Teorie chaosu - Chaos theory
Teorie chaosu je interdisciplinární teorie a obor matematiky se zaměřením na studium chaosu : dynamické systémy, jejichž zjevně náhodné stavy nepořádku a nesrovnalostí jsou ve skutečnosti řízeny základními vzory a deterministickými zákony, které jsou vysoce citlivé na počáteční podmínky . Teorie chaosu uvádí, že v rámci zjevné nahodilosti chaotických komplexních systémů existují základní vzorce, propojenost, konstantní smyčky zpětné vazby , opakování, podobnost se sebou samými , fraktály a sebeorganizace . Motýlí efekt, základní princip chaosu, popisuje, jak malá změna v jednom stavu deterministického nelineárního systému může mít za následek velké rozdíly v pozdějším stavu (což znamená, že existuje citlivá závislost na počátečních podmínkách). Metaforou tohoto chování je, že motýl mávající křídly v Brazílii může v Texasu způsobit tornádo .
Malé rozdíly v počátečních podmínkách, například kvůli chybám v měření nebo kvůli zaokrouhlovacím chybám v numerických výpočtech, mohou pro takové dynamické systémy přinést značně odlišné výsledky, což obecně znemožňuje dlouhodobou predikci jejich chování. To se může stát, i když jsou tyto systémy deterministické , což znamená, že jejich budoucí chování následuje jedinečnou evoluci a je plně určeno jejich počátečními podmínkami, bez zapojených náhodných prvků. Jinými slovy, deterministická povaha těchto systémů z nich nedělá předvídatelné. Toto chování je známé jako deterministický chaos nebo jednoduše chaos . Teorii shrnul Edward Lorenz takto:
Chaos: Když přítomnost určuje budoucnost, ale přibližná přítomnost přibližně neurčuje budoucnost.
Chaotické chování existuje v mnoha přírodních systémech, včetně toku tekutin, nepravidelností srdečního tepu, počasí a podnebí. Vyskytuje se také spontánně v některých systémech s umělými součástmi, jako je burza a silniční provoz . Toto chování lze studovat pomocí analýzy chaotického matematického modelu nebo pomocí analytických technik, jako jsou grafy opakování a Poincaréovy mapy . Teorie chaosu má uplatnění v celé řadě oborů, včetně meteorologie , antropologie , sociologie , ekologie , počítačové vědy , techniky , ekonomiky , ekologie , pandemie krizového řízení ,. Teorie tvořila základ pro takové studijní obory, jako jsou komplexní dynamické systémy , teorie hrany chaosu a procesy vlastní montáže .
Úvod
Teorie chaosu se týká deterministických systémů, jejichž chování lze v zásadě předvídat. Chaotické systémy jsou na chvíli předvídatelné a pak „vypadají“, že se stanou náhodnými. Doba, po kterou lze efektivně předpovídat chování chaotického systému, závisí na třech věcech: jak velká nejistota může být v předpovědi tolerována, jak přesně lze změřit její aktuální stav a časové měřítko v závislosti na dynamice systému , zvaný lyapunovský čas . Některé příklady Lyapunovovy doby jsou: chaotické elektrické obvody, asi 1 milisekundu; meteorologické systémy, několik dní (neprokázané); vnitřní sluneční soustava, 4 až 5 milionů let. V chaotických systémech se nejistota v předpovědi exponenciálně zvyšuje s uplynulým časem. Matematicky tedy zdvojnásobení času prognózy více než na druhou mocninu proporcionální nejistoty v prognóze. To v praxi znamená, že smysluplnou předpověď nelze provést v intervalu delším než dvakrát nebo třikrát oproti Lyapunovovu času. Pokud nelze provést smysluplné předpovědi, systém se jeví jako náhodný.
Teorie chaosu je metodou kvalitativní a kvantitativní analýzy ke zkoumání chování dynamických systémů, které nelze vysvětlit a předpovědět vztahy mezi jednotlivými daty, ale musí být vysvětleny a předpovězeny celými souvislými vztahy dat.
Chaotická dynamika
V běžném používání „chaos“ znamená „stav nepořádku“. V teorii chaosu je však tento termín definován přesněji. Ačkoli neexistuje žádná všeobecně uznávaná matematická definice chaosu, běžně používaná definice, původně formulovaná Robertem L. Devaneym , říká, že pro klasifikaci dynamického systému jako chaotického musí mít tyto vlastnosti:
- musí být citlivý na počáteční podmínky ,
- musí být topologicky tranzitivní ,
- musí mít husté periodické dráhy .
V některých případech se ukázalo, že poslední dvě výše uvedené vlastnosti ve skutečnosti znamenají citlivost na počáteční podmínky. V případě diskrétního času to platí pro všechny souvislé mapy v metrických prostorech . V těchto případech, i když se často jedná o prakticky nejvýznamnější vlastnost, „citlivost na počáteční podmínky“ nemusí být v definici uvedena.
Pokud je pozornost omezena na intervaly , druhá vlastnost znamená další dvě. Alternativní a obecně slabší definice chaosu používá pouze první dvě vlastnosti ve výše uvedeném seznamu.
Chaos jako spontánní rozpad topologické supersymetrie
V kontinuálních časových dynamických systémech je chaos fenomén spontánního rozpadu topologické supersymetrie, což je vnitřní vlastnost evolučních operátorů všech stochastických a deterministických (parciálních) diferenciálních rovnic. Tento obraz dynamického chaosu funguje nejen pro deterministické modely, ale také pro modely s vnějším hlukem, což je z fyzického hlediska důležitá generalizace, protože ve skutečnosti všechny dynamické systémy zažívají vliv ze svých stochastických prostředí. V tomto obrázku je dynamické chování dlouhého dosahu spojené s chaotickou dynamikou (např. Motýlí efekt ) důsledkem Goldstoneovy věty -v aplikaci na spontánní zlomení topologické supersymetrie.
Citlivost na počáteční podmínky
Citlivost na počáteční podmínky znamená, že každý bod v chaotickém systému je libovolně blízko aproximován jinými body, které mají výrazně odlišné budoucí cesty nebo trajektorie. Libovolně malá změna nebo narušení současné trajektorie tedy může vést k výrazně odlišnému budoucímu chování.
Citlivost na počáteční podmínky je známá jako „ motýlí efekt “, takzvaný kvůli názvu článku, který v roce 1972 vydal Edward Lorenz Americké asociaci pro rozvoj vědy ve Washingtonu, DC, s názvem Předvídatelnost: Má klapka z Butterfly's Wings v Brazílii spustili tornádo v Texasu? . Mávání křídlem představuje malou změnu počátečního stavu systému, která způsobuje řetězec událostí, který brání předvídatelnosti rozsáhlých jevů. Kdyby motýl neklesl křídly, trajektorie celého systému by mohla být velmi odlišná.
Důsledkem citlivosti na počáteční podmínky je, že pokud začneme s omezeným množstvím informací o systému (jak to obvykle v praxi bývá), pak po určitém čase už systém nebude předvídatelný. To je nejrozšířenější v případě počasí, které je obecně předvídatelné jen asi týden dopředu. To neznamená, že nelze tvrdit nic o událostech daleko v budoucnosti - pouze že existují určitá omezení systému. Například s počasím víme, že teplota přirozeně nedosáhne 100 ° C nebo neklesne na -130 ° C na Zemi (během současné geologické éry ), ale to neznamená, že můžeme přesně předpovědět, který den bude mít nejteplejší teplota roku.
Ve více matematických termínech, Lyapunov exponent měří citlivost na počáteční podmínky, ve formě rychlosti exponenciální divergence od narušených počátečních podmínek. Přesněji řečeno, vzhledem ke dvěma počátečním trajektoriím ve fázovém prostoru, které jsou nekonečně malé, s počátečním oddělením , se tyto dvě trajektorie nakonec rozcházejí rychlostí udanou
kde je čas a je Lyapunovovým exponentem? Rychlost separace závisí na orientaci počátečního separačního vektoru, takže může existovat celé spektrum Lyapunovových exponentů. Počet Lyapunovových exponentů se rovná počtu rozměrů fázového prostoru, i když je běžné odkazovat pouze na ten největší. Například se nejčastěji používá maximální Lyapunovův exponent (MLE), protože ten určuje celkovou předvídatelnost systému. Pozitivní MLE je obvykle bráno jako známka toho, že systém je chaotický.
Kromě výše uvedené vlastnosti existují i další vlastnosti související s citlivostí počátečních podmínek. Patří sem například míra-teoretické míchání (jak je diskutováno v ergodické teorii) a vlastnosti K-systému .
Neperiodicita
Chaotický systém může mít pro vyvíjející se proměnnou posloupnosti hodnot, které se přesně opakují, takže periodické chování začíná od jakéhokoli bodu v této sekvenci. Takové periodické sekvence však spíše odpuzují, než přitahují, což znamená, že pokud je vyvíjející se proměnná mimo sekvenci, jakkoli blízká, nevstoupí do sekvence a ve skutečnosti se od ní bude lišit. Proměnná se tedy téměř pro všechny počáteční podmínky vyvíjí chaoticky s neperiodickým chováním.
Topologické míchání
Topologické míchání (nebo slabší stav topologické tranzitivity) znamená, že se systém v průběhu času vyvíjí tak, že se jakákoli daná oblast nebo otevřený soubor jejího fázového prostoru nakonec překrývá s jakoukoli jinou danou oblastí. Tento matematický koncept „míchání“ odpovídá standardní intuici a míchání barevných barviv nebo tekutin je příkladem chaotického systému.
Topologické míchání je často opomíjeno z populárních účtů chaosu, které přirovnávají chaos pouze k citlivosti na počáteční podmínky. Citlivá závislost na počátečních podmínkách však sama o sobě nedává chaos. Zvažte například jednoduchý dynamický systém vytvořený opakovaným zdvojnásobením počáteční hodnoty. Tento systém má citlivou závislost na počátečních podmínkách všude, protože jakýkoli pár blízkých bodů se nakonec široce odděluje. Tento příklad však nemá topologické míchání, a proto nemá žádný chaos. Skutečně má extrémně jednoduché chování: všechny body kromě 0 mají sklon k pozitivnímu nebo negativnímu nekonečnu.
Topologická tranzitivita
O mapě se říká, že je topologicky tranzitivní, pokud pro jakýkoli pár neprázdných otevřených množin existuje taková, že . Topologická tranzitivita je slabší verzí topologického míchání . Intuitivně, pokud je mapa topologicky přenositelný pak daný bod x a oblast V , existuje bod y u x , jejichž oběžná dráha prochází V . To znamená, že je nemožné rozložit systém na dvě otevřené sady.
Důležitou související větou je Birkhoffova věta o tranzitivitě. Je snadné vidět, že existence husté oběžné dráhy implikuje topologickou tranzitivitu. Birkhoff Tranzitivita věta stanoví, že pokud X je druhý počitatelné , úplný metrický prostor , pak topologické transitivity implikuje existenci husté množiny bodů v X, které mají husté orbity.
Hustota periodických drah
Aby měl chaotický systém husté periodické oběžné dráhy, znamená to, že ke každému bodu v prostoru se libovolně blízko přiblíží periodické oběžné dráhy. Jednorozměrná logistická mapa definovaná x → 4 x (1- x ) je jedním z nejjednodušších systémů s hustotou periodických drah. Například → → (nebo přibližně 0,3454915 → 0,9045085 → 0,3454915) je (nestabilní) oběžná dráha období 2 a podobné oběžné dráhy existují pro období 4, 8, 16 atd. (Skutečně pro všechna období specifikovaná Sharkovského teorémem ) .
Sharkovského věta je základem důkazu Li a Yorkeho (1975), že jakýkoli souvislý jednorozměrný systém, který vykazuje pravidelný cyklus třetího období, bude také zobrazovat pravidelné cykly každé druhé délky a také zcela chaotické oběžné dráhy.
Zvláštní atraktory
Některé dynamické systémy, jako například jednorozměrná logistická mapa definovaná x → 4 x (1- x ), jsou všude chaotické, ale v mnoha případech se chaotické chování nachází pouze v podmnožině fázového prostoru. Nejzajímavější případy nastávají, když se chaotické chování odehrává na atraktoru , protože od té doby vede velká sada počátečních podmínek na oběžné dráhy, které se sbíhají do této chaotické oblasti.
Chaotický atraktor si snadno zobrazíte tak, že začnete bodem v povodí přitažlivosti atraktoru a poté jednoduše vykreslíte jeho následnou oběžnou dráhu. Vzhledem k podmínkám topologické přechodnosti to pravděpodobně vytvoří obraz celého konečného atraktoru a skutečně obě dráhy zobrazené na obrázku vpravo dávají obraz obecného tvaru Lorenzova atraktoru. Tento atraktor je výsledkem jednoduchého trojrozměrného modelu Lorenzova meteorologického systému. Lorenzův atraktor je možná jedním z nejznámějších chaotických systémových diagramů, pravděpodobně proto, že není jen jedním z prvních, ale je také jedním z nejsložitějších, a jako takový dává vzniknout velmi zajímavému vzoru, který s malá představivost, vypadá jako křídla motýla.
Na rozdíl od atraktorů s pevným bodem a mezních cyklů mají atraktory, které vznikají z chaotických systémů, známých jako podivné atraktory , velké detaily a složitost. Podivné atraktory se vyskytují jak v spojitých dynamických systémech (například v systému Lorenz), tak v některých diskrétních systémech (například v mapě Hénon ). Jiné diskrétní dynamické systémy mají odpuzující strukturu nazývanou Julia set , která se tvoří na hranici mezi povodí přitažlivosti pevných bodů. Sady Julie lze považovat za podivné repelenty. Jak podivné atraktory, tak sady Julia mají typicky fraktální strukturu a fraktální dimenzi lze pro ně vypočítat.
Minimální složitost chaotického systému
Diskrétní chaotické systémy, jako je logistická mapa , mohou vykazovat podivné atraktory bez ohledu na jejich rozměrnost . Univerzálnost jednorozměrných map s parabolickým maxima a feigenbaumova konstanta , je dobře viditelná s mapou navržena jako hračka model pro diskrétní laserové dynamiky: , kde znamená amplituda elektrického pole, je laser zisk jako parametr rozvětvení. Postupné zvyšování dynamiky v intervalech mění z pravidelné na chaotickou s kvalitativně stejným bifurkačním diagramem jako pro logistickou mapu .
Naproti tomu u spojitých dynamických systémů Poincaré – Bendixsonova věta ukazuje, že podivný atraktor může vzniknout pouze ve třech nebo více dimenzích. Konečně dimenzionální lineární systémy nejsou nikdy chaotické; aby dynamický systém zobrazoval chaotické chování, musí být buď nelineární, nebo nekonečně dimenzionální.
Poincaré-Bendixson teorém říká, že dvourozměrné diferenciální rovnice má velmi pravidelnou chování. Lorenzův atraktor diskutovaný níže je generován systémem tří diferenciálních rovnic, jako jsou:
kde , a tvoří stavu systému , je na čase, a , , jsou systémové parametry . Pět výrazů na pravé straně je lineárních, zatímco dva jsou kvadratické; celkem sedm termínů. Další známý chaotický atraktor je generován Rösslerovými rovnicemi , které mají pouze jeden nelineární člen ze sedmi. Sprott našel trojrozměrný systém s pouhými pěti termíny, který měl pouze jeden nelineární termín, který vykazuje chaos u určitých hodnot parametrů. Zhang a Heidel ukázali, že přinejmenším u disipativních a konzervativních kvadratických systémů nemohou trojrozměrné kvadratické systémy s pouze třemi nebo čtyřmi výrazy na pravé straně vykazovat chaotické chování. Jednoduše řečeno, důvodem je to, že řešení těchto systémů jsou pro dvojrozměrný povrch asymptotická, a proto jsou řešení dobře vychovaná.
Zatímco Poincaré – Bendixsonova věta ukazuje, že spojitý dynamický systém na euklidovské rovině nemůže být chaotický, dvojrozměrné spojité systémy s neeuklidovskou geometrií mohou vykazovat chaotické chování. Možná překvapivě může dojít k chaosu také v lineárních systémech za předpokladu, že jsou nekonečně dimenzionální. Teorie lineárního chaosu se rozvíjí v oboru matematické analýzy známé jako funkční analýza .
Nekonečné dimenzionální mapy
Přímočará zobecnění spřažených jednotlivých map je založen na konvolučního integrálu, která zprostředkovává interakci mezi prostorově distribuovaných map: ,
kde je jádro propagátorem odvozeným jako zelená funkce příslušného fyzického systému, může jít o logistickou mapu nebo komplexní mapu . Jako příklady složitých map může sloužit sada Julia nebo Ikeda . Když jsou uvažovány problémy šíření vln na vzdálenost s vlnovou délkou, jádro může mít pro Schrödingerovu rovnici formu Zelené funkce :.
.
Trhané systémy
Ve fyzice je trhnutí třetí derivací polohy s ohledem na čas. Diferenciální rovnice formy
někdy se jim říká trhavé rovnice . Ukázalo se, že trhaná rovnice, která je ekvivalentní systému tří běžných nelineárních diferenciálních rovnic prvního řádu, je v určitém smyslu minimálním nastavením pro řešení vykazující chaotické chování. To motivuje matematický zájem o trhavé systémy. Systémy zahrnující čtvrtou nebo vyšší derivaci se proto nazývají hyperjerk systémy.
Chování trhaného systému je popsáno trhanou rovnicí a pro určité trhavé rovnice mohou modelovat řešení jednoduché elektronické obvody. Tyto obvody jsou známé jako trhavé obvody.
Jednou z nejzajímavějších vlastností trhavých obvodů je možnost chaotického chování. Ve skutečnosti jsou některé známé chaotické systémy, jako je Lorenzův atraktor a Rösslerova mapa , konvenčně popisovány jako systém tří diferenciálních rovnic prvního řádu, které lze spojit do jediné (i když dosti komplikované) trhavé rovnice. Dalším příkladem trhané rovnice s nelinearitou ve velikosti je:
Zde je A nastavitelný parametr. Tato rovnice má chaotické řešení pro A = 3/5 a může být implementována s následujícím trhaným obvodem; požadovanou nelinearitu způsobují dvě diody:
Ve výše uvedeném obvodu mají všechny odpory stejnou hodnotu, kromě , a všechny kondenzátory mají stejnou velikost. Dominantní frekvence je . Výstup operačního zesilovače 0 bude odpovídat proměnné x, výstup 1 odpovídá první derivaci x a výstup 2 odpovídá druhé derivaci.
Podobné obvody vyžadují pouze jednu diodu nebo žádné diody vůbec.
Podívejte se také na známý Chuaův obvod , jeden základ pro chaotické generátory skutečných náhodných čísel. Snadná konstrukce obvodu z něj udělala všudypřítomný příklad chaotického systému v reálném světě.
Spontánní řád
Za správných podmínek se chaos spontánně vyvíjí do blokovacího vzorce. V modelu Kuramoto stačí k vytvoření synchronizace v chaotickém systému čtyři podmínky. Příklady zahrnují spojené kmitání z Christiaan Huygens "kyvadel, světlušky, neuronů , na Londýn tisíciletí most rezonance, a velké řadami Josephson křižovatek .
Dějiny
Prvním zastáncem teorie chaosu byl Henri Poincaré . V osmdesátých letech 19. století při studiu problému tří těl zjistil, že mohou existovat oběžné dráhy, které nejsou periodické, a přesto se navždy nezvyšují ani nepřibližují k pevnému bodu. V roce 1898 Jacques Hadamard publikoval vlivnou studii chaotického pohybu volné částice klouzající bez tření po povrchu konstantního negativního zakřivení, nazývaného „ Hadamardův kulečník “. Hadamard byl schopen ukázat, že všechny trajektorie jsou nestabilní, protože všechny trajektorie částic se od sebe exponenciálně liší, s pozitivním Lyapunovovým exponentem .
Teorie chaosu začala v oblasti ergodické teorie . Pozdější studie, také na téma nelineárních diferenciálních rovnic , provedli George David Birkhoff , Andrey Nikolaevich Kolmogorov , Mary Lucy Cartwright a John Edensor Littlewood a Stephen Smale . Kromě Smaleho byly všechny tyto studie přímo inspirovány fyzikou: problém tří těl v případě Birkhoffa, turbulence a astronomické problémy v případě Kolmogorova a radiotechnika v případě Cartwrighta a Littlewooda. Ačkoli nebyl pozorován chaotický planetární pohyb, experimentátoři se setkali s turbulencemi v pohybu tekutin a s neperiodickou oscilací v rádiových obvodech, aniž by měli výhodu teorie, která by vysvětlovala, co vidí.
Navzdory počátečním poznatkům v první polovině dvacátého století se teorie chaosu jako taková formalizovala až po polovině století, kdy bylo některým vědcům poprvé zřejmé, že lineární teorie , v té době převládající systémová teorie, jednoduše nedokázala vysvětlit pozorované chování určitých experimentů, jako je chování logistické mapy . To, co bylo přičítáno měření nepřesnosti a jednoduchého „ hluku “, považovali teoretici chaosu za úplnou součást studovaných systémů.
Hlavním katalyzátorem vývoje teorie chaosu byl elektronický počítač. Velká část matematiky teorie chaosu zahrnuje opakovanou iteraci jednoduchých matematických vzorců, což by bylo nepraktické dělat ručně. Díky elektronickým počítačům byly tyto opakované výpočty praktické, zatímco obrázky a obrázky umožnily tyto systémy vizualizovat. Jako postgraduální student v laboratoři Chihiro Hayashi na Kjótské univerzitě Yoshisuke Ueda experimentoval s analogovými počítači a 27. listopadu 1961 si všiml toho, co nazýval „náhodně přechodnými jevy“. Přesto jeho poradce v té době s jeho závěry nesouhlasil a do roku 1970 mu nedovolil ohlásit svá zjištění.
Edward Lorenz byl jedním z prvních průkopníků teorie. Jeho zájem o chaos vznikl náhodou díky práci na předpovědi počasí v roce 1961. Lorenz používal ke spuštění simulace počasí jednoduchý digitální počítač Royal McBee LGP-30 . Chtěl znovu vidět sled dat, a aby ušetřil čas, zahájil simulaci uprostřed jejího průběhu. Udělal to tak, že vložil výtisk dat, která odpovídala podmínkám uprostřed původní simulace. K jeho překvapení bylo počasí, které stroj začal předpovídat, zcela odlišné od předchozího výpočtu. Lorenz to dohledal na výtisku počítače. Počítač pracoval s 6místnou přesností, ale výtisk zaokrouhlil proměnné na 3místné číslo, takže hodnota jako 0,506127 byla vytištěna jako 0,506. Tento rozdíl je malý a tehdejší shoda by byla, že by neměl mít žádný praktický účinek. Lorenz však zjistil, že malé změny počátečních podmínek způsobily velké změny v dlouhodobém výsledku. Lorenzův objev, který dal jméno Lorenzovým atraktorům , ukázal, že ani podrobné atmosférické modelování obecně nemůže provádět přesné dlouhodobé předpovědi počasí.
V roce 1963 našel Benoit Mandelbrot v datech o cenách bavlny opakující se vzorce v každém měřítku. Předtím studoval informační teorii a dospěl k závěru, že hluk byl vytvořen jako Cantorova sada : v jakémkoli měřítku byl podíl period obsahujících hluk na obdobích bez chyb konstantní-chyby byly tedy nevyhnutelné a je třeba je naplánovat začleněním redundance. Mandelbrot popsal jak „Noeův efekt“ (při kterém může dojít k náhlým nespojitým změnám), tak „Josephův efekt“ (u kterého může chvíli přetrvávat hodnota, ale poté se náhle změní). To zpochybnilo myšlenku, že změny v ceně byly běžně distribuovány . V roce 1967 publikoval „ Jak dlouhé je pobřeží Británie? Statistická podobnost a zlomková dimenze “, která ukazuje, že délka pobřeží se liší podle měřítka měřicího přístroje, podobá se ve všech měřítcích a je nekonečná na délku. nekonečně malé měřicí zařízení. Argumentoval, že se koule motouzu jeví jako bod při pohledu z velké dálky (0-dimenzionální), koule při pohledu z poměrně blízké (3-dimenzionální) nebo zakřivené vlákno (1-dimenzionální), tvrdil, že rozměry objekt je relativní k pozorovateli a může být zlomkový. Objekt, jehož nepravidelnost je v různých měřítcích konstantní („podobnost“), je fraktál (příklady zahrnují Mengerovu houbu , Sierpińského těsnění a Kochovu křivku nebo sněhovou vločku , která je nekonečně dlouhá, ale obklopuje konečný prostor a má fraktál rozměr cca 1,2619). V roce 1982 vydal Mandelbrot Fraktální geometrii přírody , která se stala klasikou teorie chaosu. Biologické systémy, jako je rozvětvení oběhového a bronchiálního systému, se ukázaly jako vhodné pro fraktální model.
V prosinci 1977 uspořádala Newyorská akademie věd první sympozium o chaosu, kterého se zúčastnili David Ruelle, Robert May , James A. Yorke (razítko termínu „chaos“, jak se používá v matematice), Robert Shaw a meteorolog Edward Lorenzi. Následující rok Pierre Coullet a Charles Tresser vydali „Itérations d'endomorphismes et groupe de renormalisation“ a článek Mitchella Feigenbauma „Kvantitativní univerzalita pro třídu nelineárních transformací“ se konečně objevil v časopise, po 3 letech odmítnutí rozhodčích. Feigenbaum (1975) a Coullet & Tresser (1978) tak objevili univerzálnost v chaosu, což umožnilo aplikaci teorie chaosu na mnoho různých jevů.
V roce 1979 Albert J. Libchaber během sympozia pořádaného v Aspenu Pierrem Hohenbergem představil své experimentální pozorování bifurkační kaskády, která vede k chaosu a turbulencím v konvekčních systémech Rayleigh – Bénard . V roce 1986 mu byla spolu s Mitchellem J. Feigenbaumem udělena Wolfova cena za fyziku za jejich inspirativní úspěchy.
V roce 1986 New York Academy of Sciences spoluorganizovala s Národním institutem pro duševní zdraví a Úřadem pro námořní výzkum první důležitou konferenci o chaosu v biologii a medicíně. Tam, Bernardo Huberman prezentován matematický model poruchy eye tracking u schizofreniků . To vedlo v 80. letech k obnově fyziologie aplikací teorie chaosu, například při studiu patologických srdečních cyklů .
V roce 1987 Per Bak , Chao Tang a Kurt Wiesenfeld publikovali článek v časopise Physical Review Letters, který poprvé popisuje samoorganizovanou kritičnost (SOC), považovanou za jeden z mechanismů, jimiž v přírodě vzniká složitost .
Kromě přístupů založených převážně na laboratořích, jako je písek Bak – Tang – Wiesenfeld , se mnoho dalších výzkumů zaměřilo na rozsáhlé přírodní nebo sociální systémy, o nichž je známo (nebo existuje podezření), že vykazují chování neměnné v měřítku . Ačkoli tyto přístupy nebyli vždy vítáni (alespoň zpočátku) odborníky ve zkoumaných předmětech, SOC se přesto etablovala jako silný kandidát pro vysvětlení řady přírodních jevů, včetně zemětřesení , (které byly známy dlouho před objevením SOC jako zdroj chování neměnného na rozsahu, jako je Gutenbergův-Richterův zákon popisující statistické rozložení velikostí zemětřesení a Omoriho zákon popisující četnost otřesů), sluneční erupce , výkyvy v ekonomických systémech, jako jsou finanční trhy (odkazy na SOC jsou běžný v ekonofyzice ), tvorba krajiny, lesní požáry , sesuvy půdy , epidemie a biologická evoluce (kde byla například vyvolána SOC jako dynamický mechanismus teorie „ interpunkce rovnováhy “, kterou navrhli Niles Eldredge a Stephen Jay Gould ) . Vzhledem k důsledkům distribuce velikostí událostí bez měřítka někteří vědci navrhli, že dalším jevem, který by měl být považován za příklad SOC, je výskyt válek . Tato zkoumání SOC zahrnovala jak pokusy o modelování (buď vývoj nových modelů, nebo přizpůsobení stávajících modelům specifikám daného přírodního systému), a rozsáhlou analýzu dat za účelem určení existence a/nebo charakteristik zákonů přirozeného škálování.
Ve stejném roce James Gleick publikoval Chaos: Making a New Science , který se stal bestsellerem a představil obecné principy teorie chaosu a jeho historii široké veřejnosti, ačkoli jeho historie podtrhovala důležité sovětské příspěvky. Teorie chaosu se zpočátku stala doménou několika izolovaných jedinců a postupně se stala transdisciplinární a institucionální disciplínou, převážně pod názvem nelineární systémová analýza. V narážce na koncept Thomase Kuhna o posunu paradigmatu odhaleném ve Struktuře vědeckých revolucí (1962) mnoho „chaologů“ (jak se někteří popisovali) tvrdilo, že tato nová teorie je příkladem takového posunu, teze, kterou potvrdil Gleick .
Dostupnost levnějších a výkonnějších počítačů rozšiřuje použitelnost teorie chaosu. V současné době zůstává teorie chaosu aktivní oblastí výzkumu zahrnující mnoho různých oborů, jako je matematika , topologie , fyzika , sociální systémy , modelování populace , biologie , meteorologie , astrofyzika , teorie informací , výpočetní neurověda , řízení krizí pandemie atd.
Aplikace
Ačkoli se teorie chaosu zrodila z pozorování povětrnostních podmínek, stala se použitelnou pro řadu dalších situací. Některé oblasti těžící z teorie chaosu dnes jsou geologie , matematika , biologie , počítačová věda , ekonomie , strojírenství , finance , algoritmické obchodování , meteorologie , filozofie , antropologie , fyzika , politika , populační dynamika , psychologie a robotika . Několik kategorií je uvedeno níže s příklady, ale toto v žádném případě není úplný seznam, protože se objevují nové aplikace.
Kryptografie
Teorie chaosu se v kryptografii používá již mnoho let . V posledních několika desetiletích byl při navrhování stovek kryptografických primitivů použit chaos a nelineární dynamika . Tyto algoritmy zahrnují šifrovací algoritmy obrázků , hashovací funkce , generátory zabezpečených pseudonáhodných čísel , šifry proudů , vodoznak a steganografii . Většina těchto algoritmů je založena na uni-modálních chaotických mapách a velká část těchto algoritmů používá jako klíče řídicí parametry a počáteční stav chaotických map. Z širší perspektivy, bez ztráty obecnosti, jsou podobnosti mezi chaotickými mapami a kryptografickými systémy hlavní motivací pro návrh kryptografických algoritmů založených na chaosu. Jeden typ šifrování, tajný klíč nebo symetrický klíč , spoléhá na difúzi a zmatek , který je dobře modelován teorií chaosu. Další typ výpočetní techniky, DNA computing , ve spojení s teorií chaosu, nabízí způsob šifrování obrázků a dalších informací. Ukázalo se, že mnoho kryptografických algoritmů DNA-Chaos buď není bezpečných, nebo se ukazuje, že použitá technika není účinná.
Robotika
Robotika je další oblastí, která v poslední době těží z teorie chaosu. Místo toho, aby roboti reagovali na zdokonalení typu pokus-omyl, aby interagovali se svým prostředím, byla k vytvoření prediktivního modelu použita teorie chaosu . Chaotickou dynamiku vykazovali pasivní chůzi dvounohých robotů.
Biologie
Už více než sto let biologové sledují populace různých druhů pomocí populačních modelů . Většina modelů je spojitá , ale v poslední době se vědcům podařilo implementovat chaotické modely do určitých populací. Studie na modelech kanadského rysa například ukázala, že v populačním růstu panuje chaotické chování. Chaos lze nalézt také v ekologických systémech, jako je hydrologie . I když má chaotický model pro hydrologii své nedostatky, stále se lze hodně učit z pohledu na data optikou teorie chaosu. Další biologická aplikace se nachází v kardiotokografii . Sledování plodu je delikátní rovnováhou při získávání přesných informací a přitom je neinvazivní, jak je to jen možné. Lepší modely varovných příznaků hypoxie plodu lze získat chaotickým modelováním.
Ekonomika
Je možné, že ekonomické modely lze také zlepšit pomocí teorie chaosu, ale předpovídat zdraví ekonomického systému a jaké faktory jej nejvíce ovlivňují, je extrémně složitý úkol. Ekonomické a finanční systémy se zásadně liší od systémů v klasických přírodních vědách, protože ty první jsou ze své podstaty stochastické, protože vyplývají z interakcí lidí, a proto čisté deterministické modely pravděpodobně neposkytnou přesné zobrazení dat. Empirická literatura, která testuje chaos v ekonomii a financích, přináší velmi smíšené výsledky, částečně kvůli záměně mezi specifickými testy pro chaos a obecnějšími testy pro nelineární vztahy.
Chaos lze v ekonomii nalézt pomocí kvantifikační analýzy opakování . Ve skutečnosti Orlando a kol. pomocí takzvaného korelačního indexu kvantifikace opakování byli schopni detekovat skryté změny v časových řadách. Poté byla stejná technika použita k detekci přechodů z laminárních (tj. Pravidelných) do turbulentních (tj. Chaotických) fází a také rozdílů mezi makroekonomickými proměnnými a zvýraznění skrytých rysů ekonomické dynamiky. Nakonec by chaos mohl pomoci při modelování fungování ekonomiky a při zakládání šoků v důsledku vnějších událostí, jako je COVID-19. Aktualizovaný popis nástrojů a výsledků získaných empirickou kalibrací a testováním deterministických chaotických modelů (např. Kaldor-Kalecki, Goodwin, Harrod) viz Orlando et al.
Ostatní oblasti
V chemii je predikce rozpustnosti plynu zásadní pro výrobu polymerů , ale modely využívající optimalizaci částicového roje (PSO) mají tendenci konvergovat do špatných bodů. Vylepšená verze PSO byla vytvořena zavedením chaosu, který zabraňuje uvíznutí simulací. V nebeské mechanice , zvláště při pozorování asteroidů, vede aplikace teorie chaosu k lepším předpovědím, kdy se tyto objekty přiblíží k Zemi a jiným planetám. Čtyři z pěti měsíců Pluta rotují chaoticky. V kvantové fyzice a elektrotechnice těžila z teorie chaosu studie velkých polí Josephsonových křižovatek . Blíže k domovu byly uhelné doly vždy nebezpečným místem, kde časté úniky zemního plynu způsobily mnoho úmrtí. Až donedávna neexistoval spolehlivý způsob, jak předpovědět, kdy k nim dojde. Tyto úniky plynu však mají chaotické tendence, které lze při správném modelování poměrně přesně předpovědět.
Teorii chaosu lze aplikovat mimo přírodní vědy, ale historicky téměř všechny tyto studie trpěly nedostatkem reprodukovatelnosti; špatná vnější platnost; a/nebo nepozornost ke křížové validaci, což má za následek špatnou prediktivní přesnost (pokud byl dokonce pokus o predikci mimo vzorek). Glass a Mandell a Selz zjistili, že žádná studie EEG dosud nenaznačila přítomnost podivných atraktorů nebo jiné známky chaotického chování.
Vědci nadále aplikují teorii chaosu na psychologii. Například při modelování chování skupiny, ve kterém se heterogenní členové mohou chovat, jako by v různé míře sdíleli to, co je v teorii Wilfreda Biona základním předpokladem, vědci zjistili, že skupinová dynamika je výsledkem individuální dynamiky členů: každý jedinec reprodukuje skupinovou dynamiku v jiném měřítku a chaotické chování skupiny se odráží v každém členu.
Redington a Reidbord (1992) se pokusili demonstrovat, že lidské srdce může vykazovat chaotické rysy. Sledovali změny v intervalech mezi srdečním tepem u jedné psychoterapeutické pacientky, když se během terapeutického sezení pohybovala v obdobích různé emocionální intenzity. Výsledky byly nepochybně neprůkazné. Nejenže došlo k nejasnostem v různých grafech, které autoři vytvořili, aby údajně prokázali chaotickou dynamiku (spektrální analýza, fázová trajektorie a autokorelační grafy), ale také když se pokusili vypočítat Lyapunovův exponent jako definitivnější potvrzení chaotického chování, autoři zjistili, že to nemohou spolehlivě udělat.
Ve svém příspěvku z roku 1995 Metcalf a Allen tvrdili, že v chování zvířat odhalili vzor zdvojnásobení období vedoucí k chaosu. Autoři zkoumali dobře známou odpověď zvanou rozvrhem indukovaná polydipsie, kdy zvíře zbavené potravy po určitou dobu bude pít neobvyklé množství vody, až bude jídlo konečně prezentováno. Zde fungující kontrolní parametr (r) byla délka intervalu mezi krmeními, jakmile byla obnovena. Autoři byli opatrní při testování velkého počtu zvířat a zahrnutí mnoha replikací a svůj experiment navrhli tak, aby vyloučili pravděpodobnost, že změny ve vzorcích odezvy byly způsobeny různými výchozími místy pro r.
Časové řady a grafy prvního zpoždění poskytují nejlepší podporu pro vznesená tvrzení a ukazují poměrně jasný pochod od periodicity k nepravidelnosti, jak se prodlužovaly doby krmení. Různé diagramy fázové trajektorie a spektrální analýzy na druhou stranu neodpovídají dostatečně dobře ostatním grafům nebo celkové teorii, aby neúprosně vedly k chaotické diagnostice. Fázové trajektorie například nevykazují jednoznačný postup směrem k větší a větší složitosti (a mimo periodicitu); proces se zdá být docela zmatený. Také tam, kde Metcalf a Allen viděli ve svých spektrálních grafech období dvou a šesti, existuje prostor pro alternativní interpretace. Celá tato nejednoznačnost vyžaduje nějaké hadí, post-hoc vysvětlení, aby se ukázalo, že výsledky odpovídají chaotickému modelu.
Amundson a Bright přizpůsobením modelu kariérového poradenství tak, aby zahrnoval chaotickou interpretaci vztahu mezi zaměstnanci a trhem práce, zjistili, že lidem, kteří se potýkají s kariérním rozhodováním, lze předkládat lepší návrhy. Moderní organizace jsou stále více vnímány jako otevřené komplexní adaptivní systémy se základními přírodními nelineárními strukturami, podléhající vnitřním i vnějším silám, které mohou přispívat k chaosu. Například budování týmu a skupinový rozvoj je stále více zkoumán jako ze své podstaty nepředvídatelný systém, protože nejistota setkání různých jednotlivců poprvé činí trajektorii týmu nepoznatelnou.
Někteří říkají, že metafora chaosu - používaná ve verbálních teoriích - založená na matematických modelech a psychologických aspektech lidského chování poskytuje užitečné poznatky k popisu složitosti malých pracovních skupin, které přesahují metaforu samotnou.
Prognózy provozu mohou těžit z aplikací teorie chaosu. Lepší předpovědi, kdy dojde k provozu, by umožnily přijmout opatření k jeho rozptýlení dříve, než by k němu došlo. Kombinace principů teorie chaosu s několika dalšími metodami vedla k přesnějšímu modelu krátkodobé predikce (viz graf dopravního modelu BML vpravo).
Teorie chaosu byla aplikována na data o koloběhu vody v prostředí (aka hydrologická data), jako jsou srážky a proudění. Tyto studie přinesly kontroverzní výsledky, protože metody pro detekci chaotického podpisu jsou často relativně subjektivní. Počáteční studie měly tendenci „uspět“ při hledání chaosu, zatímco následné studie a metaanalýzy tyto studie zpochybňovaly a poskytly vysvětlení, proč tyto soubory dat pravděpodobně nemají chaotickou dynamiku nízké dimenze.
Viz také
- Příklady chaotických systémů
- Zveřejněné obrysy
- Mapa Arnoldovy kočky
- Dynamika odskakujících míčků
- Chuaův obvod
- Cliodynamics
- Spojená mapa mřížky
- Dvojité kyvadlo
- Duffingova rovnice
- Dynamický kulečník
- Ekonomická bublina
- Systém Gaspard-Rice
- Mapa Hénon
- Mapa podkovy
- Seznam chaotických map
- Rösslerův atraktor
- Standardní mapa
- Houpající se Atwoodův stroj
- Nakloňte vír
- Další související témata
- Amplitudová smrt
- Anosovský diffeomorfismus
- Teorie katastrofy
- Kauzalita
- Teorie chaosu v organizačním vývoji
- Chaos stroj
- Chaotické míchání
- Chaotický rozptyl
- Kontrola chaosu
- Determinismus
- Okraj chaosu
- Vznik
- Sada Mandelbrot
- Kolmogorovova – Arnoldova – Moserova věta
- Špatná klimatizace
- Špatná posedlost
- Nelineární systém
- Vzory v přírodě
- Předvídatelnost
- Kvantový chaos
- Institut Santa Fe
- Synchronizace chaosu
- Neúmyslné důsledky
- Lidé
Reference
Další čtení
Články
- Sharkovskii, AN (1964). „Koexistence cyklů souvislého mapování čáry do sebe“. Ukrajinská matematika. J . 16 : 61–71.
- Li, TY ; Yorke, JA (1975). „Období tři implikuje chaos“ (PDF) . American Mathematical Monthly . 82 (10): 985–92. Bibcode : 1975AmMM ... 82..985L . CiteSeerX 10.1.1.329.5038 . doi : 10,2307/2318254 . JSTOR 2318254 . Archivováno z originálu (PDF) dne 2009-12-29 . Citováno 2009-08-12 .
- Alemansour, Hamed; Miandoab, Ehsan Maani; Pishkenari, Hossein Nejat (březen 2017). „Vliv velikosti na chaotické chování nano rezonátorů“. Komunikace v nelineární vědě a numerická simulace . 44 : 495–505. Bibcode : 2017CNSNS..44..495A . doi : 10,1016/j.cnsns.2016.09.010 .
- Crutchfield ; Tucker; Morrison; JD Farmář ; Packard ; NH; Shaw ; RS (prosinec 1986). "Chaos". Scientific American . 255 (6): 38–49 (bibliografie s.136). Bibcode : 1986SciAm.255d..38T . doi : 10,1038/scientificamerican1286-46 . Online verze (Poznámka: citace citovaná pro online text a stránka se liší od citované zde. Citace zde pochází z fotokopie, která je v souladu s jinými citacemi nalezenými online, které neposkytují zobrazení článků. Online obsah je identický k tištěnému textu. Citační variace se vztahují k zemi vydání).
- Kolyada, SF (2004). „Citlivost Li-Yorke a další koncepce chaosu“. Ukrajinská matematika. J . 56 (8): 1242–57. doi : 10,1007/s11253-005-0055-4 . S2CID 207251437 .
- Den, RH; Pavlov, OV (2004). „Výpočet ekonomického chaosu“. Výpočetní ekonomie . 23 (4): 289–301. doi : 10,1023/B: CSEM.0000026787.81469.1f . S2CID 119972392 . SSRN 806.124 .
- Strelioff, C .; Hübler, A. (2006). „Střednědobá předpověď chaosu“ (PDF) . Fyz. Rev.Lett . 96 (4): 044101. Bibcode : 2006PhRvL..96d4101S . doi : 10,1103/PhysRevLett.96.044101 . PMID 16486826 . 044101. Archivováno z originálu (PDF) dne 2013-04-26.
- Hübler, A .; Foster, G .; Phelps, K. (2007). „Managing Chaos: Thinking out of the Box“ (PDF) . Složitost . 12 (3): 10–13. Bibcode : 2007Cmplx..12c..10H . doi : 10,1002/cplx.20159 . Archivováno z originálu (PDF) dne 2012-10-30 . Citováno 2011-07-17 .
- Motter, Adilson E .; Campbell, David K. (2013). „Chaos v 50“. Fyzika dnes . 66 (5): 27. arXiv : 1306.5777 . Bibcode : 2013PhT .... 66e..27M . doi : 10,1063/PT.3.1977 . S2CID 54005470 .
Učebnice
- Alligood, KT; Sauer, T .; Yorke, JA (1997). Chaos: úvod do dynamických systémů . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94677-1.
- Baker, GL (1996). Chaos, rozptyl a statistická mechanika . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-39511-3.
- Badii, R .; Politi A. (1997). Složitost: hierarchické struktury a škálování ve fyzice . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66385-4.
- Bunde; Havlin, Shlomo , eds. (1996). Fraktály a neuspořádané systémy . Springer. ISBN 978-3642848704.a Bunde; Havlin, Shlomo , eds. (1994). Fraktály ve vědě . Springer. ISBN 978-3-540-56220-7.
- Collet, Pierre a Eckmann, Jean-Pierre (1980). Iterované mapy na intervalu jako dynamické systémy . Birkhauser. ISBN 978-0-8176-4926-5.Správa CS1: více jmen: seznam autorů ( odkaz )
- Devaney, Robert L. (2003). Úvod do chaotických dynamických systémů (2. vyd.). Westview Press. ISBN 978-0-8133-4085-2.
- Robinson, Clark (1995). Dynamické systémy: Stabilita, symbolická dynamika a chaos . Stiskněte CRC. ISBN 0-8493-8493-1.
- Feldman, DP (2012). Chaos a fraktály: Elementární úvod . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-956644-0.
- Gollub, JP; Baker, GL (1996). Chaotická dynamika . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-47685-0.
- Guckenheimer, John ; Holmes, Philip (1983). Nelineární oscilace, dynamické systémy a rozdvojení vektorových polí . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90819-9.
- Gulick, Denny (1992). Setkání s chaosem . McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-025203-5.
- Gutzwiller, Martin (1990). Chaos v klasické a kvantové mechanice . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97173-5.
- Hoover, William Graham (2001) [1999]. Časová reverzibilita, počítačová simulace a chaos . World Scientific. ISBN 978-981-02-4073-8.
- Kautz, Richard (2011). Chaos: The Science of Predictable Random Motion . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-959458-0.
- Kiel, L. Douglas; Elliott, Euel W. (1997). Teorie chaosu v sociálních vědách . Publikace Perseus. ISBN 978-0-472-08472-2.
- Moon, Francis (1990). Chaotická a fraktální dynamika . Springer-Verlag. ISBN 978-0-471-54571-2.
-
Orlando, Giuseppe ; Pisarchick, Alexander; Zastávka, Ruedi. „Nelineárnosti v ekonomii | SpringerLink“ . doi : 10,1007/978-3-030-70982-2 . Citační deník vyžaduje
|journal=
( nápověda ) - Ott, Edward (2002). Chaos v dynamických systémech . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-01084-9.
- Strogatz, Steven (2000). Nelineární dynamika a chaos . Publikace Perseus. ISBN 978-0-7382-0453-6.
- Sprott, Julien Clinton (2003). Chaos a analýza časových řad . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-850840-3.
- Tél, Tamás; Gruiz, Márton (2006). Chaotická dynamika: Úvod založený na klasické mechanice . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83912-9.
- Teschl, Gerald (2012). Běžné diferenciální rovnice a dynamické systémy . Providence : Americká matematická společnost . ISBN 978-0-8218-8328-0.
- Thompson JM, Stewart HB (2001). Nelineární dynamika a chaos . John Wiley and Sons Ltd. ISBN 978-0-471-87645-8.
- Tufillaro ; Reilly (1992). Experimentální přístup k nelineární dynamice a chaosu . American Journal of Physics . 61 . Addison-Wesley. p. 958. Bibcode : 1993AmJPh..61..958T . doi : 10,1119/1,17380 . ISBN 978-0-201-55441-0.
- Wiggins, Stephen (2003). Úvod do aplikovaných dynamických systémů a chaosu . Springer. ISBN 978-0-387-00177-7.
- Zaslavsky, George M. (2005). Hamiltonovský chaos a frakční dynamika . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-852604-9.
Semitechnická a populární díla
- Christophe Letellier , Chaos v přírodě , World Scientific Publishing Company, 2012, ISBN 978-981-4374-42-2 .
- Abraham, Ralph; a kol. (2000). Abraham, Ralph H .; Ueda, Yoshisuke (eds.). The Chaos Avant-Garde: Memoirs of the Early Days of Chaos Theory . Světová vědecká řada o nelineárních vědeckých řadách A. 39 . World Scientific. Bibcode : 2000cagm.book ..... . doi : 10,1142/4510 . ISBN 978-981-238-647-2.
- Barnsley, Michael F. (2000). Fraktály všude . Morgan Kaufmann. ISBN 978-0-12-079069-2.
- Pták, Richard J. (2003). Chaos a život: Složitost a řád v evoluci a myšlení . Columbia University Press. ISBN 978-0-231-12662-5.
- John Briggs and David Peat, Turbulent Mirror:: Illustrated Guide to Chaos Theory and the Science of Wholeness , Harper Perennial 1990, 224 pp.
- John Briggs a David Peat, Seven Life Lessons of Chaos: Spiritual Wisdom from the Science of Change , Harper Perennial 2000, 224 pp.
- Cunningham, Lawrence A. (1994). „Od náhodných procházek po chaotické havárie: Lineární genealogie hypotézy efektivního kapitálového trhu“. George Washington Law Review . 62 : 546.
- Predrag Cvitanović , Univerzalita v chaosu , Adam Hilger 1989, 648 s.
- Leon Glass a Michael C. Mackey, Od hodin k chaosu: Rytmy života, Princeton University Press 1988, 272 s.
- James Gleick , Chaos: Making a New Science , New York: Penguin, 1988. 368 pp.
- John Gribbin. Hluboká jednoduchost . Penguin Press Science. Knihy tučňáků.
- L Douglas Kiel, Euel W Elliott (ed.), The Chaos Theory in the Social Sciences: Foundations and Applications , University of Michigan Press, 1997, 360 pp.
- Arvind Kumar, chaos, fraktály a samoorganizace; Nové pohledy na složitost v přírodě , National Book Trust, 2003.
- Hans Lauwerier, Fractals , Princeton University Press, 1991.
- Edward Lorenz , The Essence of Chaos , University of Washington Press, 1996.
- Marshall, Alan (2002). Jednota přírody - celistvost a rozpad v ekologii a vědě . doi : 10,1142/9781860949548 . ISBN 9781860949548.
- David Peak a Michael Frame, Chaos Under Control: The Art and Science of Complexity , Freeman, 1994.
- Heinz-Otto Peitgen a Dietmar Saupe (Eds.), The Science of Fractal Images , Springer 1988, 312 s.
- Clifford A. Pickover , Computers, Pattern, Chaos, and Beauty: Graphics from an Unseen World , St Martins Pr 1991.
- Clifford A. Pickover , Chaos in Wonderland: Visual Adventures in a Fractal World , St Martins Pr 1994.
- Ilya Prigogine a Isabelle Stengers , Order Out of Chaos , Bantam 1984.
- Peitgen, Heinz-Otto; Richter, Peter H. (1986). Krása fraktálů . doi : 10,1007/978-3-642-61717-1 . ISBN 978-3-642-61719-5.
- David Ruelle , Chance and Chaos , Princeton University Press 1993.
- Ivars Peterson , Newtonovy hodiny: Chaos ve sluneční soustavě , Freeman, 1993.
- Ian Roulstone; John Norbury (2013). Neviditelní v bouři: role matematiky v porozumění počasí . Princeton University Press. ISBN 978-0691152721.
- Ruelle, D. (1989). Chaotická evoluce a zvláštní atraktory . doi : 10,1017/CBO9780511608773 . ISBN 9780521362726.
- Manfred Schroeder, Fraktály, chaos a mocenské zákony , Freeman, 1991.
- Smith, Peter (1998). Vysvětlení chaosu . doi : 10,1017/CBO9780511554544 . ISBN 9780511554544.
- Ian Stewart , Hraje Bůh kostky?: Matematika chaosu , Blackwell Publishers, 1990.
- Steven Strogatz , Sync: The vznikající věda o spontánním řádu , Hyperion, 2003.
- Yoshisuke Ueda, The Road To Chaos , Aerial Pr, 1993.
- M. Mitchell Waldrop, Complexity: The Emerging Science at the Edge of Order and Chaos , Simon & Schuster, 1992.
- Antonio Sawaya, Financial Time Series Analysis: Chaos and Neurodynamics Approach , Lambert, 2012.
externí odkazy
Knihovní zdroje o teorii chaosu |
- "Chaos" , Encyklopedie matematiky , EMS Press , 2001 [1994]
- Výzkumná skupina pro nelineární dynamiku s animacemi ve formátu Flash
- Skupina Chaos na University of Maryland
- Hypertextová kniha chaosu . Úvod do chaosu a fraktálů
- ChaosBook.org Pokročilá absolventská učebnice chaosu (žádné fraktály)
- Společnost pro teorii chaosu v psychologii a vědách o životě
- Nonlinear Dynamics Research Group ve společnosti CSDC , Florence Italy
- Interaktivní experiment s živým chaotickým kyvadlem umožňuje uživatelům interakci a vzorkování dat ze skutečného pracovního tlumeného chaotického kyvadla
- Nelineární dynamika: jak věda chápe chaos , diskuse Sunny Auyang, 1998.
- Nelineární dynamika . Modely rozdvojení a chaosu od Elmera G. Wiense
- Gleick's Chaos (výňatek) Archivováno 2007-02-02 na Wayback Machine
- Skupina pro analýzu, modelování a predikci systémů na univerzitě v Oxfordu
- Stránka o rovnici Mackey-Glass
- High Anxiety - The Mathematics of Chaos (2008) BBC dokumentární režie David Malone
- Teorie chaosu evoluce -článek publikovaný v Newscientist představující evoluční podobnosti a nelineární systémy včetně fraktální povahy života a chaosu.
- Jos Leys, Étienne Ghys et Aurélien Alvarez, Chaos, A Mathematical Adventure . Devět filmů o dynamických systémech, motýlím efektu a teorii chaosu, určených širokému publiku.
- „Teorie chaosu“ , diskuse BBC Radio 4 se Susan Greenfieldovou, Davidem Papineauem a Neilem Johnsonem ( In Our Time , 16. května 2002)
- Chaos: The Science of the Butterfly Effect (2019) vysvětlení předložené Derekem Mullerem