Složení funkce - Function composition

V matematiky , funkce složení je operace, která má dvě funkce f a g a produkuje funkce h takové, že H ( x ) = g ( f ( x )) . V této operaci, je funkce g se aplikuje na důsledku použití funkce f k x . To znamená, že funkce f  : XY a g  : YZ jsou složeny , čímž se získá funkce, která mapuje x v X na g ( f ( x )) v Z .

Intuitivně, pokud z je funkce y a y je funkce x , pak z je funkce x . Výsledná složená funkce je pro všechna xX označena g  ∘  f  : XZ , definovaná ( g  ∘  f  ) ( x ) = g ( f ( x )) . Zápis g  ∘  f se čte jako „ g kruh f “, „ g kolo f “, „ g kolem f “, „ g složené z f “, „ g po f “, „ g následující po f “, „ g z f “ , " f pak g " nebo " g o f ", nebo "složení g a f ". Intuitivně je skládání funkcí procesem zřetězení, při kterém výstup funkce f přivádí vstup funkce g .

Skladba funkcí je zvláštní případ složení vztahů , někdy označovaný také . Výsledkem je, že všechny vlastnosti složení vztahů platí pro složení funkcí, ačkoli složení funkcí má některé další vlastnosti.

Složení funkcí se liší od násobení funkcí a má zcela odlišné vlastnosti; zejména složení funkcí není komutativní .

Příklady

Konkrétní příklad složení dvou funkcí.
  • Složení funkcí na konečné množině: Pokud f = {(1, 1), (2, 3), (3, 1), (4, 2)} a g = {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 2)} , poté gf = {(1, 2), (2, 1), (3, 2), (4, 3)} , jak je znázorněno v postava.
  • Složení funkcí na nekonečné množině : Pokud f : ℝ → ℝ (kde je množina všech reálných čísel ) je dáno f ( x ) = 2 x + 4 a g : ℝ → ℝ je dáno g ( x ) = x 3 , pak:
( fg ) ( x ) = f ( g ( x )) = f ( x 3 ) = 2 x 3 + 4 a
( gf ) ( x ) = g ( f ( x )) = g (2 x + 4) = (2 x + 4) 3 .
  • Pokud výška letounu, je v čase  t je ( t ) , a tlak vzduchu ve výšce x je p ( x ) , pak ( p) ( t ) je tlak okolo roviny v čase  t .

Vlastnosti

Složení funkcí je vždy asociativní - vlastnost zděděná ze složení vztahů . To znamená, že pokud jsou f , g , a h skládatelná, pak f ∘ ( g  ∘  h ) = ( f  ∘  g ) ∘ h . Vzhledem k tomu, že závorky nemění výsledek, jsou obecně vynechány.

V přísném slova smyslu má složení g  ∘  f smysl pouze tehdy, pokud se doména f rovná doméně g ; v širším smyslu stačí, aby první byla podmnožinou druhé. Kromě toho je často vhodné mlčky omezit doménu f , takže f produkuje pouze hodnoty v doméně g . Například složení g  ∘  f funkcí f  : (−∞, + 9] definované f ( x ) = 9 - x 2 a g  : [0, + ∞) → ℝ definované pomocí lze definovat na interval [-3, + 3] .

Skladby dvou reálných funkcí, absolutní hodnoty a kubické funkce , v různých řádech, ukazují nekomutativitu složení.

O funkcích g a f se říká, že mezi sebou dojíždějí, pokud g  ∘  f = f  ∘  g . Komutativita je speciální vlastnost, kterou lze dosáhnout pouze určitými funkcemi a často za zvláštních okolností. Například | x | + 3 = | x + 3 | pouze když x ≥ 0 . Obrázek ukazuje další příklad.

Složení funkcí jedna k jedné (injektivní) je vždy jedna k jedné. Podobně je složení na (surjektivní) funkce vždy na. Z toho vyplývá, že složení dvou bijekcí je také bijekce. Inverzní funkce prostředku (předpokládá invertibilní) má tu vlastnost, že ( f  ∘  g ) -1 = g -1f -1 .

Deriváty kompozic zahrnujících diferencovatelné funkce lze najít pomocí pravidla řetězu . Vyšší derivace těchto funkcí jsou dány vzorcem Faà di Bruno .

Složení monoidů

Předpokládejme, že jedna má dvě (nebo více) funkcí f : XX , g : XX, které mají stejnou doménu a doménu; často se tomu říká transformace . Pak lze vytvořit řetězce transformací složených dohromady, například ffgf . Tyto řetězy mají algebraickou strukturu o monoidu , který se nazývá transformace Monoid nebo (mnohem méně často) A složení monoid . Obecně mohou mít transformační monoidy pozoruhodně komplikovanou strukturu. Jedním z pozoruhodných příkladů je de Rhamova křivka . Soubor všech funkcí f : XX se nazývá úplné transformace pologrupa nebo symetrického pologrupa na  X . (Jeden může ve skutečnosti definovat dvě poloskupiny podle toho, jak jeden definuje operaci poloskupiny jako levé nebo pravé složení funkcí.)

Podobnost , že transformace trojúhelník EFA do trojúhelníku ATB je Složení stejnolehlost H   a otáčení  R , přičemž společný střed je  S.  Například obraz na základě rotace  R je  U , který může být na  R ( ) = U.  H ( U ) = B  znamená, že mapovací  H transformuje U   do B.  Tak  H ( R ( )) = ( H ∘ R ) ( ) = B .

Pokud jsou transformace bijektivní (a tedy invertibilní), pak sada všech možných kombinací těchto funkcí tvoří transformační skupinu ; a jeden říká, že skupina je generována těmito funkcemi. Cayleyho teorém , základní argument v teorii skupin, v podstatě říká, že jakákoli skupina je ve skutečnosti jen podskupinou permutační skupiny (až do izomorfismu ).

Sada všech bijektivních funkcí f : XX (tzv. Permutace ) tvoří skupinu s ohledem na složení funkce. Jedná se o symetrickou skupinu , někdy nazývanou také kompoziční skupina .

V symetrické poloskupině (všech transformací) lze také najít slabší a nejedinečnou představu o inverzi (nazývané pseudoinverze), protože symetrická poloskupina je pravidelná poloskupina .

Funkční schopnosti

Pokud Y X , pak f : XY může skládat sama se sebou; toto je někdy označováno jako f 2 . To je:

( ff ) (x) = f ( f ( x )) = f 2 ( x )
( fff ) (x) = f ( f ( f ( x ))) = f 3 ( x )
( ffff ) (x) = f ( f ( f ( f ( x )))) = f 4 ( x )

Obecněji platí, že pro jakékoli přirozené číslo n ≥ 2 lze n- tou funkční mocninu definovat indukčně pomocí f n = ff n −1 = f n −1f , což je notace zavedená Hansem Heinrichem Bürmannem a Johnem Frederickem Williamem Herschelem . Opakované složení takové funkce se samo o sobě nazývá iterovaná funkce .

  • Podle konvence, f 0 je definován jako mapou identity na f ‚s domény, id X .
  • Pokud ani Y = X a f : XX připustí inverzní funkce f -1 , negativní funkční schopnosti f - n jsou definovány pro n > 0 jako negovaný sílu inverzní funkce: f - n = ( f -1 ) n .

Poznámka: Pokud f vezme své hodnoty v kruhu (zejména pro reálné nebo komplexně oceněné f ), existuje riziko záměny, protože f n může také znamenat n -násobný součin  f , např. F 2 ( x ) = f ( x ) · f ( x ) . U trigonometrických funkcí je obvykle míněna druhá, alespoň u pozitivních exponentů. Například v trigonometrii představuje tento horní index standardní umocňování při použití s trigonometrickými funkcemi : sin 2 ( x ) = sin ( x ) · sin ( x ) . U záporných exponentů (zejména −1) však obvykle odkazuje na inverzní funkci, např. Tan −1 = arktan ≠ 1 / tan .

V některých případech, kdy se pro danou funkci f , rovnice gg = f má unikátní řešení g , tato funkce může být definována jako funkční odmocnina z F , pak zapsána jako g = f 1/2 .

Obecněji, když g n = f má jedinečné řešení pro nějaké přirozené číslo n > 0 , pak f m / n lze definovat jako g m .

V rámci dalších omezení lze tuto myšlenku zobecnit, aby se počet iterací stal nepřetržitým parametrem; v tomto případě se takový systém nazývá tok , specifikovaný pomocí řešení Schröderovy rovnice . Iterované funkce a toky se přirozeně vyskytují při studiu fraktálů a dynamických systémů .

Vyhnout se dvojznačnosti, některé matematici vybrat k použití naznačovat kompoziční význam, psaní f n ( x ), pro n -tý iteraci z funkce f ( x ) , jako například v, f ∘3 ( x ) význam f ( f ( f ( x ))) . Ze stejného důvodu použil f [ n ] ( x ) Benjamin Peirce, zatímco Alfred Pringsheim a Jules Molk místo toho navrhli n f ( x ) .

Alternativní notace

Mnoho matematiků, zejména v teorii grup , vynechá symbol složení a píše gf pro gf .

V polovině 20. století se někteří matematici rozhodli, že psaní „ gf “ ve smyslu „nejprve použít f , pak použít g “ bylo příliš matoucí a rozhodl se změnit notaci. Píšouxf “ pro „ f ( x ) “ a „ ( xf ) g “ pro „ g ( f ( x )) “. To může být přirozenější a v některých oblastech se bude zdát jednodušší než psaní funkcí vlevo - například v lineární algebře , když x je řádkový vektor a f a g označují matice a složení je násobením matic . Tato alternativní notace se nazývá postfixová notace . Pořadí je důležité, protože složení funkce nemusí být nutně komutativní (např. Násobení matic). Postupné transformace, které se aplikují a skládají doprava, souhlasí se sekvencí čtení zleva doprava.

Matematici, kteří používají postfixovou notaci, mohou psát „ fg “, což znamená nejprve použít f a poté použít g , v souladu s pořadí, v jakém se symboly vyskytují v postfixové notaci, čímž se notace „ fg “ stává nejednoznačnou. Počítačoví vědci k tomu mohou napsat „ f  ; g “, čímž disambiguating pořadí složení. Abychom rozlišili operátor levé kompozice od středníku textu, použije se v notaci Z znak for pro kompozici levého vztahu . Protože všechny funkce jsou binární relace , je správné použít pro složení funkcí také středník [fat] ( další podrobnosti o tomto zápisu viz článek o složení relací ).

Operátor složení

Vzhledem k funkci  g je operátor složení C g definován jako operátor, který mapuje funkce na funkce jako

Skladatelské operátory jsou studovány v oblasti teorie operátorů .

V programovacích jazycích

Skladba funkcí se objevuje v té či oné podobě v mnoha programovacích jazycích .

Vícerozměrné funkce

Částečné složení je možné u vícerozměrných funkcí . Funkce Výsledná když někteří argumentem x i z funkce f je nahrazen funkce g je nazýván složení f a g v některých kontextech počítačové techniky, a je označován f | x i = g

Když g je jednoduchá konstanta b , složení se zvrhne na (částečné) ocenění, jehož výsledek je také známý jako omezení nebo kofaktor .

Obecně může složení vícerozměrných funkcí zahrnovat několik dalších funkcí jako argumenty, jako v definici primitivní rekurzivní funkce . Vzhledem k tomu, f , n -ary funkce, a n m -ary funkce g 1 , ..., g n , složení f s g 1 , ..., g n , je m -ary funkce

.

Toto se někdy nazývá zobecněný kompozitní nebo superpozici o f s g 1 , ..., g n . Částečné složení pouze v jednom z výše zmíněných argumentů lze z tohoto obecnějšího schématu vytvořit instancí nastavením všech argumentových funkcí kromě jedné, aby byly vhodně zvolenými projekčními funkcemi . Zde g 1 , ..., g n lze v tomto zobecněném schématu považovat za jedinou funkci oceněnou vektorem / n- ticí, v takovém případě se jedná o standardní definici složení funkce.

Sada finitárních operací na některé základní sadě X se nazývá klon, pokud obsahuje všechny projekce a je uzavřena pod zobecněným složením. Všimněte si, že klon obecně obsahuje operace různých arit . Pojem komutace také najde zajímavé zobecnění v případě vícerozměrných; funkce f arity n se říká, že dojíždí s funkcí g arity m, pokud f je homomorfismus zachovávající g , a naopak tj:

.

Unární operace vždy dojíždí sama se sebou, ale to nemusí být nutně případ binární (nebo vyšší arity) operace. Binární (nebo vyšší aritmetická) operace, která dojíždí sama se nazývá mediální nebo entropická .

Zobecnění

Složení lze zobecnit na libovolné binární vztahy . Jestliže RX x Y a SY x Z jsou dva binární relace, pak jejich složení RS je definována jako vztah {( x , z, ) ∈ X x Z  : yY . ( x , y ) ∈ R ( y , z ) ∈ S } . Uvažujeme-li funkci jako speciální případ binárního vztahu (jmenovitě funkční vztahy ), splňuje složení funkce definici složení relace. Malý kruh RS byl použit pro infixovou notaci složení vztahů a funkcí. Při použití k reprezentaci složení funkcí je však textová sekvence obrácena, aby se odpovídajícím způsobem ilustrovaly různé sekvence operací.

Složení je definováno stejným způsobem pro parciální funkce a Cayleyova věta má analog nazvanou Wagner-Prestonova věta .

Kategorie sestav s funkcemi jako morphisms je prototypem kategorie . Axiomy kategorie jsou ve skutečnosti inspirovány vlastnostmi (a také definicí) složení funkce. Struktury dané kompozicí jsou axiomatizovány a zobecněny v teorii kategorií s konceptem morfismu jako kategoricko-teoretické náhrady funkcí. Obráceném pořadí prostředku ve vzorci ( f  ∘  g ) -1 = ( g -1f -1 ) se vztahuje na složení vztahů pomocí konverzovat vztahy , a tím i v teorii skupiny . Tyto struktury tvoří kategorie dýek .

Typografie

Symbol složení je zakódován jako U + 2218 RING OPERATOR (HTML  ∘ · ∘, ∘ ); podobné znaky Unicode najdete v článku Symbol stupně . V TeXu je to napsáno \circ.

Viz také

Poznámky

Reference

externí odkazy