Kompletní booleovská algebra - Complete Boolean algebra

Tento článek je o typu matematické struktury. Kompletní sady booleovských operátorů najdete v části Funkční úplnost .

V matematiky , je kompletní booleovské algebry je Booleovská algebra , ve kterém každá podskupina má supremum (alespoň horní hranice ). Kompletní booleovské algebry se používají ke konstrukci booleovských modelů teorie množin v teorii síly . Každý Booleovská algebra má v podstatě unikátní dokončení, což je kompletní Booleovská algebry obsahující tak, že každý prvek je supremem nějaké podmnožiny A . Jako uspořádaná množina , tato dostavba A je dostavba Dedekind-MacNeille .

Obecněji řečeno, je-li κ kardinál, pak se booleovská algebra nazývá κ-kompletní, pokud má každá podskupina mohutnosti menší než κ supremum.

Příklady

  • Každá konečná booleovská algebra je úplná.
  • Algebra podmnožin dané množiny je kompletní Boolean algebra.
  • Tyto pravidelné otevřené soubory libovolného topologického prostoru tvoří kompletní Boolean algebra. Tento příklad je obzvláště důležitý, protože každou vynucenou množinu lze považovat za topologický prostor ( základ pro topologii sestávající ze sad, které jsou množinou všech prvků menších nebo rovných danému prvku). Odpovídající pravidelnou otevřenou algebru lze použít k vytvoření modelů s booleovskou hodnotou, které jsou pak ekvivalentní obecným rozšířením o danou vynucenou množinu.
  • Algebra všech měřitelných podmnožin a-konečného prostoru měření, modulové nulové množiny, je kompletní booleovská algebra. Když je měřicí prostor jednotkovým intervalem s σ-algebrou Lebesgueových měřitelných množin, booleovská algebra se nazývá náhodná algebra .
  • Algebra všech měřitelných podmnožin měřicího prostoru je ℵ 1 -kompletní booleovská algebra, ale není obvykle úplná.
  • Algebra všech podmnožin nekonečné množiny, které jsou konečné nebo mají konečný doplněk, je booleovská algebra, ale není úplná.
  • Booleovská algebra všech Baireových sad modulo hubených sad v topologickém prostoru s počitatelnou základnou je kompletní; když je topologickým prostorem skutečná čísla, algebra se někdy nazývá Cantorova algebra .

  • Dalším příkladem booleovské algebry, která není úplná, je booleovská algebra P (ω) všech množin přirozených čísel , jejichž podíl tvoří ideální Fin konečných podmnožin. Výsledný objekt, označený P (ω)/Fin, se skládá ze všech tříd ekvivalence množin přirozených prvků, kde relevantní ekvivalenční vztah je, že dvě sady přirozených jsou ekvivalentní, pokud je jejich symetrický rozdíl konečný. Tyto booleovské operace jsou definovány analogicky, například v případě, a B jsou dvě třídy ekvivalence P (co) / Fin, definujeme jako ekvivalence třída , kde a b jsou některé (jakékoli) prvky A a B, v tomto pořadí .

    Nyní nechť 0 , a 1 , ... jsou po párech disjunktní nekonečné množiny přirozených prvků, a nechť A 0 ,  A 1 , ... jsou jejich odpovídající třídy ekvivalence v P (ω)/Fin. Pak vzhledem k jakékoli horní hranici X z A 0 ,  A 1 , ... v P (ω)/Fin, můžeme najít menší horní hranici, odstraněním ze zástupce pro X jeden prvek z každého a n . Proto A n nemají žádné supremum.

  • Booleovská algebra je úplná jen tehdy, pokud je její kamenný prostor hlavních ideálů extrémně odpojen .

Vlastnosti úplných booleovských algeber

  • Sikorského rozšíření věta uvádí, že v případě, je podalgebry o booleovské algebry B , pak každý homomorphism od A do úplného booleovské algebry C může být prodloužena na morfizmus z B do C .
  • Každá podmnožina úplné booleovské algebry má podle definice supremum; z toho vyplývá, že každá podmnožina má také infimum (největší dolní mez).
  • Pro úplnou booleovskou algebru platí oba nekonečné distribuční zákony.
  • Pro úplnou booleovskou algebru platí nekonečné de-Morganovy zákony .

Dokončení booleovské algebry

Dokončení booleovské algebry lze definovat několika ekvivalentními způsoby:

  • Dokončení A je (až do izomorfismu) jedinečná kompletní booleovská algebra B obsahující A tak, že A je v B hustá ; To znamená, že pro každý nenulový prvek B je menší nenulový prvek A .
  • Dokončení A je (až do izomorfismu) jedinečné kompletní Logická algebry B obsahující tak, že každý prvek B je supremem nějaké podmnožiny A .

Dokončení booleovské algebry A lze sestrojit několika způsoby:

  • Dokončení je logická algebra pravidelných otevřených souborů v kamenné prostoru z hlavních ideálů A . Každý prvek x z A odpovídá otevřené sadě primárních ideálů, které neobsahují x (což je otevřené a uzavřené, a proto pravidelné).
  • Dokončení je logická algebra pravidelných řezů A . Zde řez je podmnožina U z A + (nenulové prvky A ) tak, že, pokud q je v U a p  ≤  q pak p je v U , a je nazýván pravidelné , pokud kdykoli p není v U existuje určitá r  ≤  p takové, že U nemá žádné prvky ≤  r . Každý prvek p z A odpovídá řezu prvků ≤  p .

Pokud je metrický prostor a B jeho dokončení pak každý isometry od A do kompletní metrické C může být prodloužena na unikátní izometrie z B do C . Analogická tvrzení pro kompletní booleovské algebry není pravda: homomorphism z booleovské algebry A do úplného booleovské algebry C nemůže být nutně rozšířena a (supremem konzervačním) homomorfismu kompletních booleovské algebry od dokončení B z A na C . (Podle Sikorského věty o rozšíření ji lze rozšířit na homomorfismus booleovských algeber z B do C , ale obecně to nebude homomorfismus úplných booleovských algeber; jinými slovy, nemusí zachovat suprema.)

Zdarma κ-kompletní booleovské algebry

Není-li axiom výběru je uvolněná, bez kompletní booleovské algebry generované souborem neexistují (pokud množina je konečná). Přesněji, pro jakýkoli kardinální κ existuje úplná booleovská algebra mohutnosti 2 κ větší než κ, která je generována jako úplná booleovská algebra spočitatelnou podmnožinou; například booleovská algebra pravidelných otevřených množin v produktovém prostoru κ ω , kde κ má diskrétní topologii. Počitatelná generující sada se skládá ze všech množin a m , n pro m , n celých čísel, skládajících se z prvků x  ∊  κ ω tak, že x ( m ) <  x ( n ). (Této booleovské algebře se říká kolabující algebra , protože s ní nutí srážet kardinální κ na ω.)

Zejména zapomnětlivý funktor od úplných booleovských algeber k množinám nemá levý adjoint, přestože je spojitý a kategorie booleovských algeber je malá-úplná. To ukazuje, že „podmínka sady řešení“ ve Freydově věty o pomocném funktoru je nezbytná.

Vzhledem k tomu, množina X , jeden může tvořit volný Booleova algebra A generované touto sadou a pak se jeho dokončení B . Nicméně B není „volný“ kompletní Booleovská algebry generované X (pokud X je konečná nebo AC je vynechán), protože funkce z X k volnému booleovské algebry C nemůže být obecně rozšířen na (Supremum udržující) morfismu z Booleovy algebry od B až C .

Na druhou stranu pro jakýkoli pevný kardinální κ existuje bezplatná (nebo univerzální) κ-kompletní booleovská algebra generovaná libovolnou danou sadou.

Viz také

Reference

  1. ^ Stavi, Jonathan (1974), „Model ZF s nekonečnou bezplatnou kompletní booleovskou algebrou“, Israel Journal of Mathematics , 20 (2): 149–163, doi : 10.1007/BF02757883 , S2CID  119543439 .