Teorie kategorií - Category theory

Schematické znázornění kategorie s objekty X , Y , Z a morfismy f , g , g ∘ f . (Tři morfismy identity kategorie 1 _X , 1 _Y a 1 _Z , pokud jsou výslovně uvedeny, by vypadaly jako tři šipky, od písmen X, Y a Z k sobě.)

Teorie kategorií formalizuje matematickou strukturu a její pojmy pomocí označeného směrovaného grafu nazývaného kategorie , jehož uzly se nazývají objekty a jejichž označené směrované hrany se nazývají šipky (nebo morfismy ). Kategorie má dvě základní vlastnosti: schopnost komponovat šipek asociativně a existenci identity šipky pro každý objekt. Jazyk teorie kategorií byl použit k formalizaci konceptů jiných abstrakcí na vysoké úrovni, jako jsou sady , prsteny a skupiny . Neformálně je teorie kategorií obecnou teorií funkcí .

Několik termínů používaných v teorii kategorií, včetně výrazu „morfismus“, se používá odlišně od jejich použití ve zbytku matematiky. V teorii kategorií se morfismy řídí podmínkami specifickými pro samotnou teorii kategorií.

Samuel Eilenberg a Saunders Mac Lane představili při studiu algebraické topologie pojmy kategorií, funktorů a přírodních transformací z let 1942–45 s cílem porozumět procesům, které zachovávají matematickou strukturu.

Teorie kategorií má praktické aplikace v teorii programovacího jazyka , například použití monád ve funkčním programování . Může být také použit jako axiomatický základ pro matematiku, jako alternativa k teorii množin a dalším navrhovaným základům.

Základní pojmy

Kategorie představují abstrakce jiných matematických konceptů. Mnoho oblastí matematiky lze formalizovat teorií kategorií jako kategorie . Teorie kategorií proto používá abstrakci, aby umožnila uvést a dokázat mnoho složitých a jemných matematických výsledků v těchto oblastech mnohem jednodušším způsobem.

Základním příkladem kategorie je kategorie množin , kde objekty jsou množiny a šipky jsou funkce z jedné sady do druhé. Objekty kategorie však nemusí být sady a šipky nemusí být funkce. Jakýkoli způsob formalizace matematického konceptu, který splňuje základní podmínky chování předmětů a šípů, je platnou kategorií - a vztahují se na něj všechny výsledky teorie kategorií.

O „šipkách“ teorie kategorií se často říká, že představují proces spojující dva objekty, nebo v mnoha případech transformaci „zachovávající strukturu“ spojující dva objekty. Existuje však mnoho aplikací, kde mnohem abstraktnější pojmy představují objekty a morfismy. Nejdůležitější vlastností šipek je, že je lze „skládat“, jinými slovy, uspořádat za sebou a vytvořit novou šipku.

Aplikace kategorií

Kategorie se nyní objevují v mnoha oborech matematiky, v některých oblastech teoretické informatiky, kde mohou odpovídat typům nebo databázovým schématům , a v matematické fyzice, kde je lze použít k popisu vektorových prostorů . Pravděpodobně první aplikací teorie kategorií mimo čistou matematiku byl model „metabolismu-opravy“ autonomních živých organismů od Roberta Rosena .

Užitečnost

Kategorie, předměty a morfismy

Studium kategorií je pokusem o axiomatické zachycení toho, co se běžně vyskytuje v různých třídách souvisejících matematických struktur, jejich vztahem k funkcím zachovávajícím strukturu mezi nimi. Systematické studium teorie kategorií nám pak umožňuje dokázat obecné výsledky o kterémkoli z těchto typů matematických struktur z axiomů kategorie.

Zvažte následující příklad. Třída Skup ze skupin se skládá ze všech předmětů, které mají „strukturu skupiny“. Lze pokračovat v dokazování vět o skupinách logickými dedukcemi ze sady skupin definujících axiomy. Z axiomů je například okamžitě prokázáno, že prvek identity skupiny je jedinečný.

Místo toho, aby se teorie kategorií soustředila pouze na jednotlivé objekty (např. Skupiny), které mají danou strukturu, zdůrazňuje morfismy -mapování zachovávající strukturu- mezi těmito objekty; studiem těchto morfismů se člověk může dozvědět více o struktuře předmětů. V případě skupin jsou morfismy skupinové homomorfismy . Skupinový homomorfismus mezi dvěma skupinami „zachovává skupinovou strukturu“ v přesném smyslu; neformálně je to „proces“ přenášení jedné skupiny do druhé způsobem, který přenáší informace o struktuře první skupiny do druhé skupiny. Studium skupinových homomorfismů pak poskytuje nástroj pro studium obecných vlastností skupin a důsledků skupinových axiomů.

Podobný typ vyšetřování se vyskytuje v mnoha matematických teoriích, jako je studium spojitých map (morfismů) mezi topologickými prostory v topologii (přidružená kategorie se nazývá Top ) a studium hladkých funkcí (morfismů) v mnohočetné teorii .

Ne všechny kategorie však vznikají jako „funkce zachovávající (množinu) struktury“; standardním příkladem je kategorie homotopií mezi špičatými topologickými prostory .

Pokud člověk axiomatizuje vztahy místo funkcí , získá teorii alegorií .

Funktory

Kategorie je sama o sobě typem matematické struktury, takže můžeme hledat „procesy“, které tuto strukturu v jistém smyslu zachovávají; takový proces se nazývá funktor .

Chasing diagramů je vizuální metoda hádání s abstraktními „šipkami“ spojenými v diagramech. Funktory jsou reprezentovány šipkami mezi kategoriemi, s výhradou konkrétních definujících podmínek komutativity. Funktory mohou definovat (konstruovat) kategoriální diagramy a sekvence (srov. Mitchell, 1965). Funktor ke každému předmětu jedné kategorie přiřadí předmět jiné kategorie a ke každému morfismu v první kategorii morfismus ve druhé kategorii.

Výsledkem je definice kategorie kategorií a funktorů - objekty jsou kategorie a morfismy (mezi kategoriemi) jsou funktory.

Studium kategorií a funktorů není jen studium třídy matematických struktur a morfismů mezi nimi, ale spíše vztahy mezi různými třídami matematických struktur . Tato základní myšlenka se poprvé objevila v algebraické topologii . Obtížné topologické otázky lze přeložit do algebraických otázek, jejichž řešení je často snazší. Základní konstrukce, jako základní skupiny nebo základní grupoidu jednoho topologického prostoru , může být vyjádřen jako functors do kategorie grupoidů tímto způsobem, a koncept je všudypřítomná v algebře a jeho aplikace.

Přirozené transformace

Ještě jednou abstraktně, některé diagramatické a/nebo sekvenční konstrukce jsou často „přirozeně příbuzné“ - na první pohled vágní představa. To vede k vyjasnění pojmu přirozené transformace , způsobu „mapování“ jednoho funktoru na druhý. V této souvislosti lze studovat mnoho důležitých konstrukcí z matematiky. „Přirozenost“ je princip, podobně jako obecná kovariance ve fyzice, který řezá hlouběji, než je původně zřejmé. Šipka mezi dvěma funktory je přirozenou transformací, pokud podléhá určitým podmínkám přirozenosti nebo komutativity.

Funktory a přirozené transformace („přirozenost“) jsou klíčovými pojmy v teorii kategorií.

Kategorie, předměty a morfismy

Kategorie

Kategorie C se skládá z následujících tří matematických entit:

• Třídy ob ( C ), jehož prvky jsou zvané objekty ;
• Třída hom ( C ), jejíž prvky se nazývají morfismy nebo mapy nebo šipky . Každý morfismus f má zdrojový objekt a a cílový objekt b .
  Výraz f  : a → b by byl slovně uveden jako „ f je morfismus od a do b “.
  Výraz hom ( , b ) - rovněž vyjádřeny jako hom _C ( a , b ) , mor ( , b ) , nebo C ( , b ) - označuje hom třídu všech morphisms od až b .
• Binární operace ∘, nazvaný složení morphisms , tak, že pro všechny tři objekty s , b , a c , máme ∘: hom ( b , c ) x hom ( , b ) → hom ( , c ) . Složení f  : a → b a g  : b → c se zapíše jako g ∘ f nebo gf , které se řídí dvěma axiomy:
  • Asociativita : Pokud f  : a → b , g  : b → c a h  : c → d, pak h ∘ ( g ∘ f ) = ( h ∘ g ) ∘ f , a
  • Identita : Pro každý objekt x existuje morfismus 1 _x  : x → x nazývaný morfismus identity pro x , takže pro každý morfismus f  : a → b máme 1 _b ∘ f = f = f ∘ 1 _a .

Z axiomů lze dokázat, že pro každý objekt existuje přesně jeden morfismus identity . Někteří autoři se odchylují od definice právě uvedené identifikací každého objektu s jeho morfismem identity.

Morfismy

Vztahy mezi morfismy (například fg = h ) jsou často zobrazovány pomocí komutativních diagramů , přičemž „body“ (rohy) představují objekty a „šipky“ představují morfismy.

Morfismy mohou mít některou z následujících vlastností. Morfismus f  : a → b je a:

• monomorfismus (nebo monický ), jestliže f ∘ g ₁ = f ∘ g ₂ znamená g ₁ = g ₂ pro všechny morfismy g ₁ , g ₂  : x → a .
• epimorfismus (nebo epický ), pokud g ₁ ∘ f = g ₂ ∘ f implikuje g ₁ = g ₂ pro všechny morfismy g ₁ , g ₂  : b → x .
• bimorfismus, pokud f je epické i monické.
• izomorfismus, pokud existuje morfismus g  : b → a takový, že f ∘ g = 1 _b a g ∘ f = 1 _a .
• endomorfismus, pokud a = b . end ( a ) označuje třídu endomorfismů a .
• automorfismus, pokud f je jak endomorfismus, tak izomorfismus. aut ( a ) označuje třídu automorfismů a .
• zatažení, pokud existuje pravá inverze f , tj. existuje -li morfismus g  : b → a s f ∘ g = 1 _b .
• část v případě, že levá inverzní f existuje, tedy v případě, že existuje morfizmus g  : b → s g ∘ f = 1 .

Každé stažení je epimorfismus a každá sekce je monomorfismus. Kromě toho jsou následující tři prohlášení ekvivalentní:

• f je monomorfismus a zatažení;
• f je epimorfismus a řez;
• f je izomorfismus.

Funktory

Funktory jsou mapy zachovávající strukturu mezi kategoriemi. Lze je chápat jako morfismy v kategorii všech (malých) kategorií.

A ( kovariantní ) funktor F z kategorie C do kategorie D , psaný F  : C → D , se skládá z:

• pro každý objekt x v C objekt F ( x ) v D ; a
• pro každý morfismus f  : x → y v C , morfismus F ( f ): F ( x ) → F ( y ) ,

tak, že platí následující dvě vlastnosti:

• Pro každý objekt x v C , F (1 _x ) = 1 _{F ( x )} ;
• Pro všechny morfismy f  : x → y a g  : y → z , F ( g ∘ f ) = F ( g ) ∘ F ( f ) .

Contravariant functor F : C → D je jako covariant functor, kromě toho, že "vypíná morphisms Around" ( "obrátí všechny šípy"). Přesněji řečeno, každý morfizmus f  : x → y v C musí být přiřazen k morfizmus F ( f ): F ( y ) → F ( x ) v D . Jinými slovy, kontravariantní functor působí jako covariant functor z opačné kategorie C ^op až D .

Přirozené transformace

Přírodní transformace je vztah mezi dvěma funktory. Funktoři často popisují „přirozené stavby“ a přirozené transformace pak popisují „přirozené homomorfismy“ mezi dvěma takovými konstrukcemi. Někdy dvě zcela odlišné konstrukce poskytnou „stejný“ výsledek; to je vyjádřeno přirozeným izomorfismem mezi dvěma funktory.

Pokud F a G jsou (kovariantní) funktory mezi kategoriemi C a D , pak přirozená transformace η z F na G spojuje každý objekt X v C a morfismus η _X  : F ( X ) → G ( X ) v D tak, že pro každý morfismus f  : X → Y v C máme η _Y ∘ F ( f ) = G ( f ) ∘ η _X ; to znamená, že následující diagram je komutativní :

Oba funktory F a G se nazývají přirozeně izomorfní , pokud existuje přirozené transformace z F na G tak, že η _X je izomorfismus pro každý objekt X v C .

Jiné koncepty

Univerzální konstrukce, limity a kolimity

Pomocí jazyka teorie kategorií lze kategorizovat mnoho oblastí matematického studia. Kategorie zahrnují sady, skupiny a topologie.

Každá kategorie se vyznačuje vlastnostmi, že všechny její objekty mají společné, jako je prázdné množiny nebo součin dvou topologie , ale v definici skupiny, objekty jsou považovány atomová, tj my nevědí , zda objekt je množina, topologie nebo jakýkoli jiný abstraktní koncept. Úkolem je tedy definovat speciální objekty bez odkazu na vnitřní strukturu těchto objektů. Abychom definovali prázdnou množinu bez odkazu na prvky nebo topologii produktu bez odkazu na otevřené sady, můžeme tyto objekty charakterizovat z hlediska jejich vztahů k jiným objektům, jak je dáno morfismy příslušných kategorií. Úkolem je tedy najít univerzální vlastnosti, které jednoznačně určují objekty zájmu.

Řadu důležitých konstrukcí lze popsat čistě kategorickým způsobem, pokud lze mezní hodnotu kategorie vyvinout a dualizovat tak, aby byla získána představa o kolimitní hodnotě .

Ekvivalentní kategorie

Je přirozenou otázkou si položit otázku: za jakých podmínek lze považovat dvě kategorie v podstatě za stejné , v tom smyslu, že věty o jedné kategorii lze snadno transformovat na věty o druhé kategorii? Hlavní nástroj, který k popisu takové situace používá, se nazývá ekvivalence kategorií , která je dána vhodnými funktory mezi dvěma kategoriemi. Kategorická ekvivalence našla řadu aplikací v matematice.

Další koncepty a výsledky

Definice kategorií a funktory poskytují pouze samotné základy kategorické algebry; níže jsou uvedena další důležitá témata. Přestože mezi všemi těmito tématy existují silné vzájemné vztahy, lze dané pořadí považovat za vodítko pro další čtení.

• Kategorie funktoru D ^C má jako objekty funktory od C do D a jako morfismy přirozené transformace takových funktorů. Yoneda lemma je jedním z nejznámějších základních výsledků teorie kategorie; popisuje reprezentativní funktory v kategoriích funktorů.
• Dualita : Každé tvrzení, věta nebo definice v teorii kategorií má dvojí výraz, který je v podstatě získán „obrácením všech šipek“. Pokud je jedno tvrzení pravdivé v kategorii C, pak jeho duální platí v duální kategorii C ^op . Tato dualita, která je na úrovni teorie kategorií transparentní, je v aplikacích často zastřena a může vést k překvapivým vztahům.
• Pomocné funktory : Funktor může být vlevo (nebo vpravo) spojený s jiným funktorem, který mapuje v opačném směru. Taková dvojice pomocných funktorů obvykle vyplývá z konstrukce definované univerzální vlastností; to lze považovat za abstraktnější a silnější pohled na univerzální vlastnosti.

Kategorie vyšší dimenze

Mnoho z výše uvedených konceptů, zejména ekvivalence kategorií, dvojic pomocných funktorů a kategorií funktorů, lze zasazovat do kontextu kategorií vyšších dimenzí . Stručně řečeno, pokud budeme uvažovat o morfismu mezi dvěma objekty jako o „procesu, který nás přenese z jednoho objektu na druhý“, pak kategorie vyšších dimenzí nám to umožní výhodně zobecnit uvažováním o „procesech vyšší dimenze“.

Například (přísná) kategorie 2 je kategorie společně s „morfismy mezi morfismy“, tj. Procesy, které nám umožňují transformovat jeden morfismus na jiný. Potom můžeme tyto „bimorfismy“ „skládat“ horizontálně i vertikálně a požadujeme, aby platil 2dimenzionální „výměnný zákon“ vztahující se ke dvěma zákonům kompozice. V tomto kontextu je standardním příkladem Cat , kategorie 2 všech (malých) kategorií, a v tomto případě jsou bimorfismy morfismů jednoduše přirozenými transformacemi morfismů v obvyklém smyslu. Dalším základním příkladem je uvažovat o kategorii 2 s jediným objektem; jedná se v podstatě o monoidální kategorie . Bicategories jsou slabším pojmem 2-dimenzionálních kategorií, ve kterých složení morfismů není striktně asociativní, ale pouze asociativní „až“ isomorphism.

Tento proces lze rozšířit na všechna přirozená čísla n , která se nazývají n -kategorie . Existuje dokonce pojem ω-kategorie odpovídající pořadovému číslu ω .

Vyšší dimenzionální kategorie jsou součástí širšího matematického pole vyšší dimenzionální algebry , koncept zavedený Ronaldem Brownem . Konverzační úvod k těmto myšlenkám viz John Baez, „Příběh n -kategorií“ (1996).

Historické poznámky

Nejprve je třeba poznamenat, že celý koncept kategorie je v podstatě pomocný; naše základní pojmy jsou v podstatě pojmy funktoru a přirozené transformace [...]

-  Samuel Eilenberg a Saunders Mac Lane , Obecná teorie přírodních ekvivalencí

V letech 1942–45 zavedli Samuel Eilenberg a Saunders Mac Lane v rámci své práce v topologii, zejména v algebraické topologii, kategorie, funktory a přirozené transformace . Jejich práce byla důležitou součástí přechodu od intuitivní a geometrické homologie k homologické algebře . Eilenberg a Mac Lane později napsali, že jejich cílem bylo porozumět přirozeným transformacím. To vyžadovalo definování funktorů, které vyžadovaly kategorie.

Stanislaw Ulam , a někteří píšící jeho jménem, ​​tvrdili, že související myšlenky byly aktuální na konci třicátých let v Polsku. Eilenberg byl Polák a ve 30. letech studoval v Polsku matematiku. Teorie kategorií je také v jistém smyslu pokračováním práce Emmy Noether (jedné z učitelek Mac Lane) při formalizaci abstraktních procesů; Noether si uvědomil, že porozumění typu matematické struktury vyžaduje porozumění procesům, které tuto strukturu zachovávají ( homomorfismy ). Eilenberg a Mac Lane zavedli kategorie pro porozumění a formalizaci procesů ( funktorů ), které se vztahují k topologickým strukturám k algebraickým strukturám ( topologické invarianty ), které je charakterizují.

Teorie kategorií byla původně zavedena pro potřebu homologické algebry a široce rozšířena pro potřebu moderní algebraické geometrie ( teorie schémat ). Na teorii kategorií lze pohlížet jako na rozšíření univerzální algebry , protože ta druhá studuje algebraické struktury a ta první platí pro jakýkoli druh matematické struktury a studuje také vztahy mezi strukturami různé povahy. Z tohoto důvodu se používá v celé matematice. Později přišly aplikace na matematickou logiku a sémantiku ( kategorický abstraktní stroj ).

Některé kategorie zvané topoi (singulární topos ) mohou dokonce sloužit jako alternativa k axiomatické teorii množin jako základ matematiky. Topos lze také považovat za specifický typ kategorie se dvěma dalšími toposovými axiomy. Tyto základní aplikace teorie kategorií byly podrobně zpracovány jako základ a zdůvodnění konstruktivní matematiky . Teorie topos je forma abstraktní teorie svazků s geometrickým původem a vede k myšlenkám, jako je nesmyslná topologie .

Kategorická logika je nyní dobře definovaným polem založeným na teorii typů pro intuicionalistickou logiku , s aplikacemi ve funkčním programování a teorii domén , kde je karteziánská uzavřená kategorie brána jako nesyntaktický popis lambda kalkulu . Kategorický teoretický jazyk přinejmenším objasňuje, co přesně mají tyto související oblasti společného (v nějakém abstraktním smyslu).

Teorie kategorií byla použita i v jiných oborech. Například, John Baez ukázala souvislost mezi Feynman diagramy ve fyzice a monoidal kategorií. Další aplikace teorie kategorií, konkrétněji: teorie topos, byla vytvořena v matematické hudební teorii, viz například kniha The Topos of Music, Geometric Logic of Concepts, Theory, and Performance od Guerina Mazzola .

Mezi novější snahy zavést vysokoškoláky do kategorií jako základ pro matematiku patří snahy William Lawvere a Rosebrugh (2003) a Lawvere a Stephen Schanuel (1997) a Mirroslav Yotov (2012).

Viz také

Poznámky

Reference

Citace

Zdroje

• Adámek, Jiří; Herrlich, Horst ; Strecker, George E. (2004). Abstraktní a konkrétní kategorie . Heldermann Verlag Berlin.
• Barr, Michael ; Wells, Charles (2012) [1995], Theoryory for Computing Science , Reprints in Theory and Applications of Categories, 22 (3. vyd.).
• Barr, Michael ; Wells, Charles (2005), Toposes, Triples and Theories , Reprints in Theory and Applications of Categories, 12 , MR  2178101.
• Borceux, Francis (1994). Příručka kategorické algebry . Encyklopedie matematiky a její aplikace. Cambridge University Press. s. 50–52. ISBN 9780521441780.
• Freyd, Peter J. (2003) [1964]. Abelianské kategorie . Dotisky v teorii a aplikacích kategorií. 3 .
• Freyd, Peter J .; Scedrov, Andre (1990). Kategorie, alegorie . Severní Holandsko Matematická knihovna. 39 . Severní Holandsko. ISBN 978-0-08-088701-2.
• Goldblatt, Robert (2006) [1979]. Topoi: Kategorická analýza logiky . Studie logiky a základy matematiky. 94 . Dover. ISBN 978-0-486-45026-1.
• Herrlich, Horst ; Strecker, George E. (2007). Teorie kategorie (3. vyd.). Heldermann Verlag Berlin. ISBN 978-3-88538-001-6..
• Kashiwara, Masaki ; Schapira, Pierre (2006). Kategorie a kladky . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 332 . Springer. ISBN 978-3-540-27949-5.
• Lawvere, F. William ; Rosebrugh, Robert (2003). Sady pro matematiku . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-01060-3.
• Lawvere, F. William; Schanuel, Stephen Hoel (2009) [1997]. Konceptuální matematika: První úvod do kategorií (2. vyd.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-89485-2.
• Leinster, Tom (2004). Vyšší operády, vyšší kategorie . Vyšší operády . Londýnská matematika. Série přednášek o společnosti. 298 . Cambridge University Press. p. 448. bibcode : 2004hohc.book ..... L . ISBN 978-0-521-53215-0. Archivovány od originálu na 2003-10-25 . Citováno 2006-04-03 .
• Leinster, Tom (2014). Teorie základní kategorie . Cambridgeská studia v pokročilé matematice. 143 . Cambridge University Press. arXiv : 1612.09375 . ISBN 9781107044241.
• Lurie, Jacob (2009). Vyšší teorie topos . Annals of Mathematics Studies. 170 . Princeton University Press. arXiv : mat.CT/0608040 . ISBN 978-0-691-14049-0. MR  2522659 .
• Mac Lane, Saunders (1998). Kategorie pro pracujícího matematika . Absolventské texty z matematiky. 5 (2. vyd.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98403-2. MR  1712872 .
• Mac Lane, Saunders ; Birkhoff, Garrett (1999) [1967]. Algebra (2. vyd.). Chelsea. ISBN 978-0-8218-1646-2.
• Martini, A .; Ehrig, H .; Nunes, D. (1996). „Prvky teorie základních kategorií“ . Technická zpráva . 96 odst.
• May, Peter (1999). Stručný kurz algebraické topologie . University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-51183-2.
• Mazzola, Guerino (2002). Topos hudby, geometrická logika konceptů, teorie a výkonu . Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-5731-3.
• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004). Kategorické základy. Speciální témata v pořadí, topologie, algebra a teorie svazků . Encyklopedie matematiky a její aplikace. 97 . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-83414-8. Zbl  1034.18001 .
• Pierce, Benjamin C. (1991). Teorie základních kategorií pro počítačové vědce . Stiskněte MIT. ISBN 978-0-262-66071-6.
• Schalk, A .; Simmons, H. (2005). Úvod do teorie kategorií ve čtyřech snadných pohybech (PDF) . Archivováno z originálu (PDF) dne 2017-03-21 . Citováno 2007-12-03 .Poznámky ke kurzu nabízenému jako součást MSc. v matematické logice , Manchester University .
• Simpson, Carlos (2010). Homotopická teorie vyšších kategorií . arXiv : 1001,4071 . Bibcode : 2010arXiv1001.4071S ., návrh knihy.
• Taylor, Paul (1999). Praktické základy matematiky . Cambridgeská studia v pokročilé matematice. 59 . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-63107-5.
• Turi, Daniele (1996-2001). „Přednášky z teorie teorie kategorie“ (PDF) . Vyvolány 11 December 2009 .Na základě Mac Lane 1998 .

Další čtení

• Markýz, Jean-Pierre (2008). Z geometrického hlediska: Studie historie a filozofie teorie kategorií . Springer. ISBN 978-1-4020-9384-5.

externí odkazy

• Theory and Application of Categories , elektronický časopis o teorii kategorií, plný text, zdarma, od roku 1995.
• nLab , wiki projekt z matematiky, fyziky a filozofie s důrazem na n -kategorické hledisko.
• Kavárna n-Category , v podstatě kolokvium na témata z teorie kategorií.
• Teorie kategorie , webová stránka odkazů na poznámky z přednášek a volně dostupné knihy o teorii kategorií.
• Hillman, Chris, Kategorický primer , CiteSeerX  10.1.1.24.3264, formální úvod do teorie kategorií.
• Adamek, J .; Herrlich, H .; Stecker, G. „Abstraktní a konkrétní kategorie-Radost koček“ (PDF) .
• Záznam „Teorie kategorie“ od Jean-Pierra Markýze ve Stanfordské encyklopedii filozofie s rozsáhlou bibliografií.
• Seznam akademických konferencí o teorii kategorií
• Baez, John (1996). „Příběh n -kategorií“ . - Neformální úvod do kategorií vyšších řádů.
• WildCats je balíček teorie kategorií pro Mathematica . Manipulace a vizualizace objektů, morfismy , kategorie, funktory , přirozené transformace , univerzální vlastnosti .
• Catstersův kanál na YouTube , kanál o teorii kategorií.
• Teorie kategorií na PlanetMath ..
• Video archiv nahraných rozhovorů týkajících se kategorií, logiky a základů fyziky.
• Interaktivní webová stránka, která generuje příklady kategoriálních konstrukcí v kategorii konečných množin.
• Teorie kategorie pro vědy , instrukce o teorii kategorií jako nástroj v celé vědě.
• Teorie kategorie pro programátory Kniha ve formě blogu, která vysvětluje teorii kategorií pro počítačové programátory.
• Úvod do teorie kategorií.