Kategorie (matematika) - Category (mathematics)

Jedná se o kategorii se sbírkou předmětů A, B, C a sbírkou morfismů označených f, g, g ∘ f a smyčky jsou šipky identity. Tato kategorie je obvykle označena tučným písmem 3 .

V matematice je kategorie (někdy nazývaná abstraktní kategorie k odlišení od konkrétní kategorie ) souborem „předmětů“, které jsou spojeny „šipkami“. Kategorie má dvě základní vlastnosti: schopnost asociativně skládat šipky a existenci šipky identity pro každý objekt. Jednoduchým příkladem je kategorie množin , jejichž objekty jsou množiny a jejichž šipky jsou funkce .

Teorie kategorií je obor matematiky, který se snaží zobecnit veškerou matematiku na kategorie, nezávisle na tom, co jejich objekty a šipky představují. Prakticky každé odvětví moderní matematiky lze popsat z hlediska kategorií a často to odhalí hluboké vhledy a podobnosti mezi zdánlivě odlišnými oblastmi matematiky. Teorie kategorií jako taková poskytuje alternativní základ pro matematiku k nastavení teorie a dalších navrhovaných axiomatických základů. Objekty a šipky mohou být obecně abstraktní entity jakéhokoli druhu a pojem kategorie poskytuje základní a abstraktní způsob popisu matematických entit a jejich vztahů.

Kromě formalizace matematiky se teorie kategorií používá také k formalizaci mnoha dalších systémů v počítačové vědě, jako je sémantika programovacích jazyků .

Dvě kategorie jsou stejné, pokud mají stejnou sbírku předmětů, stejnou sbírku šipek a stejnou asociativní metodu skládání libovolných dvojic šipek. Dvě různé kategorie mohou být také považovány za „ ekvivalentní “ pro účely teorie kategorií, i když nemají přesně stejnou strukturu.

Známé kategorie jsou označeny krátkým velkým písmenem nebo zkratkou tučně nebo kurzívou: příklady zahrnují Set , kategorii množin a množinové funkce ; Prsten , kategorie prstenů a kruhových homomorfismů ; a Top , kategorie topologických prostorů a souvislých map . Všechny předchozí kategorie mají mapu identit jako šipky identity a kompozici jako asociativní operaci na šipkách.

Klasickým a stále hodně používaným textem z teorie kategorií je Kategorie pro pracujícího matematika od Saunderse Mac Lane . Další odkazy jsou uvedeny v níže uvedených referencích . Základní definice v tomto článku jsou obsaženy v prvních kapitolách kterékoli z těchto knih.

Jakýkoli monoid lze chápat jako zvláštní druh kategorie (s jediným předmětem, jehož self-morfismy jsou reprezentovány prvky monoidu), stejně jako jakýkoli předobjednávka .

Definice

Existuje mnoho ekvivalentních definic kategorie. Jedna běžně používaná definice je následující. Kategorie C se skládá z

• třídy ob ( C ) z předmětů ,
• třídní hom ( C ) morfismů nebo šipek nebo map mezi objekty,
• domény , nebo zdroj objekt funkce třídy ,${\ Displaystyle \ mathrm {dom} \ colon \ mathrm {hom} (C) \ rightarrow \ mathrm {ob} (C)}$
• codomain nebo cílový objekt funkce třídy ,${\ Displaystyle \ mathrm {cod} \ colon \ mathrm {hom} (C) \ rightarrow \ mathrm {ob} (C)}$
• pro každé tři objekty a , b a c , binární operace hom ( a , b ) × hom ( b , c ) → hom ( a , c ) nazývaná kompozice morfismů ; složení f  : a → b a g  : b → c se zapíše jako g ∘ f nebo gf . (Někteří autoři používají „schematický řád“, psaní f; g nebo fg ).

Poznámka: Zde hom ( a , b ) označuje podtřídu morfismů f v hom ( C ) tak, že a . Takové morfismy jsou často psány jako f  : a → b . ${\ Displaystyle \ mathrm {dom} (f) = a}$${\ Displaystyle \ mathrm {cod} (f) = b}$

tak, že platí následující axiomy:

• ( asociativita ) pokud f  : a → b , g  : b → c a h  : c → d pak h ∘ ( g ∘ f ) = ( h ∘ g ) ∘ f , a
• ( identita ) pro každý objekt x existuje morfismus 1 _x  : x → x (někteří autoři píší id _x ) nazývaný morfismus identity pro x , takže každý morfismus f  : a → x splňuje 1 _x ∘ f = f , a každý morfismus g  : x → b splňuje g ∘ 1 _x = g .

Napíšeme f : a → b a řekneme „ f je morfismus od a do b “. Píšeme hom ( a , b ) (nebo hom _C ( a , b ), pokud může dojít k záměně, na kterou kategorii se hom ( a , b ) vztahuje), abychom označili hom-třídu všech morfismů od a do b . Z těchto axiomů lze dokázat, že pro každý objekt existuje přesně jeden morfismus identity. Někteří autoři používají mírnou variaci definice, ve které je každý objekt identifikován s odpovídajícím morfismem identity.

Malé i velké kategorie

Kategorie C se nazývá malá, pokud ob ( C ) i hom ( C ) jsou ve skutečnosti množiny a ne vlastní třídy , a velké jinak. Místně malý kategorie je kategorie tak, že pro všechny objekty s a b , na hom-class hom ( , b ) je soubor, který se nazývá homset . Mnoho důležitých kategorií v matematice (například kategorie množin), i když nejsou malé, jsou alespoň lokálně malé. Protože v malých kategoriích tvoří objekty sadu, lze na malou kategorii pohlížet jako na algebraickou strukturu podobnou monoidu, ale bez nutnosti vlastností uzavření . Velké kategorie naopak lze použít k vytváření „struktur“ algebraických struktur.

Příklady

Třída všech souborů (jako objekty), spolu se všemi funkcemi mezi nimi (např morphisms), pokud je složení morphisms je obvyklé funkce kompozice , tvoří velkou kategorii, sada . Je to nejzákladnější a nejčastěji používaná kategorie v matematice. Kategorie Rel se skládá ze všech množin (jako objektů) s binárními vztahy mezi nimi (jako morfismy). Abstrakce ze vztahů místo funkcí přináší alegorie , speciální třídu kategorií.

Na jakoukoli třídu lze pohlížet jako na kategorii, jejíž jediným morfismem jsou morfismy identity. Takovým kategoriím se říká diskrétní . Pro jakýkoli daný soubor I je diskrétní kategorie na I malá kategorie, která má prvky I jako objekty a pouze morfismy identity jako morfismy. Diskrétní kategorie jsou nejjednodušším druhem kategorie.

Jakákoli předobjednaná množina ( P , ≤) tvoří malou kategorii, kde objekty jsou členy P , morfismy jsou šipky směřující od x do y, když x ≤ y . Kromě toho, pokud ≤ je antisymetrický , může mezi nejvýše dvěma objekty existovat nejvýše jeden morfismus. Existence morfismů identity a skladatelnost morfismů je zaručena reflexivitou a tranzitivitou předobjednávky. Podle stejného argumentu lze jakoukoli částečně uspořádanou množinu a jakýkoli vztah ekvivalence považovat za malou kategorii. Jakékoli pořadové číslo může být považováno za kategorii, pokud je zobrazeno jako seřazená sada .

Jakýkoli monoid (jakákoli algebraická struktura s jedinou asociativní binární operací a prvkem identity ) tvoří malou kategorii s jediným objektem x . (Zde je x jakákoli pevná množina.) Morfismy od x do x jsou přesně prvky monoidu, morfismus identity x je identita monoidu a kategorické složení morfismů je dáno operací monoidů. Pro kategorie lze zobecnit několik definic a vět o monoidech.

Podobně lze na jakoukoli skupinu pohlížet jako na kategorii s jediným předmětem, ve kterém je každý morfismus invertibilní , to znamená, že pro každý morfismus f existuje morfismus g, který je v kompozici levý i pravý inverzní k f . Morfismus, který je v tomto smyslu invertibilní, se nazývá izomorfismus .

Grupoid je kategorie, ve které každý morphism je izomorfismus. Groupoidy jsou zobecnění skupin, skupinové akce a vztahy ekvivalence . Ve skutečnosti je z hlediska kategorie jediným rozdílem mezi grupoidem a skupinou ten, že groupoid může mít více než jeden objekt, ale skupina musí mít pouze jeden. Uvažujme topologický prostor X a stanovit základní bod a X , pak je základním skupina z topologického prostoru X a základního bodu , a jako soubor má strukturu skupiny; pokud pak ať referenční bod přejede všechny body X , a přijmout jednotu všeho , pak soubor dostaneme má pouze strukturu grupoidu (který se nazývá jako základní grupoidu z X ): dvě smyčky (pod rovnocennosti vztahu homotopy) nemusí mít stejný základní bod, takže se nemohou navzájem množit. V jazyce kategorie to znamená, že zde dva morfismy nemusí mít stejný zdrojový objekt (nebo cílový objekt, protože v tomto případě jsou pro jakýkoli morfismus zdrojový objekt a cílový objekt stejné: základní bod), takže nemohou skládat s navzájem. ${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle \ pi _ {1} (X, x_ {0})}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle \ pi _ {1} (X, x_ {0})}$

Směrovaný graf.

Jakýkoli směrovaný graf generuje malou kategorii: objekty jsou vrcholy grafu a morfismy jsou cesty v grafu ( podle potřeby doplněné o smyčky ), kde složení morfismů je zřetězení cest. Taková kategorie se nazývá volná kategorie generovaná grafem.

Třída všech předobjednaných množin s monotónními funkcemi jako morfismy tvoří kategorii, řád . Je to konkrétní kategorie , tj. Kategorie získaná přidáním nějakého typu struktury na Set a vyžadující, aby morfismy byly funkce, které respektují tuto přidanou strukturu.

Třída všech skupin se skupinovými homomorfismy jako morfismy a funkční kompozicí při operaci kompozice tvoří velkou kategorii, Grp . Stejně jako Ord je Grp konkrétní kategorie. Kategorie Ab , skládající se ze všech abelian skupin a jejich skupin homomorfismů, je plná podkategorie z GRP a prototyp abelian kategorii . Další příklady konkrétních kategorií uvádí následující tabulka.

Vláknové svazky s mapami svazků mezi nimi tvoří konkrétní kategorii.

Kategorie Cat se skládá ze všech malých kategorií, přičemž mezi nimi jsou funktory jako morfismy.

Výstavba nových kategorií

Duální kategorie

Jakákoli kategorie C může být sama o sobě považována za novou kategorii jiným způsobem: objekty jsou stejné jako v původní kategorii, ale šipky jsou z původní kategorie obrácené. Toto se nazývá duální nebo opačná kategorie a označuje se C ^op .

Kategorie produktů

Pokud C a D jsou kategorie, jeden může tvořit produkt kategorii C x D : předměty jsou dvojice sestávající z jednoho předmětu z C a jeden z D a morfizmy také páry, která se skládá z jednoho morfismu v C a jeden z D . Takové páry mohou být složeny po částech .

Druhy morfismů

Morfizmus f  : → b , se nazývá

• monomorfizmus (nebo monic ), pokud se nechá-zrušit, tj fg ₁ = fg ₂ vyplývá, g ₁ = g ₂ pro všechny morphisms g ₁ , g ₂  : x → .
• epimorfismus (nebo epický ), je- li zrušitelný doprava, tj. g ₁ f = g ₂ f znamená g ₁ = g ₂ pro všechny morfismy g ₁ , g ₂  : b → x .
• bimorfizmus pokud to je jak monomorfizmus a epimorfizmus.
• zatažení v případě, že má správné inverzní, tj, zda existuje morfizmus g  : b → je s FG = 1 _b .
• část v případě, že má levý inverzní, tj, zda existuje morfizmus g  : b → s gf = 1 _s .
• izomorfismus pokud má inverzní, tj, zda existuje morfizmus g  : b → je s FG = 1 _B a gf = 1 _s .
• endomorfizmus pokud = b . Třída endomorfismů a je označena end ( a ).
• automorphism pokud f je jak endomorphism a izomorfismus. Třída automorfismů a je označena aut ( a ).

Každé stažení je epimorfismus. Každá sekce je monomorfismus. Následující tři tvrzení jsou ekvivalentní:

• f je monomorfismus a zatažení;
• f je epimorfismus a řez;
• f je izomorfismus.

Vztahy mezi morfismy (například fg = h ) lze nejvýhodněji znázornit pomocí komutativních diagramů , kde jsou objekty znázorněny jako body a morfismy jako šipky.

Typy kategorií

• V mnoha kategoriích, např. Ab nebo Vect _K , nejsou hom-sady hom ( a , b ) jen množinami, ale ve skutečnosti abelianskými skupinami , a složení morfismů je kompatibilní s těmito skupinovými strukturami; tj. je bilineární . Taková kategorie se nazývá preadditive . Pokud navíc kategorie obsahuje všechny konečné produkty a koprodukty , nazývá se to kategorie aditiv . Pokud všechny morfismy mají jádro a kokernel a všechny epimorfismy jsou jádra a všechny monomorfismy jsou jádra, pak mluvíme o abelianské kategorii . Typickým příkladem abelianské kategorie je kategorie abelianských skupin.
• Kategorie se nazývá úplná, pokud v ní existují všechny malé limity . Kategorie sad, abelianských skupin a topologických prostorů jsou kompletní.
• Kategorie se nazývá kartézský uzavřený, pokud má konečné přímé produkty a morfismus definovaný na konečném produktu může být vždy reprezentován morfismem definovaným pouze na jednom z faktorů. Mezi příklady patří Set a CPO , kategorie úplných dílčích zakázek s funkcemi Scott-Continuous .
• A topos je určitý typ kartézského uzavřenou skupinu, v níž všechny matematiky mohou být formulovány (stejně jako klasicky všech matematiky je formulována v kategorii sady). Topos lze také použít k reprezentaci logické teorie.

Viz také

• Obohacená kategorie
• Teorie vyšších kategorií
• Quantaloid
• Tabulka matematických symbolů

Poznámky

Reference

• Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990), Abstrakt a kategorie betonu (PDF) , Wiley, ISBN 0-471-60922-6(nyní bezplatná on-line edice, GNU FDL ).
• Asperti, Andrea; Longo, Giuseppe (1991), Kategorie, typy a struktury , MIT Press, ISBN 0-262-01125-5.
• Awodey, Steve (2006), teorie kategorií , logičtí průvodci Oxford, 49 , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-856861-2.
• Barr, Michael ; Wells, Charles (2005), Toposes, Triples and Theories , Reprints in Theory and Applications of Categories, 12 (revidované vydání.), MR  2178101.
• Borceux, Francis (1994), „Handbook of Categorical Algebra“, Encyclopedia of Mathematics and its Applications , 50–52, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-06119-9.
• "Kategorie" , Encyklopedie matematiky , EMS Press , 2001 [1994]
• Herrlich, Horst; Strecker, George E. (2007), teorie kategorie , Heldermann Verlag, ISBN 978-3-88538-001-6.
• Jacobson, Nathan (2009), Základní algebra (2. vyd.), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7.
• Lawvere, William ; Schanuel, Steve (1997), Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories , Cambridge University Press, ISBN 0-521-47249-0.
• Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician , Graduate Texts in Mathematics, 5 (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98403-8.
• Markýz, Jean-Pierre (2006), „Teorie kategorie“ , v Zalta, Edward N. (ed.), Stanfordská encyklopedie filozofie.
• Sica, Giandomenico (2006), Co je teorie kategorií? , Pokročilá studia matematiky a logiky, 3 , Polimetrica, ISBN 978-88-7699-031-1.
• kategorie v nLab