Uzávěr (topologie) - Closure (topology)

V matematiky je uzávěr podmnožiny S bodů v topologického prostoru se skládá ze všech bodů v S spolu se všemi koncovými body v S . Uzavření S může být ekvivalentně definována jako unie z S a jeho hranice , a také jako průsečík všech uzavřených sad , které obsahují S . Intuitivně, uzávěr může být považována za všech bodů, které jsou buď S nebo „u“ S . Bod, který je v uzavření S je bod uzavření z S . Pojem uzavření je v mnoha ohledech duální vůči pojmu interiér .

Definice

Uzávěrka

Pro podmnožiny euklidovském prostoru , je bod uzavření , pokud každý otevřený koule se středem v obsahuje bod (tento bod může být sám). ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle x}$

Tato definice zevšeobecní jakoukoli podskupinu jednoho metrického prostoru Plně vyjádřený pro metrický prostor s metrikou je bod uzavření , pokud pro každý existuje asi tak, že vzdálenost (opět, je povoleno). Dalším způsobem, jak to vyjádřit, je říci, že jde o uzavírací bod vzdálenosti${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle X.}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle d,}$ ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle r> 0}$${\ displaystyle s \ v S}$${\ displaystyle d (x, s) <r}$${\ displaystyle x = s}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle d (x, S): = \ inf _ {s \ v S} d (x, s) = 0.}$

Tato definice zobecňuje topologické prostory nahrazením výrazů „otevřený míč“ nebo „míč“ výrazem „ sousedství “. Dovolit být podmnožina topologického prostoru pak je bod uzávěru nebo přilehlou bodu z kdyby každý sousedství obsahuje bod Všimněte si, že tato definice nezávisí na tom, zda jsou sousedství musí být otevřený. ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X.}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle S.}$

Mezní bod

Definice bodu uzavření úzce souvisí s definicí mezního bodu . Rozdíl mezi těmito dvěma definicemi je jemný, ale důležitý - konkrétně v definici mezního bodu musí každé sousedství daného bodu obsahovat jiný bod množiny, než je sám . Množina všech koncových bodů množiny se nazývá odvozen set of${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S.}$

Každý mezní bod je tedy bodem uzavření, ale ne každý bod uzavření je mezním bodem. Uzavírací bod, který není mezním bodem, je izolovaný bod . Jinými slovy, bod je izolovaným bodem, pokud je prvkem a pokud existuje jeho sousedství, které neobsahuje žádné jiné body kromě něj samotného. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle x}$

Pro danou množinu a bod je bod uzavření tehdy a jen tehdy, je-li prvek nebo je mezním bodem (nebo obojím). ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle x,}$ ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle S}$

Uzavření sady

Uzávěr podmnožiny z topologického prostoru označeny nebo případně (pokud se rozumí), kde v případě, oba a jsou z kontextu zřejmé, pak to může být také označován nebo (kromě toho, je někdy aktivovány do ) může být stanoven s použitím některého z následující ekvivalentní definice: ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle (X, \ tau),}$${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {(X, \ tau)} S}$${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} S}$${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle \ operatorname {cl} S,}$ ${\ displaystyle {\ overline {S}},}$${\ displaystyle S {} ^ {-}}$${\ displaystyle \ operatorname {cl}}$${\ displaystyle \ operatorname {Cl}}$

1. ${\ displaystyle \ operatorname {cl} S}$je množina všech bodů uzavření všech${\ displaystyle S.}$
2. ${\ displaystyle \ operatorname {cl} S}$je sada společně se všemi jejími mezními body .${\ displaystyle S}$
3. ${\ displaystyle \ operatorname {cl} S}$je průsečík všech uzavřených množin obsahujících${\ displaystyle S.}$
4. ${\ displaystyle \ operatorname {cl} S}$ je nejmenší uzavřená sada obsahující ${\ displaystyle S.}$
5. ${\ displaystyle \ operatorname {cl} S}$je unie a její hranice${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle \ částečné (S).}$
6. ${\ displaystyle \ operatorname {cl} S}$je množina všech , pro které existuje síť (v hodnotě) v tom, že konverguje k inu${\ displaystyle x \ v X}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle (X, \ tau).}$

Uzavření sady má následující vlastnosti.

• ${\ displaystyle \ operatorname {cl} S}$je uzavřená nadmnožina${\ displaystyle S}$
• Sada je uzavřena právě tehdy${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S = \ operatorname {cl} S}$
• Pokud pak je podmnožinou${\ displaystyle S \ subseteq T}$${\ displaystyle \ operatorname {cl} S}$${\ displaystyle \ operatorname {cl} T.}$
• If is a closed set, then contains if and only if contains${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ operatorname {cl} S.}$

Někdy je druhá nebo třetí vlastnost výše brána jako definice topologické uzávěry, která má stále smysl při použití na jiné typy uzávěrů (viz níže).

V prvním spočitatelném prostoru (například v metrickém prostoru ) je sada všech limitů všech konvergentních posloupností bodů v Pro obecný topologický prostor zůstává toto tvrzení pravdivé, pokud nahradíte „posloupnost“ „ net “ nebo „ filtr “ ". ${\ displaystyle \ operatorname {cl} S}$${\ displaystyle S.}$

Všimněte si, že tyto vlastnosti jsou také splněny, pokud jsou výrazy „uzavření“, „nadmnožina“, „křižovatka“, „obsahuje / obsahující“, „nejmenší“ a „uzavřený“ nahrazeny výrazy „interiér“, „podmnožina“, „sjednocení“, „obsažený“ v "," největší "a" otevřené ". Další informace o této záležitosti viz operátor uzavření níže.

Příklady

Vezměme si kouli ve 3 rozměrech. Implicitně existují dvě oblasti zájmu vytvořené touto sférou; samotná koule a její vnitřek (který se nazývá otevřená 3 koule). Je užitečné rozlišovat mezi vnitřkem 3-koule a povrchem, takže rozlišujeme mezi otevřenou 3-koulí a uzavřenou 3-koulí - uzavření 3-koule. Uzavření otevřené 3-koule je otevřená 3-koule plus povrch.

V topologickém prostoru :

• V jakémkoli prostoru ${\ displaystyle \ varnothing = \ operatorname {cl} \ varnothing.}$
• V jakémkoli prostoru ${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle X = \ operatorname {cl} X.}$

Dávat a standard (metrický) topologie : ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

• Pokud je Euclidean prostor z reálných čísel , pak${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} ((0,1)) = [0,1].}$
• Pokud je Euclidean prostor pak uzávěr množiny všech racionálních čísel je celý prostor Říkáme, že je hustá v${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$
• Pokud je složité letadlo poté${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} = \ mathbb {R} ^ {2},}$${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} \ left (\ {z \ in \ mathbb {C}: | z |> 1 \} \ right) = \ {z \ in \ mathbb {C}: | z | \ geq 1 \}.}$
• Pokud je konečná podmnožina euklidovském prostoru pak (Pro obecný topologického prostoru, tato vlastnost je ekvivalentní k T ₁ axiomu ).${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} S = S.}$

Na množinu reálných čísel lze umístit jiné topologie než standardní.

• Pokud je obdařen dolní mezní topologií , pak${\ displaystyle X = \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} ((0,1)) = [0,1).}$
• Pokud vezmeme v úvahu diskrétní topologii, ve které je každá množina uzavřena (otevřena), pak${\ displaystyle X = \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} ((0,1)) = (0,1).}$
• Pokud vezmeme v úvahu triviální topologii, ve které jsou jedinými uzavřenými (otevřenými) množinami prázdná množina a sama, pak${\ displaystyle X = \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} ((0,1)) = \ mathbb {R}.}$

Tyto příklady ukazují, že uzavření množiny závisí na topologii podkladového prostoru. Poslední dva příklady jsou speciální případy následujících.

• V každém diskrétním prostoru , protože každá sada je uzavřená (a také otevřená), je každá sada rovná jejímu uzavření.
• V každém indiscrete prostoru , protože jen uzavřené sady jsou prázdná množina a sám máme, že uzavření prázdné množiny je prázdná množina, a pro každý non-prázdná podmnožina z Jinými slovy, každý non-prázdná podmnožina z indiscrete prostor je hustý .${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} A = X.}$

Uzavření sady závisí také na tom, ve kterém prostoru uzavření provádíme. Například, pokud je množina racionálních čísel, s obvyklým relativní topologii indukované euklidovském prostoru, a v případě, pak je jak uzavřený a otevřený v protože ani ani jeho doplněk může obsahovat , což by spodní hranici , ale nemůže být v protože je iracionální. Takže nemá žádné dobře definované uzavření kvůli hraničním prvkům, které nejsou v . Pokud bychom však místo toho definovali množinu reálných čísel a definovali interval stejným způsobem, pak je uzavření tohoto intervalu dobře definováno a byla by množinou všech reálných čísel větších nebo rovných . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathbb {R},}$${\ displaystyle S = \ {q \ v \ mathbb {Q}: q ^ {2}> 2, q> 0 \},}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$

Operátor uzavření

Uzavření provozovatelem na sadě je mapování z elektrického souboru z do sebe který splňuje uzávěru axiomy Kuratowského . Vzhledem k topologickému prostoru topologické uzavření indukuje funkci, která je definována odesláním podmnožiny na místo, kde se místo toho může použít notace nebo může být použita. Naopak, pokud je operátor uzavření na množině, pak se topologický prostor získá definováním uzavřených množin jako přesně těch podmnožin, které splňují (takže doplňky z těchto podmnožin tvoří otevřené množiny topologie). ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (X)}$ ${\ displaystyle (X, \ tau)}$${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X}: \ wp (X) \ to \ wp (X)}$${\ displaystyle S \ subseteq X}$${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} S,}$${\ displaystyle {\ overline {S}}}$${\ displaystyle S ^ {-}}$${\ displaystyle \ mathbb {c}}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle S \ subseteq X}$${\ displaystyle \ mathbb {c} (S) = S}$${\ displaystyle X}$

Operátor uzavření je pro operátora interiéru dvojí , což se označuje v tom smyslu ${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X}}$${\ displaystyle \ operatorname {int} _ {X},}$

${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} S = X \ setminus \ operatorname {int} _ {X} (X \ setminus S),}$

a také

${\ displaystyle \ operatorname {int} _ {X} S = X \ setminus \ operatorname {cl} _ {X} (X \ setminus S).}$

Proto lze abstraktní teorii uzavíracích operátorů a uzavírací axiomy Kuratowského snadno přeložit do jazyka vnitřních operátorů nahrazením sad jejich doplňky v${\ displaystyle X.}$

Obecně operátor uzavření nedojíždí s křižovatkami. V úplném metrickém prostoru však platí následující výsledek:

Fakta o uzavřeních

Podskupina je uzavřen v případě, a pouze tehdy, když se zejména o: ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} S = S.}$

• Uzavření prázdné sady je prázdná sada;
• Uzavření sebe sama je${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X.}$
• Uzávěr průniku množin je vždy podmnožinou (ale nemusí se rovnat) průsečíku uzávěrů množin.
• V unii o finitely mnoha souprav, ukončení činnosti v Unii a Unie uzávěrů jsou si rovny; sjednocení nulových množin je prázdná množina, a tak tento příkaz obsahuje dřívější prohlášení o uzavření prázdné množiny jako speciální případ.
• Uzavření spojení nekonečně mnoha sad se nemusí rovnat spojení uzávěrů, ale vždy se jedná o nadmnožinu spojení uzávěrů.

If and if is a subspace of (means that is doted with the subspace topology that indukces on it), then and the closure of computed in is equal to the intersection of and the closure of computed in : ${\ displaystyle S \ subseteq T \ subseteq X}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {T} S \ subseteq \ operatorname {cl} _ {X} S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {T} S ~ = ~ T \ cap \ operatorname {cl} _ {X} S.}$

Zejména je hustý právě tehdy, když je podmnožinou${\ displaystyle S}$${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} S.}$

Pokud ale není nutně podmnožinou pouze tehdy ${\ displaystyle S, T \ subseteq X}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle T}$

${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {T} (S \ cap T) ~ \ subseteq ~ T \ cap \ operatorname {cl} _ {X} S}$

je zaručeno obecně, kde by toto omezení mohlo být přísné (zvažte například obvyklou topologii a ), i když pokud je otevřená podmnožina, pak bude platit rovnost (bez ohledu na vztah mezi a ). V důsledku toho, pokud je jakýkoliv otevřený kryt z a, pokud je nějaká podmnožina pak: ${\ displaystyle X = \ mathbb {R}}$${\ displaystyle T = (- \ infty, 0],}$${\ displaystyle S = (0, \ infty)}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {T} (S \ cap T) = T \ cap \ operatorname {cl} _ {X} S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S \ subseteq X}$

${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} S = \ bigcup _ {U \ in {\ mathcal {U}}} \ operatorname {cl} _ {U} (U \ cap S)}$

protože pro každého (kde každý je vybaven topologií podprostoru, která je na něm indukována ). Tato rovnost je obzvláště užitečná, když je potrubí a sady v otevřeném krytu jsou doménami souřadnicových grafů . Stručně řečeno, tento výsledek ukazuje, že uzavření libovolné podmnožiny lze vypočítat „lokálně“ v sadách libovolného otevřeného krytu a poté spojit dohromady. Tímto způsobem, tento výsledek lze považovat za analogové k dobře známým faktem, že podmnožina je uzavřen v případě, a to pouze v případě, že je „ lokálně uzavřený v “, což znamená, že pokud je jakýkoliv otevřený kryt z pak je uzavřen v případě, a pouze pokud je uzavřen pro všechny${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {U} (S \ cap U) = U \ cap \ operatorname {cl} _ {X} S}$${\ displaystyle U \ in {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle U \ in {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S \ subseteq X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S \ subseteq X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S \ cap U}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U \ in {\ mathcal {U}}.}$

Kategorický výklad

Jeden může elegantně definovat operátor uzavření, pokud jde o univerzální šipky, následovně.

POWERSET sady může být realizován jako objednávky dílčí kategorie , ve které objekty jsou podmnožiny a morfizmy mapy začleňování , kdykoli je podmnožinou Dále topologie na je podkategorii ze se zahrnutím funktoru Množina uzavřených podskupin, které obsahují pevnou podmnožinu lze identifikovat pomocí kategorie čárky Tato kategorie - také částečné pořadí - má potom počáteční objekt Tudíž existuje univerzální šipka od do daná začleněním${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle A \ až B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B.}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle I: T \ až P.}$${\ displaystyle A \ subseteq X}$ ${\ displaystyle (A \ downarrow I).}$${\ displaystyle \ operatorname {cl} A.}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle I,}$${\ displaystyle A \ na \ operatorname {cl} A.}$

Podobně, protože každá uzavřená množina obsahující odpovídá otevřené množině obsažené v můžeme interpretovat kategorii jako množina podmnožin otevřených obsažené v s terminálním objektu interiér z${\ displaystyle X \ setminus A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle (I \ downarrow X \ setminus A)}$${\ displaystyle A,}$ ${\ displaystyle \ operatorname {int} (A),}$${\ displaystyle A.}$

Všechny vlastnosti uzávěru lze odvodit z této definice a několika vlastností výše uvedených kategorií. Kromě toho tato definice upřesňuje analogii mezi topologickým uzávěrem a jinými typy uzávěrů (například algebraický uzávěr ), protože všechny jsou příklady univerzálních šipek .

Viz také

• Adherent point  - Bod, který patří k uzavření některých, dává podmnožinu topologického prostoru.
• Uzavírací algebra
• Odvozená množina (matematika)
• Interiér (topologie)
• Mezní bod  - Bod x v topologickém prostoru, jehož všechna sousedství obsahují nějaký další bod v dané podmnožině, který se liší od x

Poznámky

Reference

Bibliografie

• Baker, Crump W. (1991), Introduction to Topology , Wm. Nakladatel C. Brown, ISBN 0-697-05972-3
• Croom, Fred H. (1989), Principy topologie , Saunders College Publishing, ISBN 0-03-012813-7
• Gemignani, Michael C. (1990) [1967], Elementární topologie (2. vydání), Dover, ISBN 0-486-66522-4
• Hocking, John G .; Young, Gail S. (1988) [1961], Topology , Dover, ISBN 0-486-65676-4
• Kuratowski, K. (1966), Topology , I , Academic Press
• Pervin, William J. (1965), Foundations of General Topology , Academic Press
• Schubert, Horst (1968), Topologie , Allyn a Bacon
• Zălinescu, Constantin (30. července 2002). Konvexní analýza v obecných vektorových prostorech . River Edge, NJ London: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-4488-15-0. MR  1921556 . OCLC  285163112 .

externí odkazy

• „Uzavření množiny“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]