Třída (teorie množin) - Class (set theory)

V teorii množin a jejích aplikacích v celé matematice je třída souborem množin (nebo někdy jiných matematických objektů), které lze jednoznačně definovat vlastností, kterou sdílejí všichni její členové. Třídy fungují jako způsob, jak mít kolekce podobné sadám a zároveň se od sad odlišovat, aby se zabránilo Russellovu paradoxu (viz #Paradoxes ). Přesná definice „třídy“ závisí na základním kontextu. Při práci na teorii množin Zermelo – Fraenkel je pojem třídy neformální, zatímco jiné teorie množin, jako například teorie množin von Neumann – Bernays – Gödel , axiomatizují pojem „vlastní třídy“, např. Jako entity, které nejsou členy jiný subjekt.

Třída, která není množinou (neformálně v Zermelo – Fraenkel), se nazývá řádná třída a třída, která je množina, se někdy nazývá malá třída . Například třída všech pořadových čísel a třída všech množin jsou správnými třídami v mnoha formálních systémech.

V Quineově teoretickém psaní se místo fráze „správná třída“ často používá fráze „konečná třída“, která zdůrazňuje, že v systémech, které považuje, určité třídy nemohou být členy, a jsou tedy konečným termínem v jakémkoli členském řetězci, do kterého patří.

Mimo teorii množin je někdy slovo „třída“ používáno synonymně s „množinou“. Toto použití pochází z historického období, kdy třídy a množiny nebyly rozlišovány tak, jak jsou v moderní set-teoretické terminologii. Mnoho diskusí o „třídách“ v 19. století a dřívějších se skutečně týká množin, nebo spíše možná probíhá bez ohledu na to, že určité třídy nemusí být množinami.

Příklady

Sbírka všech algebraických struktur daného typu bude obvykle patřičnou třídou. Příklady zahrnují třídu všech skupin , třídu všech vektorových mezer a mnoho dalších. V teorii kategorií se kategorie, jejíž sbírka předmětů tvoří vlastní třídu (nebo jejíž kolekce morfismů tvoří vlastní třídu), nazývá velká kategorie .

Tyto surrealistické čísla jsou pořádná třída objektů, které mají vlastnosti pole .

V rámci teorie množin se ukazuje, že mnoho sbírek sad je správnými třídami. Příklady zahrnují třídu všech množin, třídu všech řadových čísel a třídu všech základních čísel.

Jeden způsob, jak dokázat, že třída je správný, je umístit ho do bijekce s třídou všech pořadových čísel. Tato metoda se používá například v důkazu, že na třech nebo více generátorech neexistuje žádná volná úplná mřížka .

Paradoxy

Tyto paradoxy naivní teorie množin lze vysvětlit, pokud jde o nekonzistentní tichého předpokladu , že „všechny třídy jsou sady“. S přísným základem tyto paradoxy místo toho naznačují důkazy, že určité třídy jsou správné (tj. Že nejsou množinami). Například Russellův paradox navrhuje důkaz, že třída všech množin, které se neobsahují, je správná, a paradox Burali-Fortiho naznačuje, že třída všech pořadových čísel je správná. U tříd nevznikají paradoxy, protože neexistuje pojem tříd obsahujících třídy. V opačném případě lze například definovat třídu všech tříd, které se samy neobsahují, což by vedlo k Russellovu paradoxu pro třídy. Konglomerát , na druhé straně, může mít správné třídy jako členové, i když teorie konglomerátů ještě není dobře zavedená.

Třídy ve formálních teoriích množin

Teorie množin ZF neformalizuje pojem tříd, takže každý vzorec s třídami musí být syntakticky redukován na vzorec bez tříd. Například lze vzorec zredukovat na . Sémanticky v metajazyka , třídy lze popsat jako ekvivalence tříd z logických vzorců : Když je struktura interpretaci ZF, pak jazyk objekt „třídy stavitel výraz“ je interpretován podle shromažďování všech prvků z oblasti o který drží; třídu lze tedy popsat jako množinu všech predikátů ekvivalentních (která zahrnuje sama sebe). Zejména lze identifikovat „třídu všech sad“ se sadou všech predikátů ekvivalentních

Protože třídy v teorii ZF nemají žádný formální status, axiomy ZF se na třídy nevztahují okamžitě. Pokud se však předpokládá nepřístupný kardinál , pak sady menších hodností tvoří model ZF ( vesmír Grothendieck ) a jeho podmnožiny lze považovat za „třídy“.

V ZF lze koncept funkce také zobecnit na třídy. Funkce třídy není funkcí v obvyklém smyslu, protože to není množina; je to spíše vzorec s vlastností, že pro libovolnou množinu neexistuje více než jedna množina taková, aby dvojice splňovala Například funkci třídy mapující každou množinu na jejího nástupce lze vyjádřit jako vzorec Skutečnost, že uspořádaná dvojice splňuje, může být vyjádřeny zkráceným zápisem

Jiný přístup volí axiomy von Neumann – Bernays – Gödel (NBG); třídy jsou základní objekty v této teorii a množina je pak definována jako třída, která je prvkem nějaké jiné třídy. Axiomy existence třídy NBG jsou však omezeny tak, že se kvantifikují pouze v sadách, nikoli ve všech třídách. To způsobí, že NBG je konzervativní rozšíření ZF.

Morse – Kelleyova teorie množin připouští správné třídy jako základní objekty, jako NBG, ale také umožňuje kvantifikaci všech správných tříd v jejích axiomech existence tříd. To způsobí, že MK bude přísněji než NBG i ZF.

V jiných teoriích množin, jako jsou Nové základy nebo teorie polosouborů , má koncept „správné třídy“ stále smysl (ne všechny třídy jsou množiny), ale kritérium podmíněnosti není v podmnožinách uzavřeno. Například jakákoli teorie množin s univerzální sadou má vlastní třídy, které jsou podtřídami množin.

Poznámky

Reference

externí odkazy