Věta o uzavřeném grafu - Closed graph theorem

Graf krychlové funkce na intervalu je uzavřen, protože funkce je spojitá . Graf zapnuté funkce Heaviside není uzavřen, protože funkce není spojitá.

{\ Displaystyle f (x) = x^{3} -9x}

{\ displaystyle [-4,4]}

{\ Displaystyle [-2,2]}

V matematice může věta o uzavřeném grafu odkazovat na jeden z několika základních výsledků charakterizujících spojité funkce z hlediska jejich grafů . Každý dává podmínky, kdy funkce s uzavřenými grafy jsou nutně spojité.

Grafy a mapy s uzavřenými grafy

Pokud je mapa mezi topological prostory pak graf ze je soubor nebo ekvivalentně ${\ Displaystyle f: X \ až Y}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Gr} f: = \ {(x, f (x)): x \ in X \}}$

{\ displaystyle \ operatorname {Gr} f: = \ {(x, y) \ in X \ times Y: y = f (x) \}}

Říká se, že graf je uzavřený ${\ displaystyle f}$ , pokud je uzavřený podmnožina z (s topologií produktu ).

{\ displaystyle \ operatorname {Gr} f}

{\ displaystyle X \ times Y}

Jakákoli spojitá funkce do Hausdorffova prostoru má uzavřený graf.

Jakákoli lineární mapa, mezi dvěma topologickými vektorovými prostory, jejichž topologie je (Cauchy) úplná s ohledem na metriky invariantní k translaci, a pokud je navíc (1a) sekvenčně spojitá ve smyslu produktové topologie, pak je mapa spojitá a její graf,

Gr

L

, je nutně uzavřen. A naopak, pokud je taková lineární mapa s, místo (1a), grafu (1b) je známo, že je uzavřen v karteziánském produktovém prostoru , pak je spojitý, a proto nutně sekvenčně spojitý.

{\ Displaystyle L: X \ až Y,}

{\ displaystyle L}

{\ displaystyle L}

{\ displaystyle L}

{\ displaystyle L}

{\ displaystyle X \ times Y}

{\ displaystyle L}

Příklady souvislých map, které nejsou uzavřené

Pokud je nějaký prostor, pak je mapa identity spojitá, ale její graf, který je úhlopříčkou , je uzavřen, pokud a pouze pokud je Hausdorff. Zejména pokud není Hausdorff, pak je spojitý, ale

není uzavřený.

{\ displaystyle X}

{\ displaystyle \ operatorname {Id}: X \ to X}

{\ displaystyle \ operatorname {Gr} \ operatorname {Id}: = \ {(x, x): x \ in X \},}

{\ displaystyle X \ times X}

{\ displaystyle X}

{\ displaystyle X}

{\ displaystyle \ operatorname {Id}: X \ to X}

Nechť označují reálných čísel s obvyklým

euklidovské topologii a nechat označují se indiscrete topologie (kde je třeba poznamenat, že je ne Hausdorff, a že každá funkce oceněny je spojitá). Nechte se definovat všemi a pro všechny . Pak je spojitý, ale jeho graf není uzavřen .

{\ displaystyle X}

{\ displaystyle \ mathbb {R}}

{\ displaystyle Y}

{\ displaystyle \ mathbb {R}}

{\ displaystyle Y}

{\ displaystyle Y}

{\ Displaystyle f: X \ až Y}

{\ displaystyle f (0) = 1}

{\ displaystyle f (x) = 0}

{\ displaystyle x \ neq 0}

{\ Displaystyle f: X \ až Y}

{\ displaystyle X \ times Y}

Věta o uzavřeném grafu v topologii množin bodů

V topologii množin bodů uvádí věta o uzavřeném grafu následující:

Věta o uzavřeném grafu - Pokud je mapa z topologického prostoru do kompaktního Hausdorffova prostoru, pak je graf uzavřen tehdy a jen tehdy, je -li spojitý . ${\ Displaystyle f: X \ až Y}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y,}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ Displaystyle f: X \ až Y}$

Pro funkce s nastavenou hodnotou

Věta o uzavřeném grafu pro funkce s nastavenou hodnotou - Pro prostor Hausdorffova kompaktního rozsahu má funkce s nastavenou hodnotou uzavřený graf právě tehdy, pokud je horní polokontinuální a $F$ $($ $x$ $)$ je uzavřená množina pro všechny . ${\ displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle F: X \ až 2^{Y}}$ ${\ displaystyle x \ v X}$

Ve funkční analýze

Pokud je lineární operátor mezi

topologickými vektorovými prostory (TVS), pak říkáme, že je uzavřeným operátorem, pokud je graf uzavřen, když je vybaven topologií produktu.

{\ Displaystyle T: X \ to Y}

{\ displaystyle T}

{\ displaystyle T}

{\ displaystyle X \ times Y}

{\ displaystyle X \ times Y}

Věta o uzavřeném grafu je důležitým výsledkem funkční analýzy, která zaručuje, že uzavřený lineární operátor je za určitých podmínek spojitý. Původní výsledek byl mnohokrát zobecněn. Dobře známá verze vět o uzavřeném grafu je následující.

Věta - Lineární mapa mezi dvěma F-prostory (např. Banachovy mezery ) je spojitá tehdy a jen tehdy, je-li její graf uzavřen.

Viz také

Téměř otevřená lineární mapa
Banachův prostor - Normovaný vektorový prostor, který je úplný
Sudový prostor - topologický vektorový prostor s téměř minimálními požadavky na větu Banach – Steinhaus.
Uzavřený graf - Graf mapy uzavřené v produktovém prostoru
Uzavřený lineární operátor
Spojitý lineární operátor
Diskontinuální lineární mapa
Kakutaniho věta o pevném bodě -Zapnuto, když funkce f: S → Pow (S) na kompaktní neprázdné konvexní podmnožině S⊂ℝⁿ má pevný bod
Lokálně konvexní topologický vektorový prostor - Vektorový prostor s topologií definovanou konvexními otevřenými množinami
Věta o otevřeném mapování (funkční analýza) - Podmínka, aby byl lineární operátor otevřený
Topologický vektorový prostor - Vektorový prostor s představou blízkosti
Ursescuova věta - zobecnění uzavřeného grafu, otevřeného mapování a věty o jednotné ohraničenosti
Webbed space - Prostory, kde platí věty o otevřeném mapování a uzavřených grafech

Poznámky

Reference

Bibliografie

Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Sur certains espaces vectoriels topologiques [ Topological Vector Spaces: Chapter 1–5 ]. Annales de l'Institut Fourier . Éléments de mathématique . 2 . Přeložil Eggleston, HG; Madan, S. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190 .
Folland, Gerald B. (1984), Real Analysis: Modern Techniques and their Applications (1st ed.), John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-80958-6
Jarchow, Hans (1981). Místně konvexní mezery . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342 .
Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Topologické vektorové prostory I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 159 . Přeložil Garling, DJH New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR 0248498 . OCLC 840293704 .
Munkres, James R. (2000). Topologie (druhé vydání.). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260 .
Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Topologické vektorové prostory . Čistá a aplikovaná matematika (druhé vydání.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
Rudin, Walter (1991). Funkční analýza . Mezinárodní série v čisté a aplikované matematice. 8 (druhé vydání.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topologické vektorové prostory . GTM . 8 (druhé vydání.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
Trèves, François (2006) [1967]. Topologické vektorové prostory, distribuce a jádra . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
Wilansky, Albert (2013). Moderní metody v topologických vektorových prostorech . Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .
Zălinescu, Constantin (30. července 2002). Konvexní analýza v obecných vektorových prostorech . River Edge, NJ London: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-4488-15-0. MR 1921556 . OCLC 285163112 - přes internetový archiv .
„Důkaz o uzavřené grafové větě“ . PlanetMath .

Languages

In other projects