Kompaktní prostor - Compact space

Podle kritérií kompaktnosti pro euklidovský prostor, jak je uvedeno v Heineově -Borelově větě , není interval A = (−∞, −2] kompaktní, protože není ohraničen. Interval C = (2, 4) není kompaktní, protože Interval B = [0, 1] je kompaktní, protože je uzavřený i ohraničený.

V matematice , konkrétně obecné topologii , je kompaktnost vlastností, která zobecňuje představu o podmnožině euklidovského prostoru, který je uzavřený (obsahující všechny jeho mezní body ) a ohraničený (všechny jeho body leží v určité pevné vzdálenosti od sebe). Mezi příklady kompaktních prostorů patří uzavřený reálný interval , spojení konečného počtu uzavřených intervalů, obdélník nebo konečná sada bodů. Tento pojem je definován pro obecnější topologické prostory různými způsoby, které jsou obvykle ekvivalentní v euklidovském prostoru, ale mohou být nerovnoměrné v jiných prostorech.

Jednou takovou generalizací je, že topologický prostor je sekvenčně kompaktní, pokud každá nekonečná posloupnost bodů vzorkovaných z prostoru má nekonečnou subsekvenci, která konverguje k nějakému bodu prostoru. Bolzano-Weierstrassova věta uvádí, že podmnožina euklidovském prostoru je kompaktní v tomto smyslu sekvenční tehdy a jen tehdy, pokud je uzavřen a omezená. Pokud tedy zvolíme nekonečný počet bodů v uzavřeném jednotkovém intervalu [0, 1] , některé z těchto bodů se v daném prostoru libovolně přiblíží k nějakému skutečnému číslu. Například některá čísla v posloupnosti 1/2, 4/5, 1/3, 5/6, 1/4, 6/7, ... se hromadí na 0 (zatímco jiná se hromadí na 1). Stejná sada bodů by se nehromadila v žádném bodě intervalu otevřené jednotky (0, 1) , takže interval otevřené jednotky není kompaktní. Ačkoli podmnožiny (podprostory) euklidovského prostoru mohou být kompaktní, celý prostor samotný není kompaktní, protože není ohraničený. Například vzhledem k tomu , že celá řada reálných čísel, posloupnost bodů 0, 1, 2, 3, ... , nemá žádnou podsekvenci, která konverguje k jakémukoli reálnému číslu. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{1}}$

Kompaktnost formálně zavedl Maurice Fréchet v roce 1906, aby zobecnil Bolzano – Weierstrassovu větu z prostorů geometrických bodů do prostorů funkcí . Arzelà – Ascoliho věta a věta o existenci Peana jsou příkladem aplikací tohoto pojmu kompaktnosti na klasickou analýzu. Po jeho úvodním představení byly v obecných metrických prostorech vyvinuty různé ekvivalentní pojmy kompaktnosti, včetně sekvenční kompaktnosti a kompaktnosti mezních bodů . V obecných topologických prostorech však tyto pojmy kompaktnosti nejsou nutně ekvivalentní. Nejužitečnější pojem - a standardní definice nekvalifikovaného pojmu kompaktnost - je formulován z hlediska existence konečných rodin otevřených množin, které „ pokrývají “ prostor v tom smyslu, že každý bod prostoru leží v nějaké sadě obsažené v rodina. Tato jemnější představa, kterou zavedli Pavel Alexandrov a Pavel Urysohn v roce 1929, ukazuje kompaktní prostory jako zobecnění konečných množin . V prostorách, které jsou v tomto smyslu kompaktní, je často možné spojit dohromady informace, které obsahují lokálně - tj. V sousedství každého bodu - do odpovídajících prohlášení, která platí v celém prostoru, a mnoho vět je tohoto charakteru.

Termín kompaktní množina je někdy používán jako synonymum pro kompaktní prostor, ale často také odkazuje na kompaktní podprostor topologického prostoru.

Historický vývoj

V 19. století bylo chápáno několik nesourodých matematických vlastností, které by později byly považovány za důsledky kompaktnosti. Bernard Bolzano ( 1817 ) na jedné straně věděl, že jakákoli ohraničená posloupnost bodů (například v přímce nebo rovině) má podsekvenci, která se nakonec musí libovolně přiblížit k jinému bodu, nazývanému mezní bod . Bolzanův důkaz se spoléhal na metodu půlení : sekvence byla umístěna do intervalu, který byl poté rozdělen na dvě stejné části, a byla vybrána část obsahující nekonečně mnoho členů sekvence. Proces by se pak mohl opakovat rozdělením výsledného menšího intervalu na menší a menší části - dokud se nezavře na požadovaném mezním bodě. Plný význam Bolzanovy věty a její metody dokazování by se objevil až téměř o 50 let později, když ji znovu objevil Karl Weierstrass .

V 80. letech 19. století vyšlo najevo, že výsledky podobné Bolzano -Weierstrassově větě lze formulovat spíše pro prostory funkcí , než jen pro čísla nebo geometrické body. Myšlenka považovat funkce za vlastní body generalizovaného prostoru pochází z vyšetřování Giulia Ascoliho a Cesare Arzelà . Vrcholem jejich zkoumání, Arzelà – Ascoliho věta , bylo zobecnění Bolzano – Weierstrassovy věty na rodiny spojitých funkcí , jejichž přesným závěrem bylo, že bylo možné extrahovat rovnoměrně konvergentní posloupnost funkcí z vhodné rodiny funkce. Jednotná hranice této sekvence pak hrála přesně stejnou roli jako Bolzanův „mezní bod“. Na začátku dvacátého století se v oblasti integrálních rovnic začaly hromadit výsledky podobné těm z Arzelà a Ascoli , jak je zkoumali David Hilbert a Erhard Schmidt . Pro určitou třídu Greenových funkcí pocházejících z řešení integrálních rovnic Schmidt ukázal, že vlastnost analogická s Arzelà – Ascoliho větou se chová ve smyslu střední konvergence - nebo konvergence v tom, čemu se později bude říkat Hilbertův prostor . To nakonec vedlo k představě kompaktního operátora jako odnože obecného pojmu kompaktního prostoru. Byl to Maurice Fréchet, kdo v roce 1906 destiloval podstatu majetku Bolzano – Weierstrass a vytvořil termín kompaktnost, aby odkazoval na tento obecný jev (použil tento termín již ve svém příspěvku z roku 1904, který vedl ke slavné tezi z roku 1906).

Na konci 19. století se však ze studia kontinua , které bylo považováno za zásadní pro důslednou formulaci analýzy, pomalu objevoval i jiný pojem kompaktnosti . V roce 1870 Eduard Heine ukázal, že spojitá funkce definovaná v uzavřeném a ohraničeném intervalu je ve skutečnosti rovnoměrně spojitá . V průběhu důkazu použil lemma, že z jakéhokoli spočitatelného pokrytí intervalu menšími otevřenými intervaly bylo možné vybrat konečný počet z nich, které jej také pokryly. Význam tohoto lemmatu uznal Émile Borel ( 1895 ) a zobecnili jej na libovolné intervalové kolekce Pierre Cousin (1895) a Henri Lebesgue ( 1904 ). Výsledek Heine -Borel , jak je nyní znám, je další speciální vlastností, kterou vlastní uzavřené a ohraničené množiny reálných čísel.

Tato vlastnost byla významná, protože umožňovala přechod z lokálních informací o sadě (například kontinuita funkce) do globálních informací o sadě (jako je jednotná kontinuita funkce). Tento sentiment vyjádřil Lebesgue (1904) , který jej také využil při vývoji integrálu, který nyní nese jeho jméno . Ruská škola topologie bodových množin pod vedením Pavla Alexandrova a Pavla Urysohna nakonec formulovala Heine- Borelovu kompaktnost způsobem, který by mohl být aplikován na moderní představu topologického prostoru . Alexandrov & Urysohn (1929) ukázali, že dřívější verze kompaktnosti díky Fréchetovi, nyní nazývaná (relativní) sekvenční kompaktnost , za vhodných podmínek vyplývá z verze kompaktnosti, která byla formulována z hlediska existence konečných subkrytů. Právě tato představa kompaktnosti se stala dominantní, protože nebyla jen silnější vlastností, ale mohla být formulována v obecnějším prostředí s minimem dalších technických strojů, protože se spoléhala pouze na strukturu otevřených sad v prostoru.

Základní příklady

Jakýkoli konečný prostor je triviálně kompaktní. Netriviální příklad kompaktního prostoru je (uzavřené) jednotka intervalu [0,1] z reálných čísel . Pokud si člověk zvolí nekonečný počet různých bodů v jednotkovém intervalu, pak v tomto intervalu musí být nějaký akumulační bod . Například liché členy sekvence 1, 1/2, 1/3, 3/4, 1/5, 5/6, 1/7, 7/8, ... se libovolně blíží 0, zatímco sudé číslice se libovolně blíží 1. Uvedená příkladová posloupnost ukazuje důležitost zahrnutí hraničních bodů intervalu, protože mezní body musí být v samotném prostoru-otevřený (nebo napůl otevřený) interval reálná čísla nejsou kompaktní. Je také důležité, aby byl interval ohraničen , protože v intervalu [0, ∞) bylo možné zvolit posloupnost bodů 0, 1, 2, 3, ... , z nichž se žádná dílčí posloupnost nakonec libovolně nepřiblíží jakékoli dané skutečné číslo.

Ve dvou dimenzích jsou uzavřené disky kompaktní, protože pro jakýkoli nekonečný počet bodů vzorkovaných z disku se musí určitá podmnožina těchto bodů libovolně přiblížit buď k bodu na disku, nebo k bodu na hranici. Otevřený disk však není kompaktní, protože posloupnost bodů může směřovat k hranici - aniž by se libovolně přiblížila k jakémukoli bodu v interiéru. Podobně jsou koule kompaktní, ale koule, která postrádá bod, není, protože posloupnost bodů může stále směřovat k chybějícímu bodu, čímž se nedostane libovolně blízko k žádnému bodu v prostoru. Čáry a roviny nejsou kompaktní, protože lze vzít sadu stejně rozmístěných bodů v daném směru, aniž byste se přiblížili k jakémukoli bodu.

Definice

V závislosti na úrovni obecnosti mohou platit různé definice kompaktnosti. Zvláště podmnožina euklidovského prostoru se nazývá kompaktní, pokud je uzavřená a ohraničená . To znamená, podle Bolzano -Weierstrassovy věty , že jakákoli nekonečná posloupnost ze sady má podsekvenci, která konverguje k bodu v sadě. V obecných metrických prostorech lze vyvinout různé ekvivalentní pojmy kompaktnosti, jako je sekvenční kompaktnost a kompaktnost mezních bodů .

Naproti tomu různé pojmy kompaktnosti nejsou v topologických prostorech obecně ekvivalentní a nejužitečnější pojem kompaktnosti - původně nazývaný bicompactness - je definován pomocí krytů sestávajících z otevřených množin (viz definice otevřeného krytu níže). Že tato forma kompaktnosti platí pro uzavřené a ohraničené podmnožiny euklidovského prostoru, je známé jako Heine -Borelova věta . Kompaktnost, když je definována tímto způsobem, často umožňuje člověku přijímat informace, které jsou známy lokálně - v sousedství každého bodu prostoru - a rozšířit je na informace, které jsou globálně v celém prostoru. Příkladem tohoto jevu je Dirichletova věta, na kterou ji původně aplikoval Heine, že spojitá funkce na kompaktním intervalu je rovnoměrně spojitá ; zde je kontinuita lokální vlastností funkce a jednotná kontinuita odpovídající globální vlastností.

Definice otevřeného obalu

Formálně se topologický prostor X nazývá kompaktní, pokud každý z jeho otevřených krytů má konečný podkryt . To znamená, že X je kompaktní, pokud pro každou kolekci C otevřených podmnožin X tak

${\ Displaystyle X = \ bigcup _ {x \ in C} x}$,

je konečný podmnožina F z C tak, že

${\ Displaystyle X = \ bigcup _ {x \ in F} x.}$

Některá odvětví matematiky, jako algebraické geometrii , typicky ovlivňoval francouzskou školou Bourbaki , používat termín kvazi-kompaktní pro širokou představou, a rezervovat termín kompaktní pro topologické prostory, které jsou obě Hausdorffovy a kvazi-kompaktní . Kompaktní sada je někdy označována jako compactum , plural compacta .

Kompaktnost podmnožin

O podmnožině K topologického prostoru X se říká, že je kompaktní, pokud je kompaktní jako podprostor (v topologii podprostoru ). To znamená, že K je kompaktní, pokud pro každou libovolnou kolekci C otevřených podmnožin X tak, že

${\ Displaystyle K \ subseteq \ bigcup _ {c \ in C} c}$,

je konečný podmnožina F z C tak, že

${\ Displaystyle K \ subseteq \ bigcup _ {c \ in F} c}$.

Kompaktnost je „topologická“ vlastnost. To znamená, že v případě , se podskupina Z vybaven topologii podprostoru, pak K je kompaktní Z právě tehdy, když K je kompaktní Y . ${\ Displaystyle K \ subset Z \ subset Y}$

Ekvivalentní definice

Pokud X je topologický prostor, pak jsou následující ekvivalentní:

1. X je kompaktní.
2. Každý open cover of X má konečný subcover .
3. X má podzáklad tak, že každý kryt prostoru členy dílčí základny má konečný podkryt ( Alexandrova věta o podzákladí ).
4. X je Lindelöf a počitatelně kompaktní .
5. Jakákoli kolekce uzavřených podmnožin X s vlastností konečného průniku má neprázdný průnik.
6. Každá síť na X má konvergentní podsíť ( důkaz najdete v článku o sítích ).
7. Každý filtr na X má konvergentní upřesnění.
8. Každá síť na X má klastrový bod.
9. Každý filtr na X má bod shluku.
10. Každý ultrafiltr na X konverguje alespoň k jednomu bodu.
11. Každá nekonečná podmnožina X má úplný akumulační bod .

Euklidovský prostor

Pro jakékoliv podmnožiny A z euklidovském prostoru , je kompaktní tehdy a jen tehdy, pokud je uzavřen a ohraničené ; toto je Heine -Borelova věta .

Protože euklidovský prostor je metrický prostor, podmínky v další podsekci platí také pro všechny jeho podmnožiny. Ze všech ekvivalentních podmínek je v praxi nejjednodušší ověřit, zda je podmnožina uzavřená a ohraničená, například pro uzavřený interval nebo uzavřený n -ball.

Metrické prostory

Pro jakýkoli metrický prostor ( X , d ) jsou následující ekvivalentní (za předpokladu počitatelné volby ):

1. ( X , d ) je kompaktní.
2. ( X , d ) je úplné a zcela ohraničené (to je také ekvivalentní kompaktnosti pro jednotné mezery ).
3. ( X , d ) je postupně kompaktní; to znamená, že každá sekvence v X má konvergentní podposloupnost, jejíž limit je v X (to je také ekvivalentní kompaktnosti pro první spočítatelné jednotné mezery ).
4. ( X , d ) je mezní bod kompaktní (také nazývaný slabě spočítatelný kompaktní); to znamená, že každá nekonečná podmnožina X má alespoň jeden limitní bod v X .
5. ( X , d ) je spolehlivě kompaktní ; to znamená, že každý počitatelný otevřený kryt X má konečné subcover.
6. ( X , d ) je obraz spojité funkce ze sady Cantor .
7. Každá klesající sekvence uzavřených množin F1 ⊇ F2 ⊇… v ( X , d ) má neprázdný průnik.
8. ( X , d ) je uzavřené a zcela ohraničené.

Kompaktní metrický prostor ( X , d ) také splňuje následující vlastnosti:

1. Lebesgueovo číslo lemma : Pro každý otevřený kryt X existuje číslo δ > 0 takové, že každá podmnožina X o průměru < δ je obsažena v nějakém členu krytu.
2. ( X , d ) je druhé počítatelné , oddělitelné a Lindelöf -tyto tři podmínky jsou pro metrické prostory ekvivalentní. Konverzace není pravdivá; např. počitatelný diskrétní prostor splňuje tyto tři podmínky, ale není kompaktní.
3. X je uzavřeno a ohraničeno (jako podmnožina jakéhokoli metrického prostoru, jehož omezená metrika je d ). V neeuklidovském prostoru může konverzace selhat; např. skutečná linie vybavená diskrétní metrikou je uzavřená a ohraničená, ale není kompaktní, protože sbírka všech singletonů prostoru je otevřený kryt, který nepřipouští žádné konečné subcover. Je kompletní, ale není zcela ohraničený.

Charakterizace spojitými funkcemi

Nechť X je topologický prostor a C ( X ) kruh reálných spojitých funkcí na X . Pro každé p ∈ X je vyhodnocovací mapa daná ev _p ( f ) = f ( p ) kruhový homomorfismus. Jádro z ev _p je maximální ideální , protože zbytek pole C ( X ) / ker ev _p je reálných čísel, podle prvního izomorfizmu věty . Topologický prostor X je pseudokompaktní právě tehdy, pokud má každý maximální ideál v C ( X ) zbytková pole skutečná čísla. U zcela pravidelných prostorů je to ekvivalentní každému maximálnímu ideálu, který je jádrem hodnotícího homomorfismu. Existují však pseudokompaktní prostory, které nejsou kompaktní. ${\ displaystyle \ operatorname {ev} _ {p} \ colon C (X) \ to \ mathbf {R}}$

Obecně platí, že pro nepseudokompaktní prostory vždy existují maximální ideály m v C ( X ) tak, že zbytkové pole C ( X )/ m je ( nearchimedovské ) hyperrealistické pole . Rámec nestandardních analýzy umožňuje následujícím alternativním charakterizaci kompaktnosti: topologický prostor X je kompaktní tehdy a jen tehdy, když každý bod x přirozeného rozšíření * X je nekonečně blízko k bodu x ₀ z X (přesněji, x je obsažena v monádě o x ₀ ).

Hyperrealistická definice

Prostor X je kompaktní, pokud jeho hyperrealistické rozšíření *X (vytvořené například konstrukcí ultrapower ) má tu vlastnost, že každý bod *X je nekonečně blízko k nějakému bodu X ⊂ *X . Například, otevřený skutečný interval X = (0, 1) není kompaktní, protože jeho hyperreálné rozšíření * (0,1) obsahuje infinitesimals, které jsou nekonečně blízko 0, který není místem X .

Dostatečné podmínky

• Uzavřená podmnožina kompaktního prostoru je kompaktní.
• Konečné spojení kompaktních sad je kompaktní.
• Kontinuální obraz kompaktním prostoru je kompaktní.
• Průsečík jakékoli neprázdné kolekce kompaktních podmnožin Hausdorffova prostoru je kompaktní (a uzavřený);
  • Pokud X není Hausdorff, pak průnik dvou kompaktních podmnožin nemusí být kompaktní (viz například poznámka pod čarou).
• Produkt nějaké sbírky kompaktních prostorů je kompaktní. (Toto je Tychonoffova věta , která je ekvivalentní axiomu volby .)
• V metrizovatelném prostoru je podmnožina kompaktní právě tehdy, když je sekvenčně kompaktní (za předpokladu počitatelné volby )
• Konečná sada vybavená jakoukoli topologií je kompaktní.

Vlastnosti kompaktních prostor

• Kompaktní podmnožina Hausdorffova prostoru X je uzavřena.
  • Pokud X není Hausdorff, pak kompaktní podmnožina X nemusí být uzavřenou podmnožinou X (viz například poznámka pod čarou).
  • Pokud X není Hausdorff, pak uzavření kompaktní sady nemusí být kompaktní (viz například poznámka pod čarou).
• V jakémkoli topologickém vektorovém prostoru (TVS) je kompaktní podmnožina kompletní . Každý non-Hausdorff TVS však obsahuje kompaktní (a tedy úplné) podmnožiny, které nejsou uzavřeny.
• Pokud a B jsou disjunktní kompaktní podmnožiny Hausdorff prostoru X , potom existují disjunktní otevřené množině U a V v X, tak, že ⊆ U a B ⊆ V .
• Souvislá bijekce z kompaktního prostoru do Hausdorffova prostoru je homeomorfismus .
• Kompaktní Hausdorffův prostor je normální a pravidelný .
• Pokud je prostor X kompaktní a Hausdorff, pak žádná jemnější topologie na X není kompaktní a žádná hrubší topologie na X není Hausdorff.
• Pokud je podmnožina metrického prostoru ( X , d ) kompaktní, pak je d -ohraničená.

Funkce a kompaktní prostory

Protože je souvislý obraz kompaktního prostoru kompaktní, věta o extrémních hodnotách : souvislá funkce s reálnou hodnotou na neprázdném kompaktním prostoru je ohraničena výše a dosahuje svého převahy. (Trochu obecněji to platí pro horní polokontinuální funkci.) Jako druh převrácení výše uvedených tvrzení je předobraz kompaktního prostoru pod správnou mapou kompaktní.

Kompaktifikace

Každý topologický prostor X je otevřený hustý podprostor kompaktního prostoru, který má nejvýše jeden bod více než X , Alexandroffovým jednobodovým zhutněním . Ze stejného konstrukci, každý místně kompaktní Hausdorff prostor X je otevřená hustá subspace kompaktním Hausdorff prostoru, který má nejvýše jeden bod více než X .

Objednané kompaktní prostory

Neprázdná kompaktní podmnožina reálných čísel má největší prvek a nejmenší prvek.

Nechť X je jednoduše uspořádaná množina vybavená topologií řádu . Pak je X kompaktní právě tehdy, když X je úplná mřížka (tj. Všechny podmnožiny mají suprema a infima).

Příklady

• Jakýkoli konečný topologický prostor , včetně prázdné množiny , je kompaktní. Obecněji řečeno, jakýkoli prostor s konečnou topologií (jen konečný počet otevřených sad) je kompaktní; to zahrnuje zejména triviální topologii .
• Jakýkoli prostor nesoucí cofinitovou topologii je kompaktní.
• Jakýkoli lokálně kompaktní Hausdorffův prostor může být přeměněn na kompaktní prostor přidáním jednoho bodu k němu, a to pomocí Alexandroffova jednobodového zhutnění . Jednobodové zhutnění ℝ je homeomorfní pro kruh S ¹ ; jednobodové zhutnění ℝ ² je homeomorfní pro sféru S ² . Pomocí jednobodového zhutnění lze také snadno konstruovat kompaktní prostory, které nejsou Hausdorffovy, počínaje ne-Hausdorffovým prostorem.
• Topologie správné pořadí nebo topologie levé pořadí na libovolné ohraničené totálně objednané sady je kompaktní. Zejména prostor Sierpiński je kompaktní.
• Žádný diskrétní prostor s nekonečným počtem bodů není kompaktní. Sbírka všech singletonů prostoru je otevřená obálka, která nepřipouští žádné konečné utajení. Konečné diskrétní prostory jsou kompaktní.
• Při ℝ nesení topologie dolního limitu není žádná nespočetná množina kompaktní.
• V copotable topologii na nespočetné množině není žádná nekonečná množina kompaktní. Stejně jako předchozí příklad není prostor jako celek lokálně kompaktní, ale stále je Lindelöf .
• Uzavřený jednotkový interval [0, 1] je kompaktní. Vyplývá to z Heine -Borelovy věty . Otevřený interval (0, 1) není kompaktní: otevřený kryt pro n = 3, 4, ...  nemá konečné podkrytí. Podobně množina racionálních čísel v uzavřeném intervalu [0,1] není kompaktní: množiny racionálních čísel v intervalech pokrývají všechny racionální hodnoty v [0, 1] pro n = 4, 5, ...  ale toto kryt nemá konečný podkryt. Zde jsou sady v topologii podprostoru otevřené, přestože nejsou otevřené jako podmnožiny  ℝ .${\ textstyle \ left ({\ frac {1} {n}}, 1-{\ frac {1} {n}} \ right)}$${\ textstyle \ left [0, {\ frac {1} {\ pi}}-{\ frac {1} {n}} \ right] {\ text {and}} \ left [{\ frac {1} { \ pi}}+{\ frac {1} {n}}, 1 \ vpravo]}$
• Sada ℝ všech reálných čísel není kompaktní, protože existuje kryt otevřených intervalů, který nemá konečný podkryt. Například intervaly ( n - 1,  n + 1)  , kde n bere všechny celočíselné hodnoty v Z , pokrývají ℝ, ale neexistuje žádné konečné podkrytí.
• Na druhé straně je rozšířená reálná čísla nesoucí analogický topologie je kompaktní; Všimněte si, že výše popsaný kryt by nikdy nedosáhl bodů v nekonečnu. Ve skutečnosti má sada homeomorfismus na [−1, 1] mapování každého nekonečna na jeho odpovídající jednotku a každé reálné číslo na jeho znaménko vynásobené unikátním číslem v kladné části intervalu, jehož výsledkem je jeho absolutní hodnota při dělení jeden mínus sám, a protože homeomorfismy zachovávají kryty, lze usuzovat na vlastnost Heine-Borel.
• Pro každé přirozené číslo n je n -sféra kompaktní. Opět z Heine-Borelovy věty je uzavřená jednotková koule jakéhokoli konečného dimenzovaného normovaného vektorového prostoru kompaktní. To neplatí pro nekonečné dimenze; ve skutečnosti je normovaný vektorový prostor konečně dimenzionální právě tehdy, když je jeho uzavřená jednotková koule kompaktní.
• Na druhou stranu, uzavřená jednotková koule duálu normovaného prostoru je kompaktní pro topologii slabých*. ( Alaogluova věta )
• Sada Cantor je kompaktní. Ve skutečnosti je každý kompaktní metrický prostor souvislým obrazem sady Cantor.
• Zvažte množinu K všech funkcí f  : ℝ → [0, 1] z řádku reálných čísel do uzavřeného intervalu jednotek a definujte topologii na K tak, aby se posloupnost v K sbíhala směrem k f ∈ K právě tehdy, pokud konverguje k f ( x ) pro všechna reálná čísla x . Existuje pouze jedna taková topologie; nazývá se topologie bodové konvergence nebo produktová topologie . Pak K je kompaktní topologický prostor; to vyplývá z Tychonoffovy věty .${\ displaystyle \ {f_ {n} \}}$${\ displaystyle \ {f_ {n} (x) \}}$
• Uvažujme množinu K všech funkcí f  : [0, 1]  → [0, 1] splňující Lipschitzovu podmínku | f ( x ) -  f ( y ) | ≤ | x  -  y | pro všechna x ,  y  ∈  [0,1] . Uvažujme na K metriku indukovanou rovnoměrnou vzdáleností. Poté je podle Arzelà – Ascoliho věty prostor K kompaktní.${\ Displaystyle d (f, g) = \ sup _ {x \ in [0,1]} | f (x) -g (x) |.}$
• Spektrum každé ohraničené lineárního operátora na Banachova prostoru je neprázdná kompaktní podmnožinou komplexních čísel ℂ . Naopak, jakákoli kompaktní podmnožina ℂ vzniká tímto způsobem jako spektrum nějakého ohraničeného lineárního operátoru. Například diagonální operátor v Hilbertově prostoru může mít jakoukoli kompaktní neprázdnou podmnožinu ℂ jako spektrum.${\ displaystyle \ ell ^{2}}$

Algebraické příklady

• Kompaktní skupiny , jako je ortogonální skupina, jsou kompaktní, zatímco skupiny jako obecná lineární skupina nikoli.
• Protože p -adická celá čísla jsou homeomorfní pro Cantorovu množinu, tvoří kompaktní množinu.
• Spektrum jakéhokoliv komutativní prsten s topologií Zariski (to znamená, že množina všech primárních ideálů) je kompaktní, ale nikdy Hausdorff (s výjimkou triviálních případů). V algebraické geometrii jsou takové topologické prostory příklady kvazi-kompaktních schémat , „kvazi“ odkazujících na non-Hausdorffovu povahu topologie.
• Spektrum booleovské algebry je kompaktní, což je skutečnost, která je součástí reprezentace věty kamenné . Kamenné prostory , kompaktní zcela odpojené Hausdorffovy prostory, tvoří abstraktní rámec, ve kterém jsou tato spektra studována. Takové prostory jsou také užitečné při studiu profinitních skupin .
• Prostor struktury komutativní unital Banachovy algebry je kompaktní Hausdorffův prostor.
• Hilbert kostka je kompaktní, opět důsledek tichonovova věta.
• Profinite skupina (např Galois skupina ) je kompaktní.

Viz také

Poznámky

Reference

Bibliografie

• Alexandrov, Pavel ; Urysohn, Pavel (1929), „Mémoire sur les espaces topologiques compacts“, Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, Proceedings of the Section of Mathematical Sciences , 14.
• Arkhangel'skii, AV; Fedorchuk, VV (1990), „Základní pojmy a konstrukce obecné topologie“, v Arkhangel'skii, AV; Pontrjagin, LS (eds.), General topology I , Encyclopedia of the Mathematical Sciences, 17 , Springer, ISBN 978-0-387-18178-3.
• Arkhangel'skii, AV (2001) [1994], „Kompaktní prostor“ , Encyklopedie matematiky , EMS Press.
• Bolzano, Bernard (1817), Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetzes Resultat gewähren, wenigstens eine reele Wurzel der Gleichung liege , Wilhelm Engelmann( Čistě analytický důkaz věty, že mezi jakýmikoli dvěma hodnotami, které dávají výsledky opačného znaménka, leží alespoň jeden skutečný kořen rovnice ).
• Borel, Émile (1895), „Sur quelques points de la théorie des fonctions“, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 3, 12 : 9–55, doi : 10,24033/asens.406 , JFM  26.0429.03
• Boyer, Carl B. (1959), Historie počtu a jeho koncepční vývoj , New York: Dover Publications, MR  0124178.
• Boyer, Carl Benjamin ; Merzbach, Uta C (1991), A History of Mathematics (2. vyd.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-54397-8.
• Arzelà, Cesare (1895), „Sulle funzioni di linee“, Mem. Accad. Sci. Ist. Bologna Cl. Sci. Fis. Rohož. , 5 (5): 55–74.
• Arzelà, Cesare (1882–1883), „Un'osservazione intorno alle serie di funzioni“, Rend. Dell Accad. R. Delle Sci. dell'Istituto di Bologna : 142–159.
• Ascoli, G. (1883–1884), „Le curve limiti di una variaiet data di curve“, Atti della R. Accad. Dei Lincei Memorie della Cl. Sci. Fis. Rohož. Nat. , 18 (3): 521–586.
• Fréchet, Maurice (1906), „Sur quelques points du calcul fonctionnel“ , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , 22 (1): 1–72, doi : 10.1007/BF03018603 , hdl : 10338.dmlcz/100655 , S2CID  123251660.
• Gillman, Leonard; Jerison, Meyer (1976), Kruhy spojitých funkcí , Springer-Verlag.
• Howes, Norman R. (23. června 1995). Moderní analýza a topologie . Absolventské texty z matematiky . New York: Springer-Verlag Science & Business Media. ISBN 978-0-387-97986-1. OCLC  31969970 . OL  1272666M .
• Kelley, John (1955), General topology , Graduate Texts in Mathematics, 27 , Springer-Verlag.
• Kline, Morris (1972), matematické myšlení od starověku po moderní dobu (3. vydání), Oxford University Press (vydáno 1990), ISBN 978-0-19-506136-9.
• Lebesgue, Henri (1904), Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitive , Gauthier-Villars.
• Robinson, Abraham (1996), Nestandardní analýza , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04490-3, MR  0205854.
• Scarborough, CT; Stone, AH (1966), „Produkty téměř kompaktních prostor“ (PDF) , Transakce Americké matematické společnosti , Transakce Americké matematické společnosti, sv. 124, č. 1, 124 (1): 131–147, doi : 10,2307/1994440 , JSTOR  1994440.
• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (Dover Publications reprint of 1978 ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR  0507446
• Willard, Stephen (1970), Obecná topologie , publikace Dover, ISBN 0-486-43479-6

externí odkazy

• Spolehlivě kompaktní na PlanetMath .
• Sundström, Manya Raman (2010). „Pedagogické dějiny kompaktnosti“. arXiv : 1006,4131v1 [ math.HO ].

Tento článek včlení materiál z Příklady kompaktních prostorů na PlanetMath , který je chráněn licencí Creative Commons Attribution/Share-Alike License .