Antiderivativní (komplexní analýza) - Antiderivative (complex analysis)

V komplexní analýzy , odvětví matematiky je primitivní , nebo primitivní , o komplexní cenil funkce g je funkce, jejíž komplex derivát je g . Přesněji řečeno, vzhledem k otevřené množině v komplexní rovině a funkci je její primitivní funkcí funkce, která splňuje . ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle g: U \ to \ mathbb {C},}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle {\ frac {df} {dz}} = g}$

Jako takový je tento koncept komplexně proměnnou verzí antiderivátu funkce se skutečnou hodnotou.

Jedinečnost

Derivát konstantní funkce je nulová funkce. Jakákoli konstantní funkce je tedy primitivní funkcí nulové funkce. Pokud je připojená množina , pak konstantní funkce jsou jedinými primitivními funkcemi nulové funkce. V opačném případě, že funkce je primitivní nulového funkce v případě, a pouze v případě, že je konstantní na každé připojené zařízení z (tyto konstanty nemusí být stejné). ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle U}$

Toto pozorování naznačuje, že má-li funkce primitivní funkci, je tato antiderivativní funkce jedinečná až po přidání funkce, která je konstantní na každé připojené složce prvku . ${\ displaystyle g: U \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle U}$

Existence

Lze charakterizovat existenci antiderivativ prostřednictvím cestových integrálů ve složité rovině, podobně jako v případě funkcí reálné proměnné. Možná není překvapením, že g má primitivní funkci f právě tehdy, když pro každou cestu γ od a do b je integrální cesta

{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} g (\ zeta) \, d \ zeta = f (b) -f (a).}

Ekvivalentně

{\ displaystyle \ mast _ {\ gamma} g (\ zeta) \, d \ zeta = 0,}

pro jakoukoli uzavřenou cestu γ.

Bez ohledu na tuto formální podobnost je však vlastnění komplexního protikladu mnohem přísnější podmínkou než jeho skutečný protějšek. I když je možné, aby diskontinuální skutečná funkce měla anti-derivát, anti-deriváty mohou existovat i pro holomorfní funkce komplexní proměnné. Vezměme si například reciproční funkci g ( z ) = 1 / z, která je v propíchnuté rovině C \ {0} holomorfní . Přímý výpočet ukazuje, že integrál g podél libovolné kružnice obklopující počátek je nenulový. Takže g selže výše uvedená podmínka. To je podobné existenci potenciálních funkcí pro konzervativní vektorová pole , protože Greenova věta je schopna zaručit nezávislost cesty pouze tehdy, když je daná funkce definována na jednoduše připojené oblasti, jako v případě Cauchyho integrálního teorému .

Ve skutečnosti je holomorphy charakterizována tím, že má lokálně antiderivativum , to znamená, že g je holomorfní, pokud pro každé z v jeho doméně existuje nějaká sousedství U ze z , takže g má na U primitivní funkci . Kromě toho je holomorphy nezbytnou podmínkou pro to, aby funkce měla primitivní funkci, protože derivát jakékoli holomorfní funkce je holomorfní.

Různé verze Cauchyova věta , An podchycení výsledek Cauchy teorie funkcí, která dělá těžké použití cesty integrály, dává dostatečné podmínky, za nichž k holomorphic g ,

{\ displaystyle \ mast _ {\ gamma} g (\ zeta) \, d \ zeta}

zmizí pro jakoukoli uzavřenou cestu γ (což může být například to, že doména g bude jednoduše spojena nebo hvězdně konvexní).

Nutnost

Nejprve ukážeme, že je-li f primitivní funkcí g na U , pak g má integrační vlastnost cesty uvedenou výše. Vzhledem k tomu, žádné po částech C ¹ cesta y: [ , b ] → U , lze vyjádřit cesta základní o g nad y jako

{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} g (z) \, dz = \ int _ {a} ^ {b} g (\ gamma (t)) \ gamma '(t) \, dt = \ int _ { a} ^ {b} f '(\ gamma (t)) \ gamma' (t) \, dt.}

Podle pravidla řetězu a základní věty počtu pak jeden má

{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} g (z) \, dz = \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {d} {dt}} f \ left (\ gamma (t) \ right) \, dt = f \ left (\ gamma (b) \ right) -f \ left (\ gamma (a) \ right).}

Proto je integrál g nad y však není závislá na skutečné cesty y, ale pouze na jeho koncových bodech, což je to, co jsme chtěli ukázat.

Dostatečnost

Dále ukážeme, že pokud je g holomorfní a integrál g přes jakoukoli cestu závisí pouze na koncových bodech, pak g má primitivní funkci. Uděláme to výslovným nalezením derivátu.

Bez újmy na obecnosti, můžeme předpokládat, že doména U ze g je připojen, protože jinak lze prokázat existenci primitivní na každé připojené zařízení. S tímto předpokladem opravte bod z ₀ v U a pro jakékoli z v U definujte funkci

{\ displaystyle f (z) = \ int _ {\ gamma} \! g (\ zeta) \, d \ zeta}

kde γ je libovolná cesta spojující z ₀ až z . Taková cesta existuje, protože U se považuje za otevřenou připojenou množinu. Funkce f je dobře definovaná, protože integrál závisí pouze na koncových bodech y.

Že toto f je primitivní funkce g, lze tvrdit stejným způsobem jako skutečný případ. Máme pro daný Z v U , že musí existovat disk se soustředil na Z a obsahoval úplně uvnitř U . Pak pro každé w jiné než z na tomto disku

{\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} \ left | {\ frac {f (w) -f (z)} {wz}} - g (z) \ right | & = \ left | \ int _ {z} ^ {w} {\ frac {g (\ zeta) \, d \ zeta} {wz}} - \ int _ {z} ^ {w} {\ frac {g (z) \, d \ zeta} {wz} } \ right | \\ & \ leq \ int _ {z} ^ {w} {\ frac {| g (\ zeta) -g (z) |} {| wz |}} \, d \ zeta \\ & \ leq \ sup _ {\ zeta \ in [w, z]} | g (\ zeta) -g (z) |, \ end {zarovnáno}}}

kde [ z , w ] označuje úsečku mezi z a w . Kontinuitou g konečný výraz jde na nulu, když se w blíží k z . Jinými slovy, f ′ = g .

Reference

Ian Stewart, David O. Tall (10. března 1983). Komplexní analýza . Cambridge University Press. ISBN 0-521-28763-4 .
Alan D Solomon (1. ledna 1994). Essentials komplexní proměnné I . Výzkum a vzdělávání Doc. ISBN 0-87891-661-X .

externí odkazy

Weisstein, Eric W. „Základní věty o počtu“ . MathWorld .

Languages

In other projects