Doprovodná matice - Companion matrix
V lineární algebře se Frobenius společník matrice z monic polynomu
je čtvercová matice definovaná jako
Někteří autoři používají transpozici této matice, která (dvojitě) cykluje souřadnice a je pro některé účely vhodnější, například lineární relace opakování .
Charakterizace
Charakteristický polynom , jakož i minimální polynom z C ( p ) se rovná p .
V tomto smyslu je matice C ( p ) „společníkem“ polynomu p .
Pokud A je matice n -by- n s položkami z nějakého pole K , pak jsou následující tvrzení ekvivalentní:
- A je podobné doprovodné matici nad K jeho charakteristického polynomu
- charakteristický polynom A se shoduje s minimálním polynomem A , ekvivalentně má minimální polynom stupeň n
- existuje cyklický vektor v v na A , což znamená, že { V , A V , 2 v , ..., n -1 v } je základem z V . Ekvivalentně tak, že V je cyklický jako -modul (a ); jeden říká, že A je non-hanlivý .
Ne každá čtvercová matice je podobná doprovodné matici. Ale každá matice je podobná matici složené z bloků doprovodných matic. Dále lze tyto doprovodné matice zvolit tak, aby se jejich polynomy navzájem rozdělovaly; pak jsou jednoznačně určeno A . To je racionální kanonický tvar of A .
Diagonalizovatelnost
Pokud p ( t ) má výrazné kořeny lambda 1 , ..., λ n (o vlastní hodnoty z C ( p )), potom C ( p ) je diagonalizable následující:
kde V je Vandermondeova matice odpovídající λ .
V tomto případě, stopy sil m o C, snadno získá součty stejných sil m všech kořenů p ( t ),
Pokud má p ( t ) nejjednodušší kořen, pak C ( p ) není diagonalizovatelný (jeho kanonická forma Jordan obsahuje jeden blok pro každý odlišný kořen).
Lineární rekurzivní sekvence
Vzhledem k lineární rekurzivní sekvenci s charakteristickým polynomem
(transponovat) doprovodnou matici
generuje sekvenci v tom smyslu, že
zvýší řadu o 1.
Vektor (1, t , t 2 , ..., t n -1 ) je vlastní vektor této matice pro vlastní hodnotu t , když t je kořen charakteristického polynomu p ( t ) .
Pro c 0 = −1 a všechna ostatní c i = 0 , tj. P ( t ) = t n −1 , se tato matice redukuje na Sylvestrovu matici cyklického posunu nebo matici cirkulace .