Komplexní konjugát - Complex conjugate

V matematiky je komplexně sdružená z komplexního čísla je číslo se stejným reálné části a imaginární části se rovná co do velikosti, ale s opačným znaménkem . To znamená, že (pokud a jsou reálné, pak) komplexní konjugát je roven Komplexní konjugát of je často označován jako${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a+bi}$${\ Displaystyle a-bi.}$${\ Displaystyle z}$${\ displaystyle {\ overline {z}}.}$

V polárním tvaru , konjugát je Toto může být ukázáno pomocí Eulerova vzorce . ${\ displaystyle re^{i \ varphi}}$${\ displaystyle re^{-i \ varphi}.}$

Součin komplexního čísla a jeho konjugátu je skutečné číslo:  (nebo  v polárních souřadnicích ). ${\ Displaystyle a^{2}+b^{2}}$${\ displaystyle r^{2}}$

Pokud je kořen univariačního polynomu se skutečnými koeficienty složitý, pak je jeho komplexní konjugát také kořenem .

Zápis

Komplexně sdružená komplexního čísla je zapsán nebo první značení, je vinculum , zabraňuje záměně s notace pro konjugovat přemístit části matrice , která může být považována za zobecnění komplexně sdruženou hodnotou. Druhé je upřednostňováno ve fyzice , kde se pro transpozici konjugátu používá dýka (†), stejně jako v elektrotechnice a počítačovém inženýrství , kde lze notaci sloupce zaměňovat za logickou negaci („NOT“) logickou algebrou , zatímco bar zápis je běžnější v čisté matematice . Pokud je komplexní číslo reprezentováno jako matice , zápisy jsou totožné. ${\ Displaystyle z}$${\ displaystyle {\ overline {z}}}$${\ displaystyle z^{*}.}$${\ displaystyle 2 \ times 2}$

Vlastnosti

Následující vlastnosti platí pro všechna komplexní čísla a není -li uvedeno jinak, lze je prokázat písemně a ve formuláři${\ Displaystyle z}$${\ displaystyle w,}$${\ Displaystyle z}$${\ displaystyle w}$${\ displaystyle a+bi.}$

Pro libovolná dvě komplexní čísla je konjugace distribuční přes sčítání, odčítání, násobení a dělení:

Komplexní číslo se rovná jeho komplexnímu konjugátu, pokud je jeho imaginární část nula, nebo ekvivalentně, pokud je číslo skutečné. Jinými slovy, skutečná čísla jsou jedinými pevnými body konjugace.

Konjugace nemění modul komplexního čísla: ${\ Displaystyle \ left | {\ overline {z}} \ right | = | z |.}$

Konjugace je involuce , to znamená, že konjugát konjugátu komplexního čísla je v symbolech,${\ Displaystyle z}$${\ Displaystyle z.}$${\ displaystyle {\ overline {\ overline {z}}} = z.}$

Součin komplexního čísla s jeho konjugátem se rovná druhé mocnině modulu čísla. To umožňuje snadný výpočet multiplikativní inverze komplexního čísla zadaného v obdélníkových souřadnicích.

Konjugace je komutativní pod složením s umocněním na celočíselné mocniny, s exponenciální funkcí a s přirozeným logaritmem pro nenulové argumenty:

${\ displaystyle {\ overline {z^{n}}} = \ left ({\ overline {z}} \ right)^{n}, \ quad {\ text {for all}} n \ in \ mathbb {Z }}$

${\ displaystyle \ exp \ left ({\ overline {z}} \ right) = {\ overline {\ exp (z)}}}$

${\ Displaystyle \ ln \ left ({\ overline {z}} \ right) = {\ overline {\ ln (z)}} {\ text {if}} z {\ text {is non-zero}}}$

If je polynom se skutečnými koeficienty a pak také. Nerealistické kořeny skutečných polynomů se tedy vyskytují v komplexních konjugovaných párech ( viz Komplexní konjugovaná kořenová věta ). ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p (z) = 0,}$${\ Displaystyle p \ left ({\ overline {z}} \ right) = 0}$

Obecně platí, že pokud je holomorfní funkce, jejíž omezení na reálná čísla má skutečnou hodnotu a jsou definována, pak ${\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle \ varphi (z)}$${\ displaystyle \ varphi ({\ overline {z}})}$

Mapa od do je homeomorfismus (kde topologie je považována za standardní topologii) a antilineární , pokud je považován za komplexní vektorový prostor nad sebou. I když se zdá, že jde o dobře vychovanou funkci, není holomorfní ; obrací orientaci, zatímco holomorfní funkce lokálně zachovávají orientaci. Je bijektivní a kompatibilní s aritmetickými operacemi, a proto je polním automorfismem . Protože udržuje reálná čísla pevné, že je prvkem Galois skupiny o rozšíření pole Tato skupina Galois má pouze dva prvky: a identity na tak jediným dvou polních automorphisms této dovolené reálná čísla pevné jsou mapa identity a komplexní konjugace. ${\ displaystyle \ sigma (z) = {\ overline {z}}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C} /\ mathbb {R}.}$${\ Displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

Použijte jako proměnnou

Jakmile je zadáno komplexní číslo nebo je jeho konjugát dostatečný k reprodukci částí proměnné: ${\ Displaystyle z = x+yi}$${\ Displaystyle z = re^{i \ theta}}$${\ Displaystyle z}$

• Skutečná část: ${\ displaystyle x = \ operatorname {Re} (z) = {\ dfrac {z+{\ overline {z}}} {2}}}$
• Imaginární část: ${\ displaystyle y = \ operatorname {Im} (z) = {\ dfrac {z-{\ overline {z}}} {2i}}}$
• Modul (nebo absolutní hodnota) :${\ Displaystyle r = \ left | z \ right | = {\ sqrt {z {\ overline {z}}}}}$
• Argument : tak${\ Displaystyle e^{i \ theta} = e^{i \ arg z} = {\ sqrt {\ dfrac {z} {\ overline {z}}}},}$${\ Displaystyle \ theta = \ arg z = {\ dfrac {1} {i}} \ ln {\ sqrt {\ frac {z} {\ overline {z}}}} = {\ dfrac {\ ln z- \ l {{overline {z}}} {2i}}}$

Dále lze použít k určení přímek v rovině: sadě ${\ displaystyle {\ overline {z}}}$

je přímka procházející počátkem a kolmá na, protože skutečná část je nulová pouze tehdy, když kosinus úhlu mezi a je nula. Podobně pro pevnou komplexní jednotku rovnice ${\ displaystyle {r},}$${\ displaystyle z \ cdot {\ overline {r}}}$${\ Displaystyle z}$${\ displaystyle {r}}$${\ displaystyle u = e^{ib},}$ určuje přímku rovnoběžnou s přímkou ​​0 a${\ displaystyle z_ {0}}$${\ displaystyle u.}$

Tato použití konjugátu jako proměnné jsou ilustrována v knize Franka Morleyho Inverzní geometrie (1933), napsané jeho synem Frankem Vigorem Morleym. ${\ Displaystyle z}$

Zobecnění

Ostatní planární reálné algebry, dvojí čísla a čísla s děleným komplexem jsou také analyzována pomocí komplexní konjugace.

Pro matic komplexních čísel, kde představuje prvek podle jednotlivých prvku konjugaci Kontrast tohoto na majetku , kde představuje transponovanou konjugátu z${\ textstyle {\ overline {\ mathbf {AB}}} = \ left ({\ overline {\ mathbf {A}}} \ right) \ left ({\ overline {\ mathbf {B}}} \ right), }$${\ textstyle {\ overline {\ mathbf {A}}}}$${\ displaystyle \ mathbf {A}.}$${\ textstyle \ left (\ mathbf {AB} \ right) ^{*} = \ mathbf {B} ^{*} \ mathbf {A} ^{*},}$${\ textstyle \ mathbf {A} ^{*}}$${\ textstyle \ mathbf {A}.}$

Vezmeme-li transpozici konjugátu (nebo adjoint) složitých matricích Zobecňuje komplexní konjugaci. Ještě obecnější je koncept pomocného operátoru pro operátory na (možná nekonečně dimenzionálních) složitých Hilbertových prostorech . To vše je zahrnuto v *-operacích C *-algebras .

Lze také definovat konjugaci pro kvaterniony a split-quaterniony : konjugát is${\ textstyle a+bi+cj+dk}$${\ textstyle a-bi-cj-dk.}$

Všechna tato zobecnění jsou multiplikativní pouze v případě, že jsou faktory obráceny:

Protože násobení rovinných skutečných algeber je komutativní , není zde toto obrácení potřeba.

Existuje také abstraktní pojem konjugace pro vektorové prostory nad komplexními čísly . V této souvislosti každá antilineární mapa, která splňuje ${\ textstyle V}$ ${\ textstyle \ varphi: V \ to V}$

1. ${\ displaystyle \ varphi ^{2} = \ operatorname {id} _ {V} \ ,,}$kde a je mapa identity na${\ Displaystyle \ varphi ^{2} = \ varphi \ circ \ varphi}$${\ displaystyle \ operatorname {id} _ {V}}$${\ displaystyle V,}$
2. ${\ Displaystyle \ varphi (zv) = {\ overline {z}} \ varphi (v)}$pro všechny a${\ Displaystyle v \ in V, z \ in \ mathbb {C},}$
3. ${\ Displaystyle \ varphi \ left (v_ {1}+v_ {2} \ right) = \ varphi \ left (v_ {1} \ right)+\ varphi \ left (v_ {2} \ right) \,}$ pro všechny ${\ displaystyle v_ {1} v_ {2}, \ ve V,}$

se nazývá komplexní konjugace nebo skutečná struktura . Vzhledem k tomu, involuce je antilinear , nemůže být mapa identity na${\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle V.}$

Samozřejmě je to -lineární transformace, pokud si někdo všimne, že každý složitý prostor má skutečnou formu získanou tak, že vezmeme stejné vektory jako v původním prostoru a omezíme skaláry na skutečné. Výše uvedené vlastnosti ve skutečnosti definují skutečnou strukturu v komplexním vektorovém prostoru${\ textstyle \ varphi}$${\ textstyle \ mathbb {R}}$${\ textstyle V,}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle V.}$

Jedním příkladem tohoto pojmu je konjugovaná transpoziční operace komplexních matic definovaných výše. Na generických komplexních vektorových prostorech však neexistuje kanonický pojem komplexní konjugace.

Viz také

• Absolutní čtverec
• Složitá konjugovaná linie
• Komplexní konjugovaná reprezentace
• Komplexní konjugovaný vektorový prostor
• Složení algebry  - Typ algeber, případně neasociativních
• Konjugát (odmocniny)
• Hermitova funkce  -1 = komplexní funkce f (x) taková, že f (-x) = f*(x)
• Wirtingerovy deriváty

Reference

Bibliografie

• Budinich, P. a Trautman, A. Spinorial Chessboard . Springer-Verlag, 1988. ISBN  0-387-19078-3 . (antilineární mapy jsou popsány v části 3.3).