Složení algebry - Composition algebra

V matematiky , je kompozice algebry přes pole K je nutně asociativní algebra přes K společně s nedegenerovaného kvadratické formy N , který vyhovuje

pro všechny x a y v A .

Algebra kompozice zahrnuje involuci nazývanou konjugace : Kvadratická forma se nazývá norma algebry.

Kompoziční algebra ( A , ∗, N ) je buď divizní algebra, nebo rozdělená algebra , v závislosti na existenci nenulového v v A tak, že N ( v ) = 0, nazývaný nulový vektor . Když x je není nulový vektor je multiplikativní inverzní z x je . Když existuje nenulový vektor null, N je izotropní kvadratická forma a „algebra se rozdělí“.

Věta o struktuře

Každý unital kompozice algebra přes pole K je možno získat pomocí opakovaného používání konstrukce Cayley-Dickson počínaje K (v případě, že charakteristika z K se liší od 2 ), nebo 2-rozměrné kompozice podalgebry (pokud char ( K ) = 2 ) . Možné rozměry algebry složení jsou 1 , 2 , 4 a 8 .

  • Jednorozměrné algebry existují pouze tehdy, když char ( K ) ≠ 2 .
  • Kompoziční algebry dimenze 1 a 2 jsou komutativní a asociativní.
  • Složení algebry rozměru 2 jsou buď kvadratické nadtěleso z K nebo izomorfní KK .
  • Kompoziční algebry dimenze 4 se nazývají kvartérní algebry . Jsou asociativní, ale nejsou komutativní.
  • Kompoziční algebry dimenze 8 se nazývají octonionové algebry . Nejsou ani asociativní, ani komutativní.

Pro konzistentní terminologii byly algebry dimenze 1 nazývány unarion a algebry dimenze 2 binarion .

Instance a použití

Když je pole K považováno za komplexní čísla C a kvadratickou formu z 2 , pak čtyři kompoziční algebry nad C jsou samotné C , bicomplexní čísla , biquaterniony (izomorfní na 2 × 2 komplexní maticový kruh M (2,  C ) ) a bioktoniony CO , kterým se také říká komplexní oktoniony.

Maticový prstenec M (2,  C ) je odedávna předmětem zájmu, nejprve jako biquaterniony od Hamiltona (1853), později ve formě izomorfní matrice a zejména jako Pauliho algebra .

Funkce kvadratury N ( x ) = x 2 na poli skutečných čísel tvoří prapůvodní kompoziční algebru. Když je pole K považováno za reálná čísla R , pak existuje jen šest dalších reálných kompozičních algeber. Ve dvou, čtyřech a osmi dimenzích existuje jak divizní algebra, tak „rozdělená algebra“:

binariony: komplexní čísla s kvadratickým tvarem x 2 + y 2 a rozdělená komplexní čísla s kvadratickým tvarem x 2 - y 2 ,
čtveřice a rozdělené čtveřice ,
octonions a split-octonions .

Každá algebra kompozice má přidruženou bilineární formu B ( x, y ) konstruovanou s normou N a polarizační identitou :

Dějiny

Složení součtů čtverců zaznamenalo několik raných autorů. Diophantus si byl vědom identity zahrnující součet dvou čtverců, nyní nazývané Brahmagupta -Fibonacciho identita , která je při vynásobení také artikulována jako vlastnost euklidovských norem komplexních čísel. Leonhard Euler diskutoval o identitě čtyř čtverců v roce 1748 a to vedlo WR Hamiltona ke konstrukci jeho čtyřrozměrné algebry čtveřic . V roce 1848 byly popsány tessarines dávat první světlo na bicomplex čísla.

Asi 1818 dánský učenec Ferdinand Degen zobrazoval Degenovu osmičkovou identitu , která byla později spojena s normami prvků octonionové algebry:

Historicky první neasociativní algebra, Cayleyova čísla ..., vznikla v souvislosti s číselně teoretickým problémem kvadratických forem umožňujících kompozici ... tuto číselně teoretickou otázku lze transformovat do té, která se týká určitých algebraických systémů, kompoziční algebry. ..

V roce 1919 Leonard Dickson rozšířil studii o problému Hurwitz s průzkumem úsilí k tomuto datu a vystavením metody zdvojnásobení čtveřic k získání Cayleyových čísel . Zavedl novou imaginární jednotku e a pro čtveřice q a Q píše Cayleyovo číslo q + Q e . Označením konjugátu quaternionu q ' je součin dvou Cayleyových čísel

Konjugát Cayleyova čísla je q ' - Q e a kvadratická forma je qq ' + QQ ' , získaná vynásobením čísla jeho konjugátem. Zdvojovací metodě se začalo říkat Cayley -Dicksonova konstrukce .

V roce 1923 byl případ skutečných algeber s pozitivními určitými formami vymezen Hurwitzovou větou (kompoziční algebry) .

V roce 1931 Max Zorn zavedl gama (γ) do multiplikačního pravidla v Dicksonově konstrukci ke generování split-octonions . Adrian Albert také použil gama v roce 1942, když ukázal, že Dicksonovo zdvojení lze použít na jakékoli pole s kvadratickou funkcí pro konstrukci binarionových, kvaternionových a octonionových algeber s jejich kvadratickými formami. Nathan Jacobson popsal automorfismy kompozičních algeber v roce 1958.

Klasické kompoziční algebry nad R a C jsou jednotné algebry . Složení algebry bez na multiplikativní identity byly nalezeny HP Petersson ( Petersson algebry ) a Susumu Okubo ( Okubo algebry ) a další.

Viz také

Reference

Další čtení