Konstanta integrace - Constant of integration

V počtu je integrační konstanta , často označován , je konstantní termín přidán k primitivní o funkci pro indikaci, že neurčitý integrál z (tj množiny všech primitivní o ), na připojeném doméně , je definována pouze nahoru na aditivní konstantu. Tato konstanta vyjadřuje nejednoznačnost vlastní konstrukci pomocných látek.

Přesněji řečeno, pokud je funkce definována na intervalu a je antiderivativem , pak je sada všech antiderivativ dána funkcemi , kde je libovolná konstanta (což znamená, že jakákoli hodnota hodnoty by byla platnou antiderivací). Z tohoto důvodu je neurčitý integrál často psán jako , i když konstantu integrace lze pro zjednodušení v seznamech integrálů někdy vynechat .

Původ

Derivát jakékoliv konstantní funkce je nula. Jakmile jeden najde pro funkci jednu primitivní funkci , přidání nebo odečtení jakékoli konstanty nám poskytne další primitivní, protože . Konstanta je způsob, jak vyjádřit, že každá funkce s alespoň jednou antiderivací jich bude mít nekonečný počet.

Budiž a buďme dvěma všude odlišnými funkcemi. Předpokládejme, že pro každé skutečné číslo x . Pak existuje skutečné číslo takové, že pro každé skutečné číslo x .

Chcete -li to dokázat, všimněte si toho . Tak mohou být nahrazeny , a tím konstantní funkce , takže za cíl dokázat, že všude differentiable funkce, jejíž derivace je vždy nula musí být konstantní:

Vyberte skutečné číslo a nechte . Pro jakýkoli x , na základní teorém počtu , spolu s předpokladem, že se derivát zmizí, znamená, že

což ukazuje, že je to konstantní funkce.

V tomto důkazu jsou zásadní dvě skutečnosti. Nejprve je připojena skutečná linka . Pokud by skutečná linka nebyla připojena, nebyli bychom vždy schopni integrovat se z našeho pevného a do jakéhokoli daného x . Pokud bychom například požadovali funkce definované na spojení intervalů [0,1] a [2,3], a kdyby a byly 0, pak by nebylo možné integrovat od 0 do 3, protože funkce není definován mezi 1 a 2. zde bude dvě konstanty, jeden pro každý připojeného zařízení v doméně . Obecně platí, že nahrazením konstant místně konstantními funkcemi můžeme tuto větu rozšířit na odpojené domény. Například existují dvě konstanty integrace pro a nekonečně mnoho pro , takže například obecná forma pro integrál 1/ x je:

Za druhé, a předpokládalo se, že jsou všude odlišitelné. Pokud a nejsou rozlišitelné ani v jednom bodě, pak by věta mohla selhat. Jako příklad lze uvést, ať je Heaviside skoková funkce , který je nulový pro záporné hodnoty x a jeden pro non-záporné hodnoty x , a nechat . Potom je derivace nuly, kde je definována, a derivace hodnoty je vždy nula. Zatím je jasné, že i neliší konstantou, i když se předpokládá, že i jsou všude spojité a téměř všude differentiable teorém stále nedaří. Jako příklad lze uvést, vzít , že je funkce Cantor a znovu nechat .

Předpokládejme například, že bychom chtěli najít pomocné látky . Jedním z takových protikladů je . Další je . Třetina je . Každý z nich má derivát , takže jsou všechny antiderivativy .

Ukazuje se, že sčítání a odčítání konstant je jediná flexibilita, kterou máme při hledání různých antiderivativ se stejnou funkcí. To znamená, že všechny pomocné látky jsou až do konstanty stejné. Abychom tuto skutečnost vyjádřili , píšeme:

Nahrazení číslem povede k antiderivaci. Psaním namísto čísla se však získá kompaktní popis všech možných antiderivativ . se nazývá konstanta integrace . Lze snadno určit, že všechny tyto funkce jsou skutečně pomocnými prvky :

Nutnost

Na první pohled se může zdát, že konstanta je zbytečná, protože ji lze nastavit na nulu. Kromě toho při hodnocení určitých integrálů pomocí základní věty o počtu se konstanta vždy sama zruší.

Pokus o nastavení konstanty na nulu však vždy nedává smysl. Lze například integrovat alespoň třemi různými způsoby:

Nastavení na nulu tedy může stále zanechat konstantu. To znamená, že pro danou funkci neexistuje „nejjednodušší primitivum“.

Další problém s nastavením rovným nule je ten, že někdy chceme najít primitivum, které má v daném bodě danou hodnotu (jako u problému počáteční hodnoty ). Například pro získání primitivní hodnoty, která má hodnotu 100 v x = π, pak bude fungovat pouze jedna hodnota vůle (v tomto případě ).

Toto omezení lze přeformulovat v jazyce diferenciálních rovnic . Hledání neurčitého integrálu funkce je stejné jako řešení diferenciální rovnice . Jakákoli diferenciální rovnice bude mít mnoho řešení a každá konstanta představuje jedinečné řešení dobře navrženého problému počáteční hodnoty . Uložení podmínky, že naše antiderivace nabývá hodnoty 100 v x = π, je počáteční podmínkou. Každá počáteční podmínka odpovídá jedné a pouze jedné hodnotě , takže bez ní by nebylo možné problém vyřešit.

Existuje ještě další ospravedlnění, které pochází z abstraktní algebry . Prostor všech (vhodných) funkcí s reálnou hodnotou na reálných číslech je vektorový prostor a diferenciální operátor je lineární operátor . Operátor namapuje funkci na nulu právě tehdy, je -li tato funkce konstantní. V důsledku toho je jádro ze je prostor všech stálých funkcí. Proces neurčité integrace se rovná nalezení předobrazu dané funkce. Pro danou funkci neexistuje žádný kanonický předobraz, ale sada všech takových předobrazů tvoří coset . Výběr konstanty je stejný jako výběr prvku cosetu. V této souvislosti je řešení problému počáteční hodnoty interpretováno jako ležící v hyperplaně dané počátečním stavem .

Reference