proces popsat následující rychlostní rovnicí

a pro stochastickou dyadickou sadu Cantor

kde je počet intervalů velikosti mezi a . V případě triadického Cantorova souboru je fraktální rozměr menší než jeho deterministický protějšek . V případě stochastického dyadického Cantorova souboru je fraktální rozměr opět menší než u jeho deterministického protějšku . V případě stochastického dyadického Cantoru nastavuje řešení pro exponáty dynamické škálování, protože jeho řešení v dlouhodobém limitu je místo, kde fraktální rozměr stochastické dyadické sady Cantor . V obou případech, stejně jako triadická Cantorova množina, je th moment ( ) stochastické triadické a dyadické Cantorovy sady také konzervovanými veličinami.

Kantorský prach

Cantor dust je vícerozměrná verze sady Cantor. Může být vytvořen tak, že vezmeme konečný karteziánský součin sady Cantor sám se sebou, čímž se z ní stane prostor Cantor . Stejně jako sada Cantor má prach Cantor nulovou míru .

Rekurze rekurze kostek Cantor směrem k prachu Cantor
Cantorový prach (2D)
Cantorový prach (3D)

Jiným 2D analogem sady Cantor je koberec Sierpinski , kde je čtverec rozdělen na devět menších čtverců a prostřední odstraněn. Zbývající čtverce jsou pak dále rozděleny do devíti a střed je odstraněn atd. Ad infinitum. Jedním 3D analogem toho je houba Menger .

Historické poznámky

Sloupcový kapitál se vzorem evokujícím množinu Cantor, ale vyjádřený spíše binárně než ternárně. Rytina Île de Philae z Description d'Égypte od Jean-Baptiste Prosper Jollois a Édouard Devilliers, Imprimerie Impériale, Paříž, 1809-1828

Sám Cantor definoval množinu obecným, abstraktním způsobem a ternární konstrukci zmínil jen mimochodem jako příklad obecnější představy dokonalé sady, která není nikde hustá . Původní článek poskytuje několik různých konstrukcí abstraktního konceptu.

Tato sada by byla považována za abstraktní v době, kdy ji Cantor vymyslel. Sám Cantor byl k tomu veden praktickými obavami ze sady bodů, kde by se goniometrická řada nemohla sblížit. Tento objev udělal mnoho pro to, aby se dostal do kurzu vývoje abstraktní obecné teorie nekonečných množin .

Viz také

Poznámky

Reference

externí odkazy