Kompletní metrický prostor - Complete metric space

V matematické analýzy , je metrický prostor M je nazýván kompletní (nebo cauchyovská prostor ) je-li každý cauchyovská posloupnost bodů v M má mez , která je také v M .

Intuitivně je prostor úplný, pokud v něm nechybí „body“ (uvnitř nebo na hranici). Například sada racionálních čísel není úplná, protože v ní např. „Chybí“, přestože je možné sestrojit Cauchyovu sekvenci racionálních čísel, která k ní konverguje (viz další příklady níže). Vždy je možné „vyplnit všechny otvory“, což vede k dokončení daného prostoru, jak je vysvětleno níže. ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$

Definice

Cauchyho sekvence

Posloupnost x ₁ , x ₂ , x ₃ , ... v metrickém prostoru ( X , d ) se nazývá Cauchy, pokud pro každé kladné reálné číslo r > 0 existuje kladné celé číslo N takové, že pro všechna kladná celá čísla m , n > N ,

d ( x _m , x _n ) < r .

Expanzní konstanta

Expanze konstantní metrického prostoru je infimum všech konstanty takové, že vždy, když se rodina protíná dvojicích, křižovatka je neprázdná.${\ textstyle \ mu}$${\ textstyle \ left \ {{\ overline {B}} (x _ {\ alpha}, \, r _ {\ alpha}) \ right \}}$${\ textstyle \ bigcap _ {\ alpha} {\ overline {B}} (x _ {\ alpha}, \ mu r _ {\ alpha})}$

Kompletní prostor

Metrický prostor ( X , d ) je úplný, pokud je splněna některá z následujících ekvivalentních podmínek:

1. Každý Cauchy sled bodů v X má limitu , který je rovněž v X .
2. Každá Cauchyova sekvence v X konverguje v X (to znamená do nějakého bodu X ).
3. Expanzní konstanta ( X , d ) je ≤ 2.
4. Každé snížení sekvence neprázdné uzavřených podmnožin z X , s průměry , které mají sklon k 0 ° C, má neprázdný průnik : v případě, F _n je uzavřen a non-prázdná, F _{n + 1} ⊆ F _n pro každé n , a průměr ( F _n ) → 0 , pak je bod x ∈ X společný pro všechny množiny F _n .

Příklady

Prostor Q z racionálních čísel , se standardní metriky dána absolutní hodnota tohoto rozdílu , není dokončena. Uvažujme například posloupnost definovanou x ₁ = 1 a Toto je Cauchyova posloupnost racionálních čísel, ale nekonverguje k žádnému racionálnímu limitu: Pokud sekvence měla limit x , pak řešením nutně x ²  = 2, přesto tuto vlastnost nemá žádné racionální číslo. Považováno za posloupnost skutečných čísel však konverguje k iracionálnímu číslu . ${\ displaystyle x_ {n+1} = {\ frac {x_ {n}} {2}}+{\ frac {1} {x_ {n}}}.}$${\ displaystyle x = {\ frac {x} {2}}+{\ frac {1} {x}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$

Otevřený interval (0,1) , opět s absolutní hodnoty metrický, není kompletní jeden. Posloupnost definovaná x _n =1/nje Cauchy, ale v daném prostoru nemá omezení. Nicméně uzavřený interval [0,1] je dokončena; například daná sekvence má v tomto intervalu limit a limit je nula.

Prostor R reálných čísel a prostoru C z komplexních čísel (s metrický dán absolutní hodnoty) jsou kompletní, a tak je euklidovský prostor R ⁿ , s obvyklou vzdálenost metriky. Naproti tomu nekonečně rozměrné normované vektorové prostory mohou, ale nemusí být úplné; ty, které jsou kompletní, jsou Banachovy mezery . Prostor C [ ,  b ] z kontinuálních reálných funkcí na uzavřeném a ohraničeném intervalu je Banachův prostor, a tak kompletní metrický prostor, s ohledem na supremu normě . Norma supremum však nedává normu pro prostor C ( a ,  b ) spojitých funkcí na ( a ,  b ) , protože může obsahovat neomezené funkce. Místo toho, s topologií kompaktní konvergence , C ( a ,  b ) může mít strukturu Fréchetova prostoru : lokálně konvexní topologický vektorový prostor, jehož topologii lze vyvolat úplnou translačně invariantní metrikou.

Prostor Q _p o p -adic čísel je dokončeno pro žádný prvočísla p . Tento prostor dokončí Q pomocí metriky p -adic stejným způsobem, jako R dokončí Q s obvyklou metrikou.

Pokud S je libovolná množina, pak se množina S ^N všech sekvencí v S stane úplným metrickým prostorem, pokud definujeme vzdálenost mezi sekvencemi ( x _n ) a ( y _n ), které mají být1/N., Kde N je nejmenší index pro které x _N je odlišný od y _N , nebo 0 , pokud není žádná taková index. Tento prostor je homeomorphic k produktu části spočetně počtu kopií diskrétního prostoru S .

Kompletní riemannianská potrubí se nazývají geodetická potrubí ; úplnost vyplývá z Hopf – Rinowovy věty .

Některé věty

Každý kompaktní metrický prostor je úplný, i když úplné prostory nemusí být kompaktní. Ve skutečnosti je metrický prostor kompaktní právě tehdy, je -li úplný a zcela ohraničený . Jedná se o zobecnění Heine-Borel teorém , který říká, že jakýkoliv uzavřený a ohraničený podprostor S z R ⁿ je kompaktní a tedy úplné.

Nechť ( X , d ) je úplný metrický prostor. Pokud A ⊆ X je uzavřená množina, pak A je také kompletní. Nechť ( X , d ) je metrický prostor. Pokud A ⊆ X je úplný podprostor, pak A je také uzavřeno.

Pokud X je množina a M je úplný metrický prostor, pak množina B ( X , M ) všech ohraničených funkcí f od X do M je úplný metrický prostor. Zde definujeme vzdálenost v B ( X , M ) z hlediska vzdálenosti v M s normou supremum

${\ Displaystyle d (f, g) \ equiv \ sup \ left \ {d [f (x), g (x)]: x \ in X \ right \}}$

Pokud X je topologický prostor a M je úplný metrický prostor, pak množina C _b ( X , M ) skládající se ze všech spojitých ohraničených funkcí f od X do M je uzavřený podprostor B ( X , M ), a tudíž také úplný .

Teorém kategorie Baire říká, že každý úplný metrický prostor je Baire prostor . To znamená, že odbory z countably mnoha řídká podmnožin je prázdný interiér .

Banach pevným bodem teorém říká, že mapování kontrakce na úplném metrického prostoru připouští pevný bod. Věta o pevném bodě se často používá k prokázání věty o inverzních funkcích na úplných metrických prostorech, jako jsou Banachovy prostory.

Dokončení

Pro jakýkoli metrický prostor M lze sestrojit kompletní metrický prostor M ' (který je také označován jako M ), který obsahuje M jako hustý podprostor . Má následující univerzální vlastnost : pokud N je jakýkoli úplný metrický prostor a f je jakákoli rovnoměrně spojitá funkce od M do N , pak existuje jedinečná rovnoměrně spojitá funkce f ' od M' do N, která rozšiřuje f . Prostor M‘ je určen do izometrie touto vlastností (u všech úplných metrických prostorů izometricky obsahujících M ), a se nazývá dokončení v M .

Dokončení M může být konstruována jako soubor tříd rovnocennosti Cauchy sekvencí v M . Pro libovolné dvě Cauchyovy sekvence x  = ( x _n ) a y  = ( y _n ) v M můžeme definovat jejich vzdálenost jako

${\ Displaystyle d (x, y) = \ lim _ {n} d \ left (x_ {n}, y_ {n} \ right)}$

(Tato hranice existuje, protože skutečná čísla jsou úplná.) Toto je pouze pseudometrický , zatím ne metrický údaj, protože dvě různé Cauchyovy sekvence mohou mít vzdálenost 0. Ale „mít vzdálenost 0“ je vztah ekvivalence na množině všech Cauchy. sekvence, a množina tříd ekvivalence je metrický prostor, dokončení M . Původní prostor je do tohoto prostoru vložen identifikací prvku x z M ' s třídou ekvivalence sekvencí v M konvergujících k x (tj. Třída ekvivalence obsahující sekvenci s konstantní hodnotou x ). To podle potřeby definuje izometrii na hustý podprostor. Všimněte si však, že tato konstrukce výslovně využívá úplnost skutečných čísel, takže dokončení racionálních čísel vyžaduje trochu jiné zacházení.

Cantorova konstrukce reálných čísel je podobná výše uvedené konstrukci; skutečná čísla jsou doplněním racionálních čísel pomocí běžné absolutní hodnoty pro měření vzdáleností. Další jemností, se kterou je třeba se poprat, je, že není logicky přípustné používat úplnost skutečných čísel ve vlastní konstrukci. Přesto jsou třídy ekvivalence Cauchyových sekvencí definovány výše a sadu tříd ekvivalence lze snadno ukázat jako pole, které má jako podpolí racionální čísla. Toto pole je úplné, připouští přirozené celkové uspořádání a je jedinečným zcela uspořádaným úplným polem (až do izomorfismu). Je definován jako pole reálných čísel ( další podrobnosti viz také Konstrukce reálných čísel ). Jedním ze způsobů, jak zobrazit tuto identifikaci se skutečnými čísly, jak se obvykle vidí, je to, že třída ekvivalence sestávající z těch Cauchyho posloupností racionálních čísel, která „by měla mít“ daný skutečný limit, je identifikována s tímto skutečným číslem. Zkrácení desítkové expanze dává pouze jednu volbu Cauchyho sekvence v příslušné třídě ekvivalence.

Pro primární p jsou p -adic čísla vznikají provedením racionální čísla v souvislosti s jinou metrikou.

Pokud je dřívější postup dokončení použit na normovaný vektorový prostor , výsledkem je Banachův prostor obsahující původní prostor jako hustý podprostor, a pokud je aplikován na vnitřní produktový prostor , výsledkem je Hilbertův prostor obsahující původní prostor jako hustý podprostor.

Topologicky kompletní prostory

Úplnost je vlastností metriky a ne topologie , což znamená, že úplný metrický prostor může být homeomorfní s neúplným . Příkladem jsou skutečná čísla, která jsou úplná, ale homeomorfní s otevřeným intervalem (0,1) , který není úplný.

V topologii se uvažuje o zcela metrizovatelných prostorech , prostorech, pro které existuje alespoň jedna úplná metrika indukující danou topologii. Zcela metrizovatelné prostory lze charakterizovat jako ty prostory, které lze zapsat jako průsečík spočítatelně mnoha otevřených podmnožin nějakého úplného metrického prostoru. Protože závěr věty o kategorii Baire je čistě topologický, vztahuje se i na tyto prostory.

Zcela metrizovatelné prostory se často nazývají topologicky úplné . Druhý termín je však poněkud libovolný, protože metrika není nejobecnější strukturou v topologickém prostoru, pro kterou lze hovořit o úplnosti (viz část Alternativy a zobecnění ). Někteří autoři skutečně používají termín topologicky úplný pro širší třídu topologických prostorů, tedy zcela uniformizovatelné prostory .

Topologický prostor homeomorfní k oddělitelnému kompletnímu metrickému prostoru se nazývá polský prostor .

Alternativy a zobecnění

Vzhledem k tomu, že Cauchyho sekvence lze také definovat v obecných topologických skupinách , je alternativou spoléhání se na metrickou strukturu pro definování úplnosti a konstrukci dokončení prostoru použít skupinovou strukturu. Nejčastěji je to vidět v kontextu topologických vektorových prostorů , ale vyžaduje to pouze existenci spojité operace „odčítání“. V tomto nastavení není vzdálenost mezi dvěma body x a y měřena skutečným číslem ε pomocí metriky d při srovnání d ( x , y ) <  ε , ale otevřeným sousedstvím N 0 odečtením při srovnání x  -  y  ∈  N .

Společnou generalizaci těchto definic lze nalézt v kontextu jednotného prostoru , kde je doprovod souborem všech dvojic bodů, které od sebe nejsou vzdáleny více než určitou „vzdálenost“.

Je také možné nahradit Cauchyho sekvence v definici úplnosti Cauchyovými sítěmi nebo Cauchyho filtry . Pokud má každá Cauchyova síť (nebo ekvivalentně každý Cauchyho filtr) limit v X , pak se X nazývá kompletní. Dále lze zkonstruovat dokončení pro libovolný jednotný prostor podobný dokončení metrických prostorů. Nejobecnější situací, ve které se uplatňují Cauchyovy sítě, jsou Cauchyho prostory ; i tyto mají pojem úplnosti a dokončení stejně jako jednotné mezery.

Viz také

• Cauchyho prostor
• Dokončení (algebra)
• Kompletní jednotný prostor
• Kompletní topologický vektorový prostor  - TVS, kde se body, které se k sobě postupně přibližují, vždy sbíhají do bodu
• Knaster – Tarského věta

Poznámky

Reference

• Kelley, John L. (1975). Obecná topologie . Springer. ISBN 0-387-90125-6.
• Kreyszig, Erwin , Úvodní funkční analýza s aplikacemi (Wiley, New York, 1978). ISBN  0-471-03729-X
• Lang, Serge , „Skutečná a funkční analýza“ ISBN  0-387-94001-4
• Meise, Reinhold; Vogt, Dietmar (1997). Úvod do funkční analýzy . Ramanujan, MS (trans.). Oxford: Clarendon Press; New York: Oxford University Press. ISBN 0-19-851485-9.