Konzervované množství - Conserved quantity

V matematice, konzervované množství z dynamického systému je funkcí závislých proměnných, jejichž hodnota zůstává konstantní podél každé trajektorie systému.

Ne všechny systémy mají konzervované veličiny a konzervované veličiny nejsou jedinečné, protože na konzervovanou veličinu lze vždy použít funkci, jako je přidání čísla.

Protože mnoho fyzikálních zákonů vyjadřuje určitý druh konzervace , v matematických modelech fyzikálních systémů běžně existují konzervované veličiny. Například jakýkoli model klasické mechaniky bude mít mechanickou energii jako konzervovanou veličinu, pokud jsou příslušné síly konzervativní .

Diferenciální rovnice

Pro systém diferenciálních rovnic prvního řádu

${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {r}} {dt}} = \ mathbf {f} (\ mathbf {r}, t)}$

kde tučně označuje vektorové veličiny, skalární funkce H ( r ) je konzervovaná veličina systému, pokud po celou dobu a počáteční podmínky v určité konkrétní doméně

${\ displaystyle {\ frac {dH} {dt}} = 0}$

Všimněte si, že pomocí pravidla vícerozměrného řetězce ,

${\ displaystyle {\ frac {dH} {dt}} = \ nabla H \ cdot {\ frac {d \ mathbf {r}} {dt}} = \ nabla H \ cdot \ mathbf {f} (\ mathbf {r }, t)}$

aby mohla být definice zapsána jako

${\ displaystyle \ nabla H \ cdot \ mathbf {f} (\ mathbf {r}, t) = 0}$

který obsahuje informace specifické pro systém a může být užitečné při hledání konzervovaných veličin nebo stanovení, zda konzervované množství existuje či nikoli.

Hamiltoniánská mechanika

Pro systém definovaný Hamiltonianem H má funkce f zobecněných souřadnic q a zobecněného momentu p časový vývoj

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} t}} = \ {f, {\ mathcal {H}} \} + {\ frac {\ parciální f} {\ parciální t }}}$

a proto je zachována právě tehdy . Zde označuje Poissonovu závorku . ${\ textstyle \ {f, {\ mathcal {H}} \} + {\ frac {\ částečné f} {\ částečné t}} = 0}$${\ displaystyle \ {f, {\ mathcal {H}} \}}$

Lagrangian mechanika

Předpokládejme, že systém je definován Lagrangeovým L se zobecněnými souřadnicemi q . Pokud L nemá žádnou výslovnou časovou závislost (tak ), pak je energie E definována ${\ textstyle {\ frac {\ částečné L} {\ částečné t}} = 0}$

${\ displaystyle E = \ sum _ {i} \ left [{\ dot {q}} _ {i} {\ frac {\ parciální L} {\ parciální {\ dot {q}} _ {i}}} \ vpravo] -L}$

je zachována.

Dále, pokud , pak se říká, že q je cyklická souřadnice a zobecněná hybnost p je definována ${\ textstyle {\ frac {\ částečné L} {\ částečné q}} = 0}$

${\ displaystyle p = {\ frac {\ částečné L} {\ částečné {\ tečka {q}}}}}$

je zachována. To lze odvodit pomocí Euler-Lagrangeových rovnic .

Viz také

• Konzervativní systém
• Lyapunovova funkce
• Hamiltonovský systém
• Zákon o ochraně přírody
• Noetherova věta
• Poplatek (fyzika)
• Invariant (fyzika)

Reference